高中物理中的“輕模型”

張鄭兵

(安徽省廬江中學(xué) 安徽 合肥 231500)

房 英

(廬江第二中學(xué) 安徽 合肥 231500)

高中物理中的“輕模型”

張鄭兵

(安徽省廬江中學(xué) 安徽 合肥 231500)

房 英

(廬江第二中學(xué) 安徽 合肥 231500)

通過例題研究了不同類型 “輕物體” 的動(dòng)力學(xué)問題，探討了不同類型“輕物體”的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)，希望對(duì)廣大學(xué)生和教學(xué)同仁有一定借鑒意義.

輕物體 輕模型 牛頓第二定律 合力為零

高中物理中描述一類物體時(shí)常在其前面加上限定詞“輕”，如“輕結(jié)點(diǎn)”、“輕繩”、 “輕彈簧” 、“輕桿”、“輕滑輪”等.“輕”主要可以理解為物體質(zhì)量對(duì)所研究的物理問題影響很小，可以忽略不計(jì).這類物體我們可以把它叫做“輕物體”，利用牛頓運(yùn)動(dòng)定律我們可以建立“輕模型”來加以研究.由牛頓第二定律可以得出輕物體所受合力必然為零的特點(diǎn)，與其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān).這一特點(diǎn)通常是理解相關(guān)試題的切入點(diǎn)和突破口，然而學(xué)生對(duì)這一特點(diǎn)往往感到困惑.

所謂 “輕物體”，指的是質(zhì)量可以忽略不計(jì)的物體，是一種理想化的物理模型.然而學(xué)生對(duì)這類物體缺乏感性認(rèn)識(shí)，研究這類物體時(shí)的思維方式又與常規(guī)物體有很大差異，導(dǎo)致學(xué)生通常感覺這類問題難度甚大，無從下手.

要認(rèn)清“輕物體”這一模型，首先要分清“輕物體”和 “重力不計(jì)的物體”的區(qū)別.“輕物體”質(zhì)量可忽略，從而亦可以忽略其重力.“重力不計(jì)的物體”在電磁學(xué)中常有涉及，通常說明帶電粒子 “重力不計(jì)”，即受力分析時(shí)不考慮其重力，但質(zhì)量不能忽略，可由牛頓第二定律求出合力，再計(jì)算加速度.

其次，要清楚“輕物體”的受力特點(diǎn).根據(jù)牛頓第二定律，物體加速度與其合外力、質(zhì)量的關(guān)系F=ma，由于“輕物體”質(zhì)量為零，無論其加速度多大，所受合外力必然為零，與物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān).這也是它與常規(guī)物體的最大區(qū)別，也是學(xué)生感到最為困惑的地方.

近幾年高考對(duì)“輕物體”問題常有考查且學(xué)生失分較多.高中學(xué)習(xí)中常涉及到的“輕結(jié)點(diǎn)”、“輕繩”、“輕桿”、“輕彈簧”、“輕滑輪”都屬于這類問題.下面我們就通過例題探討不同類型“輕物體”的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn).

1 輕結(jié)點(diǎn)(環(huán))

【例1】(2016年高考課標(biāo)全國(guó)Ⅲ卷)如圖1所示，兩個(gè)輕環(huán)a和b套在位于豎直面內(nèi)的一段固定圓弧上：一細(xì)線穿過兩輕環(huán)，其兩端各系一質(zhì)量為m的小球.在a和b之間的細(xì)線上懸掛一小物塊.平衡時(shí)，a，b間的距離恰好等于圓弧的半徑.不計(jì)所有摩擦.小物塊的質(zhì)量為( )

圖1 例1題圖

解答：受力分析如圖2所示，設(shè)圓弧的圓心為O，懸掛小物塊的點(diǎn)為c，左右兩個(gè)小球的懸點(diǎn)分別為d,e.題中繩子結(jié)點(diǎn)均光滑，實(shí)際上是一根繩，各段繩子上彈力大小一定相等，且T=mg.對(duì)左側(cè)輕環(huán)研究，由于其質(zhì)量極小，重力可忽略不計(jì)，所受合力為零.左環(huán)受到的3個(gè)力分別為ad繩拉力，ac繩拉力，以及圓弧的彈力.圓弧彈力背離圓心，所以ad和ac繩拉力的合力一定指向圓心且在這兩繩夾角的平分線上.令

