根號的歷史演變以及對教學的啟示

四川師范大學數學與軟件科學學院(610068) 王譯 張紅

根號的歷史演變以及對教學的啟示

四川師范大學數學與軟件科學學院(610068) 王譯 張紅

數學符號是數學的抽象語言,是用以表示數學概念、數學關系等的符號與記號,更是用來記錄數學公式、命題、演算的重要工具.數學符號是無聲的音符,表達著嚴謹的數學概念和縝密的思維,正如我國數學史家梁宗巨先生所說：“一套合適的符號,絕不僅僅是起速記、節省時間的作用.他能精確、深刻地表達某種概念、方法和邏輯關系,一個較復雜的公式,如果不用符號而用日常語言來敘述,往往十分冗長而且含混不清.”[1]

如今,通用數學符號已有300多個,常見的也有200多個.在我國,當今大中小學常用的數學符號則多達100余種[2].這些數學符號的創造絕非一蹴而就,而都是經歷了漫長而又曲折的歷史.根號是中學時期,乃至往后的整個數學學習階段都十分重要的數學符號.但在教學實踐中,大部分人則將目光主要聚焦在根式教學、性質、概念、計算等方面,而對此符號歷史演變的專門研究卻少之又少.筆者認為,既然根號之于中學生來說異常重要,而每一個數學符號也是數學家們經過幾百年甚至上千年的“鍛造”,才擁有如今通用的模樣,那么關于根號的源起、發展是怎樣的呢？歷代數學家各自又是用怎樣的符號表示的呢？這似乎并沒有非常清晰的答案.因此,筆者在查閱史料的基礎上,試圖對這些問題作出回答,并得到數學史研究對根號教學的相關啟示.

一、根號的演變歷史

在數學的發展史上,根號出現得非常早.古埃及卡洪的兩部紙草書上,都曾有方根的身影,他們用符號“”來表示.而在7世紀的印度,數學家婆羅摩笈多用“C”來表示平方根,“C”則為carani(平方根)的第一個字母.但到了中世紀,印度人又用“kapaha”一詞中的“ka”來表示,但不表示負根.阿拉伯也曾用來表示雖然,根號的樣貌層出不窮,數學家們所用的符號也是千變萬化,但是最具代表性且影響較為深遠的當屬、l、√這三種符號.

(一)、用表示方根的歷史

1142年,從阿拉伯語翻譯成拉丁語的《幾何原本》中,在其第十卷的注釋里,采用了拉丁語“radix”表示平方根.1202年,意大利著名數學家斐波拉契(Fibonacci),又稱“比薩的萊昂納多 (Leonardo of Pisa)”,編著《算盤書》、《實用幾何》等書,對印度-阿拉伯符號進行了詳盡敘述,推動這些數字引入歐洲[3].在書中,他選取radix的首字母加一點的形式,組成符號“”,用來表示未知量x的一次方,同時表示平方根.這個符號后來就成為了方根的符號,以其原型,或是稍作變化的形式,被流傳了好幾個世紀.

15世紀的時候,意大利數學家帕喬利(Luca Pacioli),遵循斐波拉契的表示符號,采用了的兩種意義；1489年,維德曼(Johann Widman)則在使用作為方根符號的同時,也使用省略詞“ra”；1484年,法國數學家邱凱(Nicolas Chuquet)在其《算術三篇》的手稿中采用作為開方符號,他寫道：“R2翰尼斯·朔伊貝爾(Johannes Scheubel)則使用了維德曼的縮略詞符號ra,他用“ra.cu.”表示立方根,“ra.ra.”表示四次方根.同時,他還自創使用“radix quantitatis”的縮略詞“radix se.”作為立方根的符號,但是卻沒能再進一步使用.1562年,佩雷斯·莫亞(J.Perez de Moya)在其著作《Arimetica practica yspeculativa》中還使用字母“r”來表示平方根,“rrr”表示立方根,“rr”表示四次方根.

