可逆圓形熱循環過程的循環效率研究

柴 蕊 穆成富 毛俊雯 張大立 李柏青

(湖州師范學院理學院物理系 浙江 湖州 313000)

可逆圓形熱循環過程的循環效率研究

柴 蕊 穆成富 毛俊雯 張大立 李柏青

(湖州師范學院理學院物理系 浙江 湖州 313000)

從理論上講任何正循環都可以作為某種熱機的工作原理，其循環效率不僅與循環曲線的形狀有關，而且與循環曲線在p-V圖的位置有關. 作為理論探討，以對稱性最高的圓形循環為例來討論上述問題很有代表性.首先給出圓形熱循環的循環效率的解析表達式，在此基礎上討論了隨圓心的坐標及半徑的改變循環效率的變化關系，以及圓形循環的循環效率曲線在p-V圖上的分布情況.

卡諾循環 熱機效率 圓形循環

在傳統熱學教材中通常以卡諾循環、奧托循環、狄賽爾循環等常見熱循環過程為例來具體講解熱機效率的計算. 從原則上講,在p-V圖上任何一條正循環閉合曲線都可以作為某種熱機的工作原理， 可以根據熱機效率(循環效率)的定義

來計算這臺熱機的效率[1]，其中W是系統對外做的凈功，Q1是系統從外界吸收的總熱量. 然而循環效率不僅與循環曲線的形狀有關，而且與循環曲線在p-V圖的位置有關. 為了從理論上研究上述問題，本文選取圓形循環進行研究，一方面因為圓形循環具有最高的對稱性，另一方面圓形循環對于加深理解如何判斷一個循環中何時吸熱何時放熱有著重要的意義.關于圓形和橢圓形熱循環過程的分析，已經有文章做過一些初步研究[2～6]. 本文將討論圓形循環的熱機效率隨著圓心的位置及半徑的變化情況，并進行了具體的數值計算. 這里的討論方法對于任意循環過程同樣適用.

1 圓形熱力學過程吸熱與放熱的判斷方法

為了求出圓形循環過程的循環效率， 首先需要判斷其熱力學過程中的吸熱與放熱過程，也就是需要求出從吸熱變為放熱及從放熱變為吸熱的過渡點坐標. 對于一般的熱力學過程， 判斷吸熱和放熱的方法有許多種. 文獻[2]中給出了通過確定過程熱容的正負來判斷熱力學過程的吸放熱方法, 文獻[3]列出了功熱比法和作圖法兩種判斷方法， 本文采用后一種方法來研究.

圓形循環過程如圖1所示，作兩條絕熱線1-6和2-4，與圓相切，交于1,2兩點，過1點作等壓線1-3，過5點作等壓線6-4.

圖1 作圖法判斷吸熱放熱過程

對于熱循環過程1-2-3-1， 凈功等于系統從外界吸收的熱量，即

W=Q=Q12+Q23+Q31>0

過程3-1等壓壓縮系統放熱

Q31<0

過程2-3絕熱

Q23=0

由此可得在該循環過程中

Q12>0

故1-2為吸熱過程.

同理,對于熱循環過程2-5-4-3-2， 可以得出在該循環過程中,過程2-5為放熱過程.對于熱循環過程1-6-5-1， 可得過程5-1為放熱過程.

2 圓形循環循環效率的理論推導

首先要建立描述圓形循環的函數方程. 由于壓強和體積具有不同的量綱，我們要選擇坐標軸的單位,本文用pr和Vr來作為p-V圖縱軸和橫軸的單位， 它們分別具有壓強和體積的量綱，并且縱坐標和橫坐標只標出物理量的大小而不標單位. 這樣標定后p-V圖上的圓形方程和數學里面x-y坐標軸上圓的方程沒有區別[4]. 文獻[4]中坐標軸的標定相當于取pr=1×105Pa和Vr=1×10-3m3. 由于本文要討論的循環效率是沒有量綱的物理量， 我們可以不必指出物理量的具體單位，不妨取pr=1個壓強單位，Vr=1個體積單位.這樣p-V圖中圓形循環的方程可以表示成

(p-p0)2+(V-V0)2=r2

(1)

其中(V0,p0)是圓心坐標,r是圓的半徑, 根據我們剛才的坐標軸約定， 半徑是無量綱的物理量.