∠Oac=∠Oad=θ

由于ab=R，所以三角形Oab為等邊三角形，根據(jù)幾何知識(shí)可得

∠Oab=60°θ=30° ∠acb=120°

而在一條繩子上的張力大小相等，故有

T=mg

小物塊受到兩條繩子的拉力作用大小相等，夾角為120°，故受到的兩繩拉力的合力等于mg，因?yàn)樾∥飰K受到繩子的拉力和重力作用，且處于平衡狀態(tài)，故拉力的合力mg等于小物塊的重力，所以小物塊的質(zhì)量為m,故A,B,D錯(cuò)誤，C正確.

圖2 例1分析圖

2 輕繩

【例2】(2011年高考江蘇卷)如圖3所示，傾角為α的等腰三角形斜面固定在水平面上，一足夠長(zhǎng)的輕質(zhì)綢帶跨過斜面的頂端鋪放在斜面的兩側(cè)，綢帶與斜面間無摩擦.現(xiàn)將質(zhì)量分別為M和m(M>m)的小物塊同時(shí)輕放在斜面兩側(cè)的綢帶上.兩物塊與綢帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)相等，且最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力大小相等.在α角取不同值的情況下，下列說法正確的有( )

圖3 例2題圖

A．兩物塊所受摩擦力的大小總是相等

B．兩物塊不可能同時(shí)相對(duì)綢帶靜止

C．M不可能相對(duì)綢帶發(fā)生滑動(dòng)

D．m不可能相對(duì)斜面向上滑動(dòng)

解析：本題中綢帶質(zhì)量不計(jì)且斜面光滑，可將綢帶等效為一根輕繩，其所受合力必然為零，故無論任何情況下綢帶對(duì)兩物塊的摩擦力大小均相等，A選項(xiàng)正確.接著可以仔細(xì)分析本題中兩物塊所有可能的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

假設(shè)M相對(duì)綢帶發(fā)生滑動(dòng)，其對(duì)綢帶的滑動(dòng)摩擦力為μMgcosα，而m對(duì)綢帶的摩擦力最多為μmgcosα，由于μMgcosα>μmgcosα，綢帶所受合力不為零，假設(shè)不成立.故M不可能相對(duì)綢帶滑動(dòng)，它受到綢帶的靜摩擦力作用.若M相對(duì)斜面靜止，其所受摩擦力等于Mgsinα，此時(shí)m亦受到Mgsinα的摩擦力從而會(huì)加速上滑，綢帶發(fā)生松弛，不符實(shí)際.若M相對(duì)斜面向上運(yùn)動(dòng)，同樣可分析得出m會(huì)向上加速運(yùn)動(dòng)，假設(shè)同樣不成立，故M必定向下加速.對(duì)二者的狀態(tài)分析如表1所示.

表1M和m狀態(tài)分析

若m也受到綢帶靜摩擦力作用，有一種可能的情況：M向下加速，m向上加速，且二者加速度相等.

若m受到滑動(dòng)摩擦力作用，需討論m受到的滑動(dòng)摩擦力和重力沿斜面向下分力的關(guān)系，此情境有3種可能情況：若μmgcosα>mgsinα，m會(huì)向上加速；若μmgcosα=mgsinα，m相對(duì)斜面靜止；若μmgcosα>mgsinα，m向下加速.

由此分析可知C正確，B,D錯(cuò)誤.本題答案：A,C.

對(duì)M，m所有可能的運(yùn)動(dòng)情境，可結(jié)合上面系統(tǒng)表直觀看出.

