數(shù)學(xué)課堂觀察的視角：價值、問題與方法
——評曹偉林老師的“4.1從問題到方程”教學(xué)

■錢德春

數(shù)學(xué)課堂觀察的視角：價值、問題與方法
——評曹偉林老師的“4.1從問題到方程”教學(xué)

■錢德春

“教什么”“為什么教”和“怎么教”是課堂教學(xué)永恒的話題，“教什么”即教學(xué)內(nèi)容與問題；“為什么教”即教學(xué)價值；“怎么教”即教學(xué)方法。教者的這節(jié)課以對教材獨到的理解、對學(xué)情充分的把握和教學(xué)過程的精彩演繹，在“教育價值”“問題解決”“教學(xué)方法”三個方面給予我們以完美詮釋。

一、教育價值引領(lǐng)數(shù)學(xué)教學(xué)

裴光亞先生說：“教育價值是教學(xué)設(shè)計的靈魂。”為什么要安排這一節(jié)課？也就是，本節(jié)課內(nèi)容的教學(xué)價值何在？這里通過表格對小學(xué)和本節(jié)課“方程”部分內(nèi)容進行比較（相同部分省略）：

一是為什么要建立“一元一次方程”概念。所有數(shù)學(xué)概念大多為解決和表達新問題、新現(xiàn)象，或揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)而建立，并隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展不斷優(yōu)化與完善。從表格中發(fā)現(xiàn)：小學(xué)教材的章節(jié)標(biāo)題是“簡易方程”，給出了最上位的“方程”概念，有“簡易”就有復(fù)雜，我們在“解決問題”中遇到了具體的、更復(fù)雜的方程，這些方程與其他方程如何區(qū)別，又如何表達，這就有必要出現(xiàn)新的定義。這就是“一元一次方程”概念的教學(xué)價值，教者通過教學(xué)活動讓學(xué)生有了很好的價值體驗。

二是用方程刻畫現(xiàn)實世界（即列方程解決問題）的能力有何要求。這方面內(nèi)容在小學(xué)已有接觸，用方程解決問題的基本路徑是：找相等關(guān)系、用含未知數(shù)的代數(shù)式表示，這在今后的學(xué)習(xí)中保持不變，那么這里“反復(fù)讓學(xué)生列方程”的價值何在？我們知道，“找相等關(guān)系列方程”始終是運用方程模型解決現(xiàn)實問題的重點和難點，從小學(xué)到初中，方程類型不斷增加，分析方法多種多樣，問題難度逐步提高。因此，這個過程是學(xué)生解決問題能力不斷升級的過程，也是一個循序漸進的過程，這正是教學(xué)價值所在。猶如小學(xué)和初中作文都可以寫“有意義的一件事”，能力要求大不一樣。可喜的是：教者始終抓住這個關(guān)鍵開展教學(xué)活動。

三是數(shù)學(xué)思想方法如何滲透。從表中發(fā)現(xiàn)：小學(xué)解方程是用等式的基本性質(zhì)將方程轉(zhuǎn)化為形如“x=a”的形式，初步感知轉(zhuǎn)化思想。本節(jié)課還滲透這樣幾種思想：從“方程”到“一元一次方程”滲透“一般到特殊”的思想；將6個方程放在一起，通過分類比較，找出具有共性的幾種方程，從而建立“一元一次方程”概念，滲透了分類與抽象的思想；通過用方程表示相等關(guān)系解決現(xiàn)實問題，讓學(xué)生感受“模型”思想。從課堂來看，教者做得都非常到位。我們還注意到，教師對數(shù)學(xué)思想方法的滲透是潛移默化、潤物無聲的，而不是貼標(biāo)簽式的。

二、問題解決驅(qū)動知識建構(gòu)

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：客觀的知識結(jié)構(gòu)通過個體與之交互作用而內(nèi)化為學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。要實現(xiàn)這種內(nèi)化，必須了解學(xué)生的已有認(rèn)知水平和通過努力能夠達到的認(rèn)知水平。學(xué)生在小學(xué)五年級下冊第一章“簡易方程”的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)初步了解了方程、方程與等式的區(qū)別、方程的解、解方程的含義、等式的性質(zhì)（加、減、乘、除一個數(shù)，除數(shù)不為0），能夠列簡易方程解決實際問題的步驟、如何找數(shù)量關(guān)系等。

