三道全國卷比較大小試題的分析與啟示

張兵源 蘇藝偉

(福建省漳州普教室 363000；福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū) 363199)

蘇藝偉，從事高考試題，高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

一、題目

A.a

C.c

試題2 (2016年全國Ⅰ卷選擇題)若a>b>1,0

A.ac

C.alogbc

試題3 (2017年全國Ⅰ卷選擇題) 設(shè)x,y,z為正數(shù),且2x=3y=5z,則( ).

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3y

C.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

二、試題分析

這三道比較大小的試題雖然題目不一樣,但是考查的內(nèi)容是一樣的.都是考查指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算.要求考生能夠借助指數(shù),對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),指數(shù)函數(shù)(或者冪函數(shù)),對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,圖象,并且綜合運(yùn)用不等式的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解,對(duì)考生的計(jì)算求解能力,推理論證能力提出了較高的要求.試題雖然簡(jiǎn)短卻內(nèi)涵豐富,集指數(shù),對(duì)數(shù),不等式等眾多的知識(shí)點(diǎn)于一體,體現(xiàn)了在知識(shí)交匯處命題的原則.可以說,這三道試題既考基礎(chǔ)又考能力,入口寬,解法多樣,具有一定的探究意義.

三、試題解法

1.解試題(1)

思路1:作差法

故c

思路2:作商法

由已知有a>0,b>0,c>0.

2.解試題(2)

(1)比較ac和bc

對(duì)于ac和bc,觀察到它們底數(shù)不同,指數(shù)相同,因而可以采用兩種方法來進(jìn)行比較.

方法1:構(gòu)造冪函數(shù).

令y=xc,由c>0可知該函數(shù)在(0，+∞)單調(diào)遞增.因?yàn)閍>b故ac>bc.

方法2:構(gòu)造兩個(gè)指數(shù)函數(shù).

令y=ax和y=bx,因?yàn)閍>b>1,故如圖(2)所示.由0bc.

綜合上述分析可知,ac>bc,故A答案錯(cuò)誤.

(2)比較logac和logbc

觀察到這兩個(gè)對(duì)數(shù)式底數(shù)不同,真數(shù)相同,因此構(gòu)造兩個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)進(jìn)行比較.

令y=logax和y=logbx,因?yàn)閍>b>1,故如圖(3)所示.由0

因此,logbc

(3)比較abc和bac

方法1:作差法

abc-bac=ab(bc-1-ac-1),由a>b>1,c-1<0,結(jié)合圖(2)可知0

故bc-1-ac-1>0,則abc-bac=ab(bc-1-ac-1)>0.

因此abc>bac.故B答案錯(cuò)誤.

方法2:綜合分析法

因?yàn)閥=tx在R是單調(diào)遞增,c<1,故tc

從而B答案錯(cuò)誤.

方法3:綜合分析法

假設(shè)答案正確,則abc

從而B答案錯(cuò)誤.

(4)比較alogbc和blogac

方法1:利用不等式性質(zhì):在不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)正數(shù),不等號(hào)不變,同時(shí)乘以一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)發(fā)生改變.

由上述分析知logbc

又由a>b>0,logbc<0得alogbc

綜上,alogbc

方法2:利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì):nlogaN=logaNn.

alogbc=logbca,blogac=logacb.轉(zhuǎn)化為比較logbca與logacb的大小.

由于0b>1,故0

結(jié)合圖(4)可知,logbca

3.解試題(3)

思路1:作差法

令2x=3y=5z=k,由于x,y,z為正數(shù),所以k>1.

故2x<5z.

綜上,有3y<2x<5z.

思路2:作商法

令2x=3y=5z=k,由于x,y,z為正數(shù),所以k>1.

綜上,有3y<2x<5z.

思路3:構(gòu)造函數(shù)法

令2x=3y=5z=k,由于x,y,z為正數(shù),所以k>1.

則有x=log2k,y=log3k,z=log5k,

顯然f(x)在(0,1)和(1,e)上單調(diào)遞減,在(e,+∞)上單調(diào)遞增.如圖(5)所示.

因此有3y<2x<5z.

顯然f(x)在(0,e)單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減.如圖(1)所示.

令2x=3y=5z=k,由于x,y,z為正數(shù),所以k>1.

則有x=log2k,y=log3k,z=log5k,

因此有3y<2x<5z.

思路5:兩邊同時(shí)取以e為底的對(duì)數(shù)

由2x=3y=5z得ln2x=ln3y=ln5z,即xln2=yln3=zln5.

綜上,有3y<2x<5z.

思路6:取特殊值

令2x=3y=5z=2,則x=1,y=log32,z=log52.

顯然3y=3log32=log38

5z=5log52=log532>log525=2=2x,

故有3y<2x<5z.

四、教學(xué)啟示

通過上述分析,不難發(fā)現(xiàn)這三道比較大小試題相似程度非常及其之高.這一方面說明全國卷試題的穩(wěn)定性,在高三備考中要認(rèn)真鉆研歷年全國卷試題,并且和自己的教學(xué)有機(jī)結(jié)合起來以期達(dá)到最優(yōu)效果;另一方面說明指數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容(包括指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),冪函數(shù)等的圖象與性質(zhì)),在高三復(fù)習(xí)中一定要重點(diǎn)講解,講透概念,性質(zhì),并且進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練以期達(dá)到知識(shí)能力的遷移;同時(shí),我們還看到全國卷試題的解法多種多樣,這就啟發(fā)我們?cè)谡n堂上要一題多解,發(fā)散思維,并且適當(dāng)補(bǔ)充相應(yīng)的方法,技巧,以期讓學(xué)生內(nèi)化成自己的能力,提升思維品質(zhì)和核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[1]蔡勇全.善用八種函數(shù)的單調(diào)性證明不等式[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2017(5)：11-14.