高中物理中的“輕模型”

張鄭兵

(安徽省廬江中學 安徽 合肥 231500)

房 英

(廬江第二中學 安徽 合肥 231500)

高中物理中的“輕模型”

張鄭兵

(安徽省廬江中學 安徽 合肥 231500)

房 英

(廬江第二中學 安徽 合肥 231500)

通過例題研究了不同類型 “輕物體” 的動力學問題，探討了不同類型“輕物體”的動力學特點，希望對廣大學生和教學同仁有一定借鑒意義.

輕物體 輕模型 牛頓第二定律 合力為零

高中物理中描述一類物體時常在其前面加上限定詞“輕”，如“輕結點”、“輕繩”、 “輕彈簧” 、“輕桿”、“輕滑輪”等.“輕”主要可以理解為物體質量對所研究的物理問題影響很小，可以忽略不計.這類物體我們可以把它叫做“輕物體”，利用牛頓運動定律我們可以建立“輕模型”來加以研究.由牛頓第二定律可以得出輕物體所受合力必然為零的特點，與其運動狀態無關.這一特點通常是理解相關試題的切入點和突破口，然而學生對這一特點往往感到困惑.

所謂 “輕物體”，指的是質量可以忽略不計的物體，是一種理想化的物理模型.然而學生對這類物體缺乏感性認識，研究這類物體時的思維方式又與常規物體有很大差異，導致學生通常感覺這類問題難度甚大，無從下手.

要認清“輕物體”這一模型，首先要分清“輕物體”和 “重力不計的物體”的區別.“輕物體”質量可忽略，從而亦可以忽略其重力.“重力不計的物體”在電磁學中常有涉及，通常說明帶電粒子 “重力不計”，即受力分析時不考慮其重力，但質量不能忽略，可由牛頓第二定律求出合力，再計算加速度.

其次，要清楚“輕物體”的受力特點.根據牛頓第二定律，物體加速度與其合外力、質量的關系F=ma，由于“輕物體”質量為零，無論其加速度多大，所受合外力必然為零，與物體的運動狀態無關.這也是它與常規物體的最大區別，也是學生感到最為困惑的地方.

近幾年高考對“輕物體”問題常有考查且學生失分較多.高中學習中常涉及到的“輕結點”、“輕繩”、“輕桿”、“輕彈簧”、“輕滑輪”都屬于這類問題.下面我們就通過例題探討不同類型“輕物體”的動力學特點.

1 輕結點(環)

【例1】(2016年高考課標全國Ⅲ卷)如圖1所示，兩個輕環a和b套在位于豎直面內的一段固定圓弧上：一細線穿過兩輕環，其兩端各系一質量為m的小球.在a和b之間的細線上懸掛一小物塊.平衡時，a，b間的距離恰好等于圓弧的半徑.不計所有摩擦.小物塊的質量為( )

圖1 例1題圖

解答：受力分析如圖2所示，設圓弧的圓心為O，懸掛小物塊的點為c，左右兩個小球的懸點分別為d,e.題中繩子結點均光滑，實際上是一根繩，各段繩子上彈力大小一定相等，且T=mg.對左側輕環研究，由于其質量極小，重力可忽略不計，所受合力為零.左環受到的3個力分別為ad繩拉力，ac繩拉力，以及圓弧的彈力.圓弧彈力背離圓心，所以ad和ac繩拉力的合力一定指向圓心且在這兩繩夾角的平分線上.令

∠Oac=∠Oad=θ

由于ab=R，所以三角形Oab為等邊三角形，根據幾何知識可得

∠Oab=60°θ=30° ∠acb=120°

而在一條繩子上的張力大小相等，故有

T=mg

小物塊受到兩條繩子的拉力作用大小相等，夾角為120°，故受到的兩繩拉力的合力等于mg，因為小物塊受到繩子的拉力和重力作用，且處于平衡狀態，故拉力的合力mg等于小物塊的重力，所以小物塊的質量為m,故A,B,D錯誤，C正確.

