路徑的選擇問題
——從費馬原理看聰明的光

任雨萌

(西北工業大學附屬中學 陜西 西安 710071)

李艷輝

(西安電子科技大學物理與光電工程學院 陜西 西安 710071)

路徑的選擇問題
——從費馬原理看聰明的光

任雨萌

(西北工業大學附屬中學 陜西 西安 710071)

李艷輝

(西安電子科技大學物理與光電工程學院 陜西 西安 710071)

利用折算的路程，分析了運動學中的路徑選擇問題.結合費馬原理在折射定律中的應用，建立了光學及運動學中物理描述的對應類比關系.該類比方法為深入理解物理光學的光程等概念提供了新的思路.

費馬原理 最值問題 路徑 光程 折射率

兩點之間沿直線行進最快，這好像是天經地義的常識，但有時候，情況卻并不那么簡單.騎兵從A點出發要將情報送至C點的首長帳篷，行進路徑需要經過沙地和草地，如圖1所示.馬在沙地跑得慢，在草地跑得快，騎兵應該怎樣選擇路徑從而由A經最短時間到達帳篷C呢？

圖1 騎兵最速送信問題示意圖

設E為草地與沙地分界面上的任意一點，從A到C在沙地中經過的路徑為AE，運動速度是v1，在草地中經過的路徑為EC，速度是v2.那么最快到達即要求時間

(1)

最短.

可以分情況討論：

(1)先考慮最特殊情況，如果路徑上經過的區域是均勻的，即馬在沙地和草地上行進的速度相等，v1=v2.這時A與C兩點之間直線距離最短.顯然，沿直線AC行進最快.

(2)如果v1

那么，采用什么物理量作為衡量標準呢？假設一種馬可以跑得最快的路面，比如柏油馬路，在這種路面上，馬行進的速度可用常量表示.則馬在不同的路面：沙地及草地的行進距離都可以等效地“折算”到馬在柏油馬路上行進的距離.

設馬在沙土路面上的行進時間

用該時間乘以馬在柏油馬路上行進的速度c,即可得到“折算”到馬在柏油馬路上的行進距離

同理，把馬在草地上的行進距離也折算到其在柏油馬路上的行進距離l2，最終可得

(2)

顯然，既然都已“折算”到馬在柏油馬路上的行進距離L折算，則如果這個距離越小，那么騎兵將到達的越快.這樣折算后的好處在于,雖然馬在沙地及草地中行進的速度不相同，行進的時間也各異，但是，都“折算”到馬在柏油馬路上運動的距離后，可以方便地比較由A到C馬沿不同的路徑運動時的行進距離，進而可以方便地比較諸如最短用時等物理量.

其實，馬在不同的路面上行進的速度是一定的，因此馬在諸如沙地、草地的行進速度與其在行進最快的柏油路上的行進速度的比值，就反映了這種路面的某種屬性.干脆可以用常數n1，n2來表示這種反映路面自身屬性的物理量，它是無量綱量，即

(3)

結合式(2)、式(3)，L折算可表示為

L折算=n1AE+n2EC=

(4)

因為A點與C點在x軸方向上的間距是固定的,設為l，如圖1所示.令AP=x，則EN=l-x.且當A點與C點確定之后，這兩個點投影到y軸方向上的距離是確定的，不會因為E點的選取而改變.因此，在式(4)中以x為一變量，其最值條件將滿足

時所需時間最短.即

(5)

化簡得

(6)

如果定義AE及EC與兩種界面的法線方向之間的夾角分別為α及β，則有

n1sinα=n2sinβ

(7)

其中

可以看出，因為v1E′C，這不正是我們剛一開始所猜測的——若馬在行進速度慢的沙地上“少”走一定的路程，而在行進速度快的草地“多”走一定的路程，將使得由A到C更快.有意思的是，這時明顯走了“折線”而非通常意義上的“直線”，但是到達的卻更快了.

(3)如果v1>v2,則采用類似的方法，容易分析出這時使得由A到C用時最短的兩種界面分界線上的轉折點E″一定在E′點的右側.這樣可以使得馬在行進速度快的路面上“多”走一定的路程，而在行進速度慢的路面上“少”走一定的路程，從而使得用時比沿AC直線行進更短.

這是一個非常有趣的現象，其實如果了解光，你會敬仰地發現“聰明”的光的計算及分析能力.

我們把圖1中的問題更換為光從一點A出發到達另一點C，光沿哪一條路徑行進將用時最短.

還是設E為兩種介質分界面上的任意一點.光在真空中的運動速度最快，等效于馬在柏油馬路上的運動速度c.只是對光而言，這個速度是c=3×108m/s,光在不同介質中的傳播速度不同，分別是v1,v2.仍可用式(3)定義的無量綱量來表示不同介質對光傳播的某種屬性，即這時的n1,n2分別表示兩種介質的“相對折射率”.式(4)中的L折算表示“光程”.它其實也是將光在各個介質中走過的幾何路徑與相對折射率的乘積，“折算”到光在真空中所走過的路程，用這種方法可以方便地將在不同介質中運動速度不同、運動時間不同所通過的距離，“折算”到光在真空中所走過的距離，以便于問題的研究.因此，光從一點A傳播到另一點C時，將沿所需時間最短的路徑傳播，這是幾何光學中的一條重要的原理，也稱最小時間原理，或最短光程原理，是法國數學家費馬于1657年首先提出的，即著名的“費馬原理”.簡單地說，費馬原理可以理解為：光從空間的一點傳到另一點是沿著光程為極值的路徑傳播的.

如此可見，光在傳輸過程中總是非常的聰明，它的思考實在是又快又準，令人佩服啊.

1 姚啟鈞. 光學教程. 北京:高等教育出版社,2002

2 石順祥, 張海興, 劉勁松. 物理學與應用光學. 西安:西安電子科技大學出版社,2003

3 Born M , Wolf E. Principles of optics oxford (England).Pergamon Press,19754 竹錦霞.費馬原理與運動性最值問題探討.四川文理學院學報(自然科學),2007,17(2):30～31

5 趙凱華, 鐘錫華.光學.北京:北京大學出版社, 1984

PathSelectionQuesition—SeeingtheSmartLightfromFermatPrinciple

RenYumeng

(TheMiddleSchoolAttachedtoNorthwesternPolytechnicalUniversity，Xi′an，Shaanxi710071)

LiYanhui

(SchoolofPhysicsandOptoelectronicEngineering,XidianUniversity,Xi′an,Shaanxi710071)

Using the equivalent distance, we analyzed the choice of a path in kinematics problem. Combining the application of Fermat principle in the law of refraction, we established the corresponding analogy relationships of optical and kinematics physical description. The analogy method presented in this paper would be helpful for deep understanding of optical concepts such as: optical path etc.

Fermat principle; extreme value of problems; path; optical path; refractive index

任雨萌(2000- )，女，在讀高中生.

指導教師：李艷輝(1979- )，女，博士，副教授，主要從事光散射與傳播的科研與教學工作.

2016-07-04)