教者基于學(xué)生已有認(rèn)知，根據(jù)本節(jié)課知識、能力要求，將教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為3個核心問題：一是如何建立一元一次方程概念；二是如何引導(dǎo)學(xué)生用方程模型刻畫現(xiàn)實問題，并規(guī)范解決問題的步驟；三是如何在建構(gòu)知識的同時滲透數(shù)學(xué)思想。通過學(xué)生自主探究和教師趁機引導(dǎo)，在問題解決中建構(gòu)知識，并將3個核心問題通過現(xiàn)實情境具體化(求年齡問題)，進而再將問題細化為問題鏈，啟發(fā)學(xué)生拾級而上，逐步深入探究與思考。

三、教學(xué)方法促進數(shù)學(xué)理解

教學(xué)有法，教無定法。教者來自處于教改前沿的洋思中學(xué)，他們的“先學(xué)后教”課堂教學(xué)模式聞名遐邇，也引發(fā)不少爭議。從這一節(jié)課來看，教者充分運用了學(xué)習(xí)目標(biāo)領(lǐng)航、學(xué)生自主探究、師生問題對話、教師示范引領(lǐng)等多種教學(xué)形式，促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。可見洋思課堂教學(xué)“先學(xué)后教”的內(nèi)涵得到了豐富與發(fā)展。

一是目標(biāo)領(lǐng)航學(xué)習(xí)。任何一節(jié)課都有明確的目標(biāo)，教者在引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突后，呈現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)：（1）探索多種實際問題中的數(shù)量關(guān)系，并能用方程描述；（2）了解一元一次方程的概念。這樣讓學(xué)生學(xué)有方向，習(xí)有目標(biāo)。課堂目標(biāo)分顯性目標(biāo)和隱性目標(biāo)。所謂顯性目標(biāo)，就是呈現(xiàn)給學(xué)生的、讓學(xué)生明白的知識技能和解決問題的能力目標(biāo)，讓學(xué)生帶著問題和任務(wù)學(xué)習(xí)；另一種目標(biāo)是隱性的，那就是思維能力以及情感態(tài)度價值觀目標(biāo)，這是教者心里明白的潛在目標(biāo)。

二是探究凸顯主體。學(xué)生是課堂的主體，自主探究活動是體現(xiàn)學(xué)生主體地位的重要載體。課堂上，教者擇機安排多次探究活動：通過對“天平和方程”問題的探究，感受“方程就是表達數(shù)量關(guān)系的‘天平’”；通過對“籃球聯(lián)賽勝負(fù)”提出開放性問題，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，學(xué)生從不同的角度提出不同的問題，列出不同的方程，為建立“一元一次方程”概念作鋪墊，進一步感受方程是刻畫現(xiàn)實世界的一種模型，同時培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)化的能力。這些教學(xué)活動凸顯了學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，而教者通過巡視、質(zhì)疑、啟發(fā)、追問等手段，引導(dǎo)學(xué)生探究、思考與交流，充當(dāng)了組織者、引導(dǎo)者與合作者的角色。

三是對話促進理解。在問題解決過程中，通過師生對話促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，給筆者留下了深刻的印象。教師捕捉探究活動中即時生成的問題作為對話話題，如：“怎樣描述天平所表示的數(shù)量之間的相等關(guān)系？”“如把你問題中的一個未知量設(shè)為x，可得什么方程？”“這個相等關(guān)系，信息中哪里給出了提示？”“相等關(guān)系抓的是哪個關(guān)鍵句？”“12-x是什么意思？”“方程2x+y=20怎么解釋呢？”這一系列問題，引發(fā)思維沖突，驅(qū)動認(rèn)知發(fā)展，從而在生成的新問題中建構(gòu)知識、滲透思想、發(fā)展能力，這種對話看似無意實則有意，具有生成性、即時性和發(fā)展性，是一種無法預(yù)約的精彩，充分顯示了教者獨到的數(shù)學(xué)理解和深厚的教學(xué)功底。另外，師生對話的話題具有開放性和民主性。如“請你根據(jù)信息提出一個數(shù)學(xué)問題”，這是極具開放性的問題，不同的學(xué)生對問題信息可能有不同的理解角度，進而提出不同的問題，列出不同的方程，這種對話方式順應(yīng)了學(xué)生的個性思維與需求。再比如：“老師把時間交還給你們，由你們自己學(xué)習(xí)探究，好不好？”這種協(xié)商的口吻充滿了民主平等的氛圍，讓學(xué)生以愉悅的心情投入學(xué)習(xí)活動。