2.1 求過渡點坐標

吸熱和放熱的過渡點(V1,p1)，(V2,p2)是圓形熱力學過程與絕熱線的切點，如圖2所示， 所以熱力學過程曲線與絕熱線在該切點處斜率相等[4].因此需要先求圓形熱循環的過程曲線斜率. 將過程方程式(1)兩邊對V求偏微商，偏微商的下標標以c， 表示圓形過程方程曲線上的斜率，得到

即

(2)

圖2 準靜態絕熱過程下的圓形熱循環

根據絕熱線的過程方程， 可以得到絕熱線上的斜率[1]

(3)

其中γ是比熱容比.吸熱和放熱的過渡點即兩曲線的切點應同時滿足式(2)和式(3)，即

即

V(V-V0)=γp(p-p0)

(4)

因為圖2中過渡點還是圓上的點， 同時還應該滿足式(1).所以式(1)和式(4)就是吸熱和放熱的過渡點坐標(V1,p1)和(V2,p2)所應滿足的方程，聯立求解得到

(5)

(6)

根據一元四次方程求根公式并舍掉非物理解， 由式(5)可得

(7)

(8)

如此我們可以確定循環圖中吸熱放熱分界點的具體位置，這對于求循環效率至關重要.上面兩個表達式雖然形式復雜，但從中我們可以看出吸熱放熱分界點的位置與圓心坐標V0,p0和半徑r有關，并且依賴于氣體比熱容比γ.

這里我們定義了如下幾個函數

α(V0,p0,r,γ)=

{3×(γ+1)2×[Δ2(V0,p0,r,γ)+

Δ1(V0,p0,r,γ)=C(V0,p0,r,γ)2-

3B(V0,p0,r,γ)D(V0,p0,r,γ)+

12A(V0,p0,r,γ)E(V0,p0,r,γ)

Δ2(V0,p0,r,γ)=C(V0,p0,r,γ)3-

9B(V0,p0,r,γ)C(V0,p0,r,γ)D(V0,p0,r,γ)+

27A(V0,p0,r,γ)D(V0,p0,r,γ)2+

27B(V0,p0,r,γ)2E(V0,p0,r,γ)-

72A(V0,p0,r,γ)C(V0,p0,r,γ)E(V0,p0,r,γ)

C(V0,p0,r,γ)=

D(V0,p0,r,γ)=

將過渡點的壓強值代入式(6)就可以求出過渡點的體積值.所以由式(6)～(8)可得過渡點坐標(V1,p1)、(V2,p2)的具體解析表達式.

2.2 圓形循環循環效率的解析表達式

圖2中圓形熱循環為正循環，在整個循環過程中，氣體吸收總熱量為Q1，氣體對外做的凈功為W， 則循環效率為

(9)

另一方面,熱循環過程中的凈功為循環曲線所圍面積，即W=πr2.在圖2中過程3-4-1為吸熱過程，此吸熱過程中氣體吸收熱量即為循環過程中系統從外界吸收的總熱量Q1.根據熱力學第一定律，有

Q1=ΔU+W1′

(10)

其中W1′為吸熱過程中氣體對外界做功，ΔU為此過程中內能的改變.理想氣體內能僅僅與溫度有關， 所以吸熱過程中的內能變化ΔU可以表示為

ΔU=νCV,m(T2-T1)

(11)

其中摩爾等體熱容可以普適常量R和氣體比熱容比γ表示

(12)

根據理想氣體狀態方程pV=νRT(ν表示氣體的物質的量)可以得到

(13)

由式(11)，(12)，(13)聯立得熱循環過程中的內能變化ΔU

(14)

因為p,V滿足圓形熱循環方程式(1)， 可以求得在吸熱過程中外界對氣體所做的功W1

(15)

上式是吸熱過程外界對氣體所做的功，從物理上講也就是循環曲線的上部分(p1,p2點的圓弧上部分)與橫軸所圍成的面積的大小. 從式(15)也可以看出此功大小與吸熱放熱分界點的坐標密切相關，也與圓的半徑有關.在準靜態過程中氣體對外界所做的功和外界對氣體所做的功差一個負號，即

W1=-W1′

由式(9)、(10)、(15)聯立求解，可以得到圓形循環的循環效率的具體表達式

(16)

3 循環效率隨圓心位置和半徑的變化關系及分布

從式(14)、式(15)和式(16)可以看出圓形循環循環效率是p1,p2,V1,V2的函數，而從式(6)、(7)和式(8)可以看出p1,p2,V1,V2又是圓心坐標(V0，p0)和半徑r的函數， 所以我們可以通過數值計算求出循環效率隨圓心位置和半徑的變化關系，以及循環效率p-V在圖上的分布情況.