(二)、用l表示方根的歷史

公元2世紀,羅馬學者尼普薩斯(Junius Nipsus)曾引進拉丁語“latus(正方形的邊)”來作為平方根的符號.烏爾提亞努斯·卡佩拉(Martianus Capella)、格伯特(Gerbert)以及蒂沃利的柏拉圖(Plato of Tivoli)都在自己的著作中采用了這個符號.而皮特·拉姆斯(Peter Ramus)似乎與斐波拉契有著同樣的思考方法,他使用了latus的首字母“l”作為開根號的符號,因而他這樣寫道：“l 27 ad 12”gives“l 75”“ll 32 de ll 162”gives“ll 2”(今在由拉扎勒斯·朔納(Lazarus Schoner)編輯的拉姆斯關于代數與算術的書籍中,他將拉姆斯方根的符號稍作改進,把寫作“lc 4”,并且還用“l bq 5”取代了拉姆斯“ll 5”的表示方法.其實,用l表示平方根依然有著如同R那樣的雙重含義,但是朔納則規定以l與數字位置的不同,來區分l所代表的意義,比如：5l則表示5x,而 l5就為

法國代數學家弗蘭西斯·韋達(Francis Vieta)也曾是拉姆斯根式符號“l”的堅決擁護者,雖然之后由于種種原因,他很不情愿的使用了R或者√作為方根的符號.后來,由于l作為根式符號并沒有太廣泛地流行開來,而且隨著對數的產生,l被拿去用作對數的符號.

(三)、用√表示方根的歷史

著名數學家歐拉曾認為,根號“√”應該來源于“radix”的首字母小寫形式“r”.但是從德國的代數手稿中我們卻發現,那時人們似乎接受了一個看似很難站得住腳的觀點：√是由點“·”演變而來的.在一部于1480年完成的拉丁文手稿中,曾用點來表示開方：“·”表示開平方；“·”表示開四次方；“···”表示開立方；“···”表示開九次方.很顯然,采用這種符號并不是一個令人愉快的選擇.于1524年之前完成的哥根廷手稿中,人們還驚奇地發現,當時數學家們也曾采用類似于蝌蚪的符號“”來作為方根符號.一部分學者認為,這一蝌蚪一樣的符號,或許就是“·”由于書寫時的筆跡問題多帶了一個小尾巴,而在后來的手稿中演變成了“”.那么“√”是否是從“·”演化而來的呢？雖然一些學者乃至數學家都很喜歡這一觀點,但是我們現在所擁有的證據卻不能使我們對此下結論.

1525年,波蘭-奧地利數學家魯多爾夫(Christon Rudolff)在他題為《未知數》的一本歐洲流行代數書中,創作符號“√”表示平方根,小點后的尾巴已變成一段直線.同時他還引入了立方根符號“”,四次方根符號“”,其中后者被解釋為兩個平方根號的組合,即：√√[4].由于,魯多爾夫的符號相比之下有著巨大的優越性,因而于16、17世紀很快地在德國、法國、意大利、英國以及西班牙等地流傳開來.但是,我們不得不承認,這一符號其實也存在著明顯的缺陷,如果被開方的是一個多項式或多重根式,那么符號的意義便不好區分,因而繼續改進符號就顯得十分必要.

1637年,笛卡爾(Descartes)將“√”與擴線“—”結合起來,便形成如今所使用的根式符號卡約黎(Floria Cajori)認為,笛卡爾曾學習過艾伯特·吉拉德(Albert Girard)的筆記[5].因為,吉拉德曾用√3).20+√239來表示現在的而笛卡爾于1640年9月30日寫給梅森(Mersenne)的一封信中,就出現了√3)、√4)、√7)等的多次方根.也許他就是受到了其中半括號的影響,而將√與”結合在一起,因為在那時,括號便是一種運算順序.至此,簡單優美的已在笛卡爾的妙筆下誕生,但這一創造性的工作并沒有迅速地傳播開來,致使后來的部分數學家繼續創造了一些符號.例如：1647年的奧特雷德(Oughtred),用表示平方根,約翰·沃利斯(John Wallis)用表示現在的然而,也正是由于科學家們的不斷嘗試,才對比出作為開方符號的優越性,也只有通過比較篩選,才可以留下最好,最合適的.之后,隨著立方根符號,多次方根符號的相繼問世,通用的根式形式日臻完善,漸漸地在世界上流傳開來,通用至今.