圖2 例1分析圖

2 輕繩

【例2】(2011年高考江蘇卷)如圖3所示，傾角為α的等腰三角形斜面固定在水平面上，一足夠長的輕質綢帶跨過斜面的頂端鋪放在斜面的兩側，綢帶與斜面間無摩擦.現將質量分別為M和m(M>m)的小物塊同時輕放在斜面兩側的綢帶上.兩物塊與綢帶間的動摩擦因數相等，且最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等.在α角取不同值的情況下，下列說法正確的有( )

圖3 例2題圖

A．兩物塊所受摩擦力的大小總是相等

B．兩物塊不可能同時相對綢帶靜止

C．M不可能相對綢帶發生滑動

D．m不可能相對斜面向上滑動

解析：本題中綢帶質量不計且斜面光滑，可將綢帶等效為一根輕繩，其所受合力必然為零，故無論任何情況下綢帶對兩物塊的摩擦力大小均相等，A選項正確.接著可以仔細分析本題中兩物塊所有可能的運動狀態.

假設M相對綢帶發生滑動，其對綢帶的滑動摩擦力為μMgcosα，而m對綢帶的摩擦力最多為μmgcosα，由于μMgcosα>μmgcosα，綢帶所受合力不為零，假設不成立.故M不可能相對綢帶滑動，它受到綢帶的靜摩擦力作用.若M相對斜面靜止，其所受摩擦力等于Mgsinα，此時m亦受到Mgsinα的摩擦力從而會加速上滑，綢帶發生松弛，不符實際.若M相對斜面向上運動，同樣可分析得出m會向上加速運動，假設同樣不成立，故M必定向下加速.對二者的狀態分析如表1所示.

表1M和m狀態分析

若m也受到綢帶靜摩擦力作用，有一種可能的情況：M向下加速，m向上加速，且二者加速度相等.

若m受到滑動摩擦力作用，需討論m受到的滑動摩擦力和重力沿斜面向下分力的關系，此情境有3種可能情況：若μmgcosα>mgsinα，m會向上加速；若μmgcosα=mgsinα，m相對斜面靜止；若μmgcosα>mgsinα，m向下加速.

由此分析可知C正確，B,D錯誤.本題答案：A,C.

對M，m所有可能的運動情境，可結合上面系統表直觀看出.

3 輕彈簧

【例3】如圖4所示，4個完全相同的輕質彈簧都處于水平位置，他們的右端受到大小皆為F的拉力作用，而左端的情況各不相同：①中彈簧的左端固定在墻上，②中彈簧的左端受大小也為F的拉力作用，③中彈簧的左端拴一小物塊，物塊在光滑的桌面上滑動，④中彈簧的左端拴一小物塊，物塊在有摩擦的桌面上滑動．若認為彈簧的質量都為零，以l1,l2,l3,l4依次表示4個彈簧的伸長量．則有( )

圖4 例3題圖

A．l2>l1B．l4>l1

C．l1>l3D．l2=l4

解析：多數學生能分析出①、②兩種情況實際是一種情況，得出l1=l2的結論.但是要比較③、④以及它們與①、②的區別往往就無法下手了.對于③、④兩種情況，很多學生主觀上認為④中桌面粗糙，對彈簧的拉力更大，從而得出l4

4 輕桿

(1)若彈簧的勁度系數為κ，求輕桿開始移動時，彈簧的壓縮量x;

(2)求為使裝置安全工作，允許該小車撞擊的最大速度vm;

(3)討論在裝置安全工作時，該小車彈回速度v′和撞擊速度v的關系.

圖5 例4題圖

解析：本題的第一個問題較為簡單，彈簧彈力等于桿受到的最大靜摩擦力時輕桿就開始移動，由胡克定律可求出彈簧的壓縮量.對后面兩個問題解題的突破口是理解輕桿運動后彈簧的形變情況.對于輕桿而言，其質量為零合力必然為零，輕桿向右運動過程中所受滑動摩擦力不變，故而輕彈簧彈力不變，彈簧壓縮量不變，小車與輕桿保持相對靜止一起勻減速到零.然后桿保持靜止狀態，小車在彈簧彈力作用下向左加速直至彈簧恢復原長后，小車與彈簧分離.