3 輕彈簧

【例3】如圖4所示，4個(gè)完全相同的輕質(zhì)彈簧都處于水平位置，他們的右端受到大小皆為F的拉力作用，而左端的情況各不相同：①中彈簧的左端固定在墻上，②中彈簧的左端受大小也為F的拉力作用，③中彈簧的左端拴一小物塊，物塊在光滑的桌面上滑動(dòng)，④中彈簧的左端拴一小物塊，物塊在有摩擦的桌面上滑動(dòng)．若認(rèn)為彈簧的質(zhì)量都為零，以l1,l2,l3,l4依次表示4個(gè)彈簧的伸長(zhǎng)量．則有( )

圖4 例3題圖

A．l2>l1B．l4>l1

C．l1>l3D．l2=l4

解析：多數(shù)學(xué)生能分析出①、②兩種情況實(shí)際是一種情況，得出l1=l2的結(jié)論.但是要比較③、④以及它們與①、②的區(qū)別往往就無法下手了.對(duì)于③、④兩種情況，很多學(xué)生主觀上認(rèn)為④中桌面粗糙，對(duì)彈簧的拉力更大，從而得出l4

4 輕桿

(1)若彈簧的勁度系數(shù)為κ，求輕桿開始移動(dòng)時(shí)，彈簧的壓縮量x;

(2)求為使裝置安全工作，允許該小車撞擊的最大速度vm;

(3)討論在裝置安全工作時(shí)，該小車彈回速度v′和撞擊速度v的關(guān)系.

圖5 例4題圖

解析：本題的第一個(gè)問題較為簡(jiǎn)單，彈簧彈力等于桿受到的最大靜摩擦力時(shí)輕桿就開始移動(dòng)，由胡克定律可求出彈簧的壓縮量.對(duì)后面兩個(gè)問題解題的突破口是理解輕桿運(yùn)動(dòng)后彈簧的形變情況.對(duì)于輕桿而言，其質(zhì)量為零合力必然為零，輕桿向右運(yùn)動(dòng)過程中所受滑動(dòng)摩擦力不變，故而輕彈簧彈力不變，彈簧壓縮量不變，小車與輕桿保持相對(duì)靜止一起勻減速到零.然后桿保持靜止?fàn)顟B(tài)，小車在彈簧彈力作用下向左加速直至彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)后，小車與彈簧分離.

(1)輕桿開始移動(dòng)時(shí)，彈簧的壓縮量為x，由胡克定律得彈簧的彈力F=κx，輕桿所受合力為零，即F=f，聯(lián)立解得

(2)設(shè)輕桿移動(dòng)前小車對(duì)彈簧做功為W，對(duì)小車從撞擊到速度減為零的過程中，由動(dòng)能定理得

同樣，以最大速度vm撞擊時(shí)，有

聯(lián)立解得

(3)設(shè)小車以速度v1撞擊彈簧恰使輕桿移動(dòng)，有

結(jié)合(2)可解得

討論：

1)當(dāng)

時(shí)，桿未動(dòng)，小車的動(dòng)能先轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能，彈性勢(shì)能最終又轉(zhuǎn)化為小車的動(dòng)能，小車仍以原速彈回，即彈回速度

v′=-v

2)當(dāng)

時(shí)，可使輕桿移動(dòng)，且保證裝置安全工作.系統(tǒng)速度減到零后，小車反彈，彈簧的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)變?yōu)樾≤嚨膭?dòng)能.可得出彈回速度

拓展思考：假設(shè)小車撞擊為安全速度，且撞后立即與彈簧栓連，問最終桿和小車所處的狀態(tài)？

栓連后小車壓縮彈簧的過程和題中問題沒有區(qū)別，小車被彈開過程在水平方向做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，彈簧的最大伸長(zhǎng)量與最大壓縮量相等，無法使桿運(yùn)動(dòng)，故最終桿靜止，小車做簡(jiǎn)諧振動(dòng).