二、根號在中國

是一個地地道道的舶來品,它由清代數學家李善蘭翻譯外國著作時引進.美國傳教士狄考文翻譯出版的《代數備旨》中也使用了作為開方符號.雖然沒有根式符號的演變歷史,但我國對根式的認知以及運算卻早在劉徽之前已經存在.《九章算術》開方術中有言：“若當之不開盡者,為不可開,當以面命之.”便是說以“面”來命名一個開方不盡數,而“面”=

歷史上,中國數學家們雖早已掌握了方根的知識,但是卻未能創造出合適的符號去替代漢字表達方根.也正是由于中國古代多采用漢字達意,使之我們的一些數學知識不能在世界上廣為流傳.而這種現象,多與中西方文化息息相關.西方語言多是音節,大多符號可采用首字母或單詞縮寫的形式通過變形等手段來發明創造,使之符號簡單好寫,所蘊含的意義也一看便知.而漢字卻不一樣,本就是世界上最難的文字之一,即使能夠學習西方那種“造”符號的辦法,也未必能廣泛流傳開來.因此,數學符號之于數學傳播的重要性顯而易見,沒有數學符號,便沒有如今數學的發展.

三、教學啟示

北師大版教科書中,根號是八年級上冊第二章實數部分第二小節所學內容.在書中,它這樣描訴：一般地,如果一個正數x的平方等于a,即x2=a,那么這個正數x就叫做a的算術平方根,記作讀作“根號a”.直截了當地給出了算術平方根的定義以及這一新鮮符號.同時,筆者發現,無論是此節還是下一小節立方根的學習中,教材里都未曾涉及到的相關數學史知識,只是通過一則定義,一些習題,讓同學們接受這一符號.

根號是中學數學中學習到的最重要的數學符號之一,它的出現,不僅為學生定義了一類新的數,同時也定義了一類新的運算.曾做過一個有趣的調查,當問及學生們首次遇見覺得它像什么的時候,大多數人便將其想象成一個鉤、漢字“廠”、一張滑梯等等.當然,這樣的回答無可厚非,正是因為同學們對根號的認識并不深刻,也只得從表面上去觀察它,記住它.德國數學家F·克萊因(F.Klein)曾說過：“符號常常比發明它們的數學家更難推理.”如若將一個數學符號就這樣硬生生的擺在學生的面前,要求他們讀、寫,勢必會使其“只能會形,不能會意”.隨著年級的增加,所學的符號越來越多,形式也越來越復雜,若不能有趣的學習并記住各種數學符號,學生對數學的厭煩、抵觸心理便會越來越嚴重.因此,筆者認為,教科書中應適當增加一些關于根號的演變史,教師也應重視數學符號的教學,在提高課程趣味性和人文性的同時,也可幫助學生更好地理解數學符號,拓寬視野.

[1]梁宗巨,世界數學史簡編[M],沈陽: 遼寧教育出版社,1981: 134.

[2]徐品方,張紅,數學符號史[M],北京: 科學出版社,2007: 358,218.

[3][美]霍華德·伊夫斯著,歐陽絳譯,數學史概論[M],哈爾濱: 哈爾濱工業大學出版社,2009: 255.

[4]梁宗巨,王青建,孫紅安,世界數學通史(下冊·一)[M],沈陽: 遼寧教育出版社,2001: 444.

[5]Floria Cajori,A History of Mathematical Notation(Vol.1)[M],La Salle: The Open Court Publishing Company,1951: 360-379.

[6]郭書春,九章算術譯注[M],上海：上海古籍出版社,2013: 133,137

[7]李繼閔,劉徽關于無理數的論述[J],西北大學學報,1989,1(19).

[8]李文林,數學史概論[M],北京: 高等教育出版社,2011: 92.