四是教師示范引領(lǐng)。這是數(shù)學(xué)教學(xué)不可或缺的過程。本節(jié)課中，教者善于發(fā)現(xiàn)生成性錯誤資源，通過師生研討，及時糾錯，達到知識內(nèi)化的目的。當(dāng)學(xué)生列出方程“2x×x=40”時，教者啟發(fā)學(xué)生修正為“2x2=40”；當(dāng)回到解決課始時的現(xiàn)實問題時，教師通過板書示范，強調(diào)“找、設(shè)、列、解、驗、答”的步驟。因為這個過程在小學(xué)是初步感知，學(xué)生的認(rèn)識是模糊的、膚淺的，本節(jié)課通過實際問題的解決，對解題過程和步驟初步提出了規(guī)范性、完整性、反思性要求，這在能力要求上更上一層。我們還注意到，這些錯誤和問題資源不是教者先入為主強加給學(xué)生的，而是在學(xué)習(xí)活動中產(chǎn)生的，這樣的糾錯和規(guī)范更能讓學(xué)生有緊迫感和切身體驗。

四、教學(xué)設(shè)計基于“三個理解”

任何一節(jié)優(yōu)秀課都有值得探討的地方，正因如此，才體現(xiàn)出其應(yīng)有的研究價值。概念課如何教學(xué)？章建躍先生提出的“三個理解”應(yīng)該是教學(xué)設(shè)計的起點，也是課堂教學(xué)的歸宿，教學(xué)設(shè)計就要在“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)”的基礎(chǔ)上展開。就本節(jié)課而言，有兩個要點提出來與教者商榷。

一是建立新概念的必要性。為什么要建立概念，這是“理解數(shù)學(xué)”的問題；學(xué)生有什么困惑，這是“理解學(xué)生”的問題。在學(xué)生根據(jù)現(xiàn)實情境列出方程后，教者引導(dǎo)學(xué)生通過分類與比較未知數(shù)的個數(shù)、次數(shù)，從而得到“一元一次方程”概念。那么學(xué)生會問：為什么要建立這個概念？形式化與結(jié)構(gòu)化是數(shù)學(xué)的基本特征之一。在所列的6個方程中，方程2x+y=20、x+y=12的解不確定，方程用現(xiàn)有知識無法求解，而其余3個方程與小學(xué)學(xué)過的簡易方程類似，整理后有統(tǒng)一的特征與結(jié)構(gòu)，為了便于表達和交流，必須有一個規(guī)范的標(biāo)準(zhǔn)，我們有必要給其命名。這個過程不需花費太多時間，但不可或缺。

二是歸納小結(jié)環(huán)節(jié)的安排。這是“理解教學(xué)”的問題。課堂小結(jié)是課堂教學(xué)的重要組成部分，教者提出“通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲”的問題引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)，但這樣的問題有些讓學(xué)生無所適從。筆者以為：課堂小結(jié)是一節(jié)課的點睛之筆，必須要有明確的指向性，并引導(dǎo)學(xué)生用框圖等方式將知識、方法、思想結(jié)構(gòu)化（如下圖）。本節(jié)課小結(jié)可提出這樣的問題：你學(xué)到了什么知識？體會到哪些數(shù)學(xué)思想方法？你還有什么困惑？進而引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)框圖。

（作者為江蘇省泰州市教育局教研室初中數(shù)學(xué)教研員）