3.1 圓心(V0,p0)沿反比例函數變化

圖3 圓心坐標(V0,p0)沿曲線變化時

圖4 循環效率η沿著不同等溫線的變化情況

3.2 圓心固定在點(3,3)時循環效率隨半徑r的變化情況

圖5 圓形熱循環效率η隨半徑r的變化關系圖

從圖5可以看出循環效率隨圓的半徑增大而增大.與前面分析類似，可以通過循環效率的表達式式(16)對這個現象進行物理解釋：圓的半徑增大說明系統對外界所做的凈功增大，導致式(16)的分子增大.但圓形熱循環曲線的吸熱部分曲線與橫軸所圍成的面積增大，同時過渡點(V1,p1)、(V2,p2)所經過的等溫線之間的距離變大即內能變大，這兩種因素導致式(16)的分母也增大，分子分母兩種效應互相競爭導致圖5的結果出現.

3.3 圓形循環循環效率在p-V圖上的分布

下面討論圓形循環循環效率在p-V圖上的分布情況.令式(16)的循環效率取不同數值，分別是η=0.1,0.15,0.2,0.25，讓圓心坐標(V0,p0)在p-V圖中自由變化(同時考慮圓最多只能與坐標軸之一相切，否則沒有物理意義)，畫效率的等高線圖.這里式(16)中半徑r取為一個單位.結果如圖6所示.

圓形熱循環效率η取不同值時，圓心位置也隨之不斷變化的等高線如圖6所示.當η值增大時等高線的密集程度增加，圓心位置的變化程度減小.在同一η值下，圓心位置也沿一定的曲線分布移動.在圖6中我們可以直觀地看出圓形循環循環效率在p-V圖上的分布.由于圓心坐標(V0,p0)滿足式(1)和式(4)，所以圓心橫縱坐標V0，p0在圖6中并不對稱.

圖6 不同效率取值下圓心坐標(V0,p0)的變化圖

4 結束語

本文計算了圓形熱循環過程的循環效率η,給出它的解析表達式.然后討論了圓形熱循環的循環效率隨圓心坐標在p-V圖沿不同曲線移動的變化關系，同時討論了循環效率隨圓半徑的變化情況.最后研究了圓形循環循環效率在p-V圖上的分布情況.圓心在p-V圖移動過程中，過渡點(V1,p1)、(V2,p2)所經過的等溫線之間的差值決定了系統在吸熱過程中的內能變化ΔU，吸熱曲線與橫軸所圍成的面積決定了吸熱過程中系統對外界所做的功，這兩個因素共同決定了整個圓形熱循環過程中系統從外界吸收的熱量，即決定了循環效率的大小.

1 李椿，章立源，錢尚武，等.熱學(第2版).北京：高等教育出版社，2008.134～141

2 嚴子峻.判斷熱力過程吸熱與放熱的一種簡便方法.物理與工程，2002,12(3)：16～19

3 高德文，王繼紅.判斷熱力過程吸熱與放熱的兩種方法.物理與工程，2000,11(3)：27

4 秦允豪.普通物理學教程熱學習題思考題解題指導(第3版).北京：高等教育出版社，2012.168～170

5 李勇，史順兵.理想氣體橢圓形可逆循環效率計算問題討論.平頂山學院學報，2009，10 (3)：86～88

6 蘇景順，賈秀敏.理想氣體橢圓循環的效率.大學物理，2005，24(2)：25～26，56

ResearchontheCycleEfficiencyforaProcessofReversibleCircularThermalCycle

ChaiRuiMuChengfuMaoJunwenZhangDaliLiBaiqing

(SchoolofScience,HuzhouUniversity,Huzhou，Zhejiang313000)

Theoretically, any normal thermal cycle can be considered as an operating principles of heat engine, its efficiency is related not only with the shape of cycle, but also with its position inp-Vdiagram. In theory, we can take circular thermal cycle as an example to discuss the above questions, because circular cycle has the highest symmetry. Firstly, we give the analytic expression on the efficiency for a circular thermal cycle. Secondly, we discuss the changes of the efficiency with the center coordinates and radius. We also give the distribution curve of the same value of efficiency on thep-Vdiagram.

Carnot cycle; efficiency of heat engine; circular cycle

柴蕊(1994- ),女,2012級物理師范專業本科生.

指導教師：穆成富(1978- ),男,博士，講師，主要研究方向為理論物理.

2016-08-01)