《解決問題的策略
——一一列舉》教學建議

嵇憲長

（江蘇省無錫市蠡園中心小學，江蘇無錫 214000）

《解決問題的策略
——一一列舉》教學建議

嵇憲長

（江蘇省無錫市蠡園中心小學，江蘇無錫 214000）

解決問題的策略，具體到教學實踐中，其實就是解決問題時思考的方法，也就是在教學過程中重點要讓學生學習和運用思考的方法。為此，需要明確策略的適用范圍，強化策略的運用要點，講究策略的使用技巧，讓學生在辨析、聯系和分化中形成策略意識，提升應用能力。

解決問題；一一列舉；教學建議

引 言

解決問題的策略，其功能和價值有很多區分。按照其在解決問題的一般性價值來分，可以粗略地將“解決問題的策略”分為一般策略、基本策略和常用策略。在蘇教版小學數學教材選擇編排的策略中，分析法和綜合法屬于一般策略，是在解決所有問題時都需要運用的思維方式；列表整理問題和畫圖表征問題屬于基本策略，在解決稍有難度、復雜的問題時基本都會用這樣的策略幫助理解題意、尋找關系；而像一一列舉、假設法、轉化法則屬于常用策略，更偏重于方法層面，利用這樣的思維方法常常能順利解決具有相應特征的問題。

一、明確一一列舉策略的適用范圍

前文已述，一一列舉策略屬于常用策略，這是就使用的范圍、時機和頻率而論的。教學實踐中，首先要讓學生認識到一一列舉策略的適用范圍，即是在問題的答案多樣的時候，我們常常需要將問題的答案一個一個有順序地列舉出來，并根據列舉的實際情況回答問題。所以，在課堂伊始，我們就要設計比較恰當的答案唯一問題和答案多樣問題，讓學生進行對比，發現這兩類問題的基本特點，進而引出“一一列舉”的思考策略。比如，在數學中比較普遍地存在著這樣一個現象：正向敘述的問題，通常答案唯一，思考的難度較低；而一旦將問題反敘時，問題思考的難度立即升級，答案也可以變得多樣起來。如5+3=（ ）屬于正向敘述問題，（ ）+（ ）=8屬于反向敘述問題，前者答案唯一，后者答案多樣。課堂上我們可以設計這樣的問題，讓學生在比較中找到兩者的不同特點，并相機指明把多樣答案一個一個列舉出來的解決問題的方法就叫作“一一列舉”策略。接著，進入到新課創設的問題情境中，去體會和感悟運用一一列舉策略思考和解決問題的一般路徑和操作要點。在課堂鞏固時，我們也可以出示一組問題，讓學生在審題的基礎上，首先對問題進行分類，看看哪些問題需要使用一一列舉策略、哪些問題則不要，以培養學生良好的問題直覺。然后再把那些需要一一列舉策略的問題篩選出來，使用一一列舉的策略一一解決[1]。

二、強化一一列舉策略的運用要點

數學就是為了讓學生學會有根有據、有條有理地思考和解決問題，從而培養思維的條理性和嚴密性，以提升思維的良好品質。運用一一列舉策略解決問題，正是培養學生思維有序性和條理性的有效載體和良好時機。在教學實踐中，引出一一列舉策略時，需要適當拉長策略的感受過程，特別是需要讓學生觀察“無序列舉”和“有序列舉”，從實際情形和效果的對照中得出“有序”的優勢——可以有效地防止遺漏和重復，使解題的程序和層次更加清晰，方便把握。

當然，除了新授環節，需要強調“有序”外，在課堂的鞏固練習和更長一段時間的繼續練習中，也要不斷強化這一要點。也就是，只要運用到“一一列舉”這一解題策略，學生就能意識到“序”，提煉出“序”，感受有“序”。就教材中安排的習題來說，“序”的體現主要有這樣幾種：一是時間推進的序。如鬧鐘響鈴問題、網站更新問題、車輛發車問題等，這類問題的“序”，在自然解題的狀態下就可以生成，不需要特別強調。二是搭配問題的序。如數字組合問題、球隊比賽問題、配菜問題、線路問題等，這類問題的“序”，在搭配的過程中，需要強調從某類要素中的一個要素想起，依次搭配，列舉出全部的情形。三是設計方案的序。典型的就是已知長方形的周長或面積，列舉出符合要求的長方形。因為決定長方形形狀的元素是長和寬，就可以引導學生以長或寬為思考前提，在遵循長的數據大于或等于寬的數據的規則下，按照順序記錄下符合題目條件的所有長方形，然后從中篩選出符合要求的指定長方形。