5 輕滑輪

【例5】(2011年高考福建卷)如圖6所示，一不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)繩跨過滑輪后，兩端分別懸掛質(zhì)量為m1和m2的物體A和B．若滑輪有一定大小，質(zhì)量為m且分布均勻，滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)與繩之間無相對(duì)滑動(dòng)，不計(jì)滑輪與軸之間的摩擦．設(shè)細(xì)繩對(duì)A和B的拉力大小分別為T1和T2，已知下列4個(gè)關(guān)于T1的表達(dá)式中有一個(gè)是正確的，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的物理知識(shí)，通過一定的分析判斷正確的表達(dá)式是( )

圖6 例5題圖

解析：本題中出現(xiàn)的滑輪是有質(zhì)量的，學(xué)生在高考環(huán)境中遇到此題的時(shí)候可能會(huì)覺得無從下手，甚至?xí)岩筛呖紡?fù)習(xí)中可能有遺漏的知識(shí)盲點(diǎn).實(shí)際上利用高中知識(shí)是無法解決有質(zhì)量滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)問題的.那么是不是意味著本題我們就無計(jì)可施了呢？

做選擇題無從下手的時(shí)候，特殊值法往往能起到出其不意的效果.本題最大的難點(diǎn)就是不會(huì)處理有質(zhì)量的滑輪，那么如果把滑輪質(zhì)量假設(shè)為零呢？

設(shè)m=0，滑輪即為輕滑輪，它受到兩端繩拉力大小必然相等.可令T1=T2=T.

若m1

T-m1g=m1a

對(duì)B，有

m2g-T=m2a

可得到

把m=0代入A，B，C，D 4個(gè)選項(xiàng)，得C選項(xiàng)符合．

理論拓展：不少學(xué)生有疑問，對(duì)于質(zhì)量m不可忽略的滑輪，難道細(xì)繩對(duì)A和B的拉力大小分別為T1和T2，二者不相等了嗎？確實(shí)不等！

物體加速運(yùn)動(dòng)過程中，滑輪也在加速轉(zhuǎn)動(dòng)，題中說明“不計(jì)滑輪與軸之間的摩擦”，因而滑輪與軸間的摩擦力矩為零，軸對(duì)滑輪的支承力不產(chǎn)生力矩，可知兩側(cè)繩拉力對(duì)滑輪的合力矩不為零，因而拉力不等.結(jié)合大學(xué)物理中“剛體轉(zhuǎn)動(dòng)”方面的知識(shí)，可有如下解答過程.

假設(shè)m1

(T2-T1)r=Jβ

(1)

其中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

角加速度

式中a為物體加速度.

將以上物理量代入式(1)有

(2)

根據(jù)牛頓第二定律，對(duì)A，有

T1-m1g=m1a

(3)

對(duì)B,有

m2g-T2=m2a

(4)

由式(2)、(3)、(4)可求出

值得注意的是，滑輪質(zhì)量不可忽略的問題在高中物理實(shí)驗(yàn)中也有所體現(xiàn)，如在“驗(yàn)證機(jī)械能守恒”實(shí)驗(yàn)中，滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增加是比較重要的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)誤差，因此實(shí)驗(yàn)中應(yīng)盡量選取質(zhì)量小的滑輪.

綜上所述，解決“輕物體”模型的關(guān)鍵在于理解其質(zhì)量為零的特點(diǎn)，由牛頓第二定律分析得出“輕物體”所受合外力為零的規(guī)律，而與物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān).要區(qū)分“輕物體”與一般物體的不同，避免形成思維定勢(shì)，注意具體問題具體分析，并在解題中磨練，做到熟能生巧.

1 姜?jiǎng)?任才生,潘華君.“輕質(zhì)問題”初探. 中學(xué)物理,2013,31(11):94～95

2 王玉霞.輕質(zhì)物體——一個(gè)永遠(yuǎn)“平衡”的物體.物理教學(xué)探討,2014,32(12):43～44

3 李建斌.高考中的輕質(zhì)物體.中學(xué)物理教學(xué)參考,2014(20):60～61

TheLight ModelinHighSchoolPhysics

ZhangZhengbing

(LujiangMiddleSchoolAnhuiProvince,Hefei,Anhui231500)

FangYing

(LujiangNo.2MiddleSchoolAnhui,Hefei,Anhui231500)

In this paper, we study the dynamics of different types of "light objects",discuss the dynamic characteristics of different types of "light objects", and hope to have a certain reference to the majority of students and teaching colleagues.

light objects; light model; Newton′s second law; zero external force

2016-08-02)