(1)輕桿開始移動時，彈簧的壓縮量為x，由胡克定律得彈簧的彈力F=κx，輕桿所受合力為零，即F=f，聯立解得

(2)設輕桿移動前小車對彈簧做功為W，對小車從撞擊到速度減為零的過程中，由動能定理得

同樣，以最大速度vm撞擊時，有

聯立解得

(3)設小車以速度v1撞擊彈簧恰使輕桿移動，有

結合(2)可解得

討論：

1)當

時，桿未動，小車的動能先轉化為彈簧的彈性勢能，彈性勢能最終又轉化為小車的動能，小車仍以原速彈回，即彈回速度

v′=-v

2)當

時，可使輕桿移動，且保證裝置安全工作.系統速度減到零后，小車反彈，彈簧的彈性勢能轉變為小車的動能.可得出彈回速度

拓展思考：假設小車撞擊為安全速度，且撞后立即與彈簧栓連，問最終桿和小車所處的狀態？

栓連后小車壓縮彈簧的過程和題中問題沒有區別，小車被彈開過程在水平方向做簡諧振動，根據簡諧運動的對稱性，彈簧的最大伸長量與最大壓縮量相等，無法使桿運動，故最終桿靜止，小車做簡諧振動.

5 輕滑輪

【例5】(2011年高考福建卷)如圖6所示，一不可伸長的輕質細繩跨過滑輪后，兩端分別懸掛質量為m1和m2的物體A和B．若滑輪有一定大小，質量為m且分布均勻，滑輪轉動時與繩之間無相對滑動，不計滑輪與軸之間的摩擦．設細繩對A和B的拉力大小分別為T1和T2，已知下列4個關于T1的表達式中有一個是正確的，請你根據所學的物理知識，通過一定的分析判斷正確的表達式是( )

圖6 例5題圖

解析：本題中出現的滑輪是有質量的，學生在高考環境中遇到此題的時候可能會覺得無從下手，甚至會懷疑高考復習中可能有遺漏的知識盲點.實際上利用高中知識是無法解決有質量滑輪轉動問題的.那么是不是意味著本題我們就無計可施了呢？

做選擇題無從下手的時候，特殊值法往往能起到出其不意的效果.本題最大的難點就是不會處理有質量的滑輪，那么如果把滑輪質量假設為零呢？

設m=0，滑輪即為輕滑輪，它受到兩端繩拉力大小必然相等.可令T1=T2=T.

若m1

T-m1g=m1a

對B，有

m2g-T=m2a

可得到

把m=0代入A，B，C，D 4個選項，得C選項符合．

理論拓展：不少學生有疑問，對于質量m不可忽略的滑輪，難道細繩對A和B的拉力大小分別為T1和T2，二者不相等了嗎？確實不等！

物體加速運動過程中，滑輪也在加速轉動，題中說明“不計滑輪與軸之間的摩擦”，因而滑輪與軸間的摩擦力矩為零，軸對滑輪的支承力不產生力矩，可知兩側繩拉力對滑輪的合力矩不為零，因而拉力不等.結合大學物理中“剛體轉動”方面的知識，可有如下解答過程.

假設m1

(T2-T1)r=Jβ

(1)

其中轉動慣量

角加速度

式中a為物體加速度.

將以上物理量代入式(1)有

(2)

根據牛頓第二定律，對A，有

T1-m1g=m1a

(3)

對B,有

m2g-T2=m2a

(4)

由式(2)、(3)、(4)可求出

值得注意的是，滑輪質量不可忽略的問題在高中物理實驗中也有所體現，如在“驗證機械能守恒”實驗中，滑輪轉動動能的增加是比較重要的實驗系統誤差，因此實驗中應盡量選取質量小的滑輪.

綜上所述，解決“輕物體”模型的關鍵在于理解其質量為零的特點，由牛頓第二定律分析得出“輕物體”所受合外力為零的規律，而與物體的運動狀態無關.要區分“輕物體”與一般物體的不同，避免形成思維定勢，注意具體問題具體分析，并在解題中磨練，做到熟能生巧.

1 姜勝,任才生,潘華君.“輕質問題”初探. 中學物理,2013,31(11):94～95

2 王玉霞.輕質物體——一個永遠“平衡”的物體.物理教學探討,2014,32(12):43～44

3 李建斌.高考中的輕質物體.中學物理教學參考,2014(20):60～61

TheLight ModelinHighSchoolPhysics

ZhangZhengbing

(LujiangMiddleSchoolAnhuiProvince,Hefei,Anhui231500)

FangYing

(LujiangNo.2MiddleSchoolAnhui,Hefei,Anhui231500)

In this paper, we study the dynamics of different types of "light objects",discuss the dynamic characteristics of different types of "light objects", and hope to have a certain reference to the majority of students and teaching colleagues.

light objects; light model; Newton′s second law; zero external force

2016-08-02)