在具體實施這個要求過程中，方法和程序又可以靈活多變。具體來說，對于一般難度的問題，我們通常可以用這樣的問題引導學生思考：你準備用什么樣的思考方法解決這個問題？（一一列舉的策略）在列舉時要注意什么？（列舉的“序”）關于這個問題，你心目中的“序”是什么？除了這個“序”，還可以是什么“序”？要求學生在真正動手解決問題之前，就開始通盤考慮，整體謀劃，在頭腦中設計出一條解決問題的嚴整路徑，然后按照這個路徑，實施解題計劃，直至問題得到順利正確解答。而對于一些題材和情境相對陌生、思維難度較大的問題，可以采用先零敲碎打、七嘴八舌的方式羅列出答案，再引導學生回頭反思尋找“序”的方法。等通過師生活動確定了思考問題的“序”后，再讓學生運用這個“序”來嘗試解決問題，在以退為進、循環往復中強化思考問題的條理性。

三、講究一一列舉策略的使用技巧

學生在過往解決問題時，常常是用算式來記錄自己的思考過程，表達解題結果，而適宜使用一一列舉策略解決的問題，常常并不需要或不方便用算式來記錄（即使需要算式，它也僅是整個解題過程中的一個環節），需要采用與既有經驗不同的方式來表達思考，尋找答案。所以，在使用一一列舉策略解題問題時，學生需要專門學習一些具體的解題技巧。而這些技巧的價值、掌握和熟練，需要學生在使用的過程中慢慢體會和領悟，在不斷鞏固的過程中達到靈活運用。

一是問題要素符號化。這個技巧是整個一一列舉策略解決問題過程中使用最廣的。當然，這里的符號是廣義的，包括字母、數字、符號等。因為問題一般是使用文字來敘述其中的要素的，使用符號來代替問題中的元素，無論在列舉答案的書寫上還是在審定答案的閱讀上，都會帶來簡潔與便利。只不過，需要略加注意的是，在選擇符號代替問題中元素的時候，一類元素就用一類符號來表示，另一類元素就用另一類符號來表示，比如用大寫字母和小寫字母來區分，或用字母和數字區分，或采用其他形式區分。區分開以后，更方便體現思考的有序性和層次的清晰性。

二是答案表征結構化。一一列舉的問題，需要將多個符號要求的答案按序羅列出來。由于這些答案之間既相互獨立又緊密關聯，因此適合采用結構化呈現答案的方式，這既體現了問題解決者思維的清晰與流暢，同時也為自身有效的反思和回顧活動提供了便利的條件。最常用的結構表征的方式是列表和畫圖（連線可以看成是其中的一種特殊形式），這兩種呈現方式對于大多數問題來說，是可以相互轉換的，教學中可以選擇一些問題進行兩者之間的轉換，并讓學生進行對照和比較，得出兩者的相同之處和優劣所在，從而增強根據問題特點選擇合適列舉方式的意識和能力[2]。

三是問題思考序列化。其實關于這一點，前文已經講了不少。再談這一點，只是為了強調：在稍復雜的一一列舉問題中，經常需要采用“類+種”的思考方法，也就是先把答案分成幾大類，再按照每一類的要求列出從屬的幾種答案，最后才把所有的情況進行綜合。從學生學習的實際情況來看，關于“分類”這個環節，學生把握起來是比較困難的，他們往往不能在解決問題的初始階段進行分類思考，而只能列出某一類別中的一種或幾種答案。所以，在教學中，要帶領學生總結出這種序列思考的方式，并在練習中加以運用，不斷提高學生有序思考的深度和水平。

[1]徐紅.讓學生自悟“策略”——解決問題的策略(一一列舉)教學實踐與思考[J].新課程學習(上),2014,(12):46.

[2]張慧萍,孟亦濬.“解決問題的策略:一一列舉”教學實錄與評析[J].小學數學教育,2012,(11):66-69.

嵇憲長（1970），男，江蘇濱海人，本科學歷，主要從事小學數學學科教學與研究，高級教師。