方程思想在勾股定理中的運(yùn)用

廣東省江門(mén)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)(529000) 陳銘波

方程思想在勾股定理中的運(yùn)用

廣東省江門(mén)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)(529000) 陳銘波

一、利用勾股定理解決折疊問(wèn)題

勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)形結(jié)合的思想.在折疊問(wèn)題中勾股定理有著非常廣泛的應(yīng)用.在這類(lèi)問(wèn)題中常通過(guò)折疊的條件得出相等的線(xiàn)段,再通過(guò)勾股定理直接求出未知線(xiàn)段或通過(guò)勾股定理列出方程求出未知線(xiàn)段.

例1.如圖,把長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊,B、C兩點(diǎn)恰好重合,落在AD邊上的點(diǎn)P處,已知∠MPN=90°,長(zhǎng)方體的長(zhǎng)AD=12cm,MN=5cm,求長(zhǎng)方形的寬.

圖1

分析: 由題意可知PM=BM,PN=CN,則PM+PN=BM+CN=BC-MN=12-5=7cm,設(shè)PM=xcm,則PN=(7-x)cm,又∠MPN=90°,在Rt△PMN中利用勾股定理可以求出PM、PN的長(zhǎng),然后通過(guò)面積法求出MN邊上的高即長(zhǎng)方形的寬.

解: 設(shè)PM=x cm,則PN=12-5-x= (7-x)cm.在Rt△PMN中,由PM2+PN2=MN2得x2+(7-x)2=52,化簡(jiǎn)得到x2-7x2+12=0,即(x-3)(x-4)=0,即x=3或x=4.過(guò)點(diǎn)P作PE⊥MN于點(diǎn)E,由得

在解題的過(guò)程中,部分學(xué)生一開(kāi)始就想通過(guò)構(gòu)造三角形直接求出三角形的寬而沒(méi)有想到通過(guò)面積法來(lái)求Rt△PMN的高PE來(lái)求出長(zhǎng)方形的寬,從而導(dǎo)致了思維局限在一個(gè)方向上.也有一部分學(xué)生在列出方程算出PM有兩個(gè)值時(shí)就產(chǎn)生的疑惑,其實(shí)我們的目的是求出Rt△PMN的面積,通過(guò)面積法就可求出高PE出現(xiàn)兩個(gè)值對(duì)面積大小沒(méi)有影響.

例2. 已知矩形ABCD,其中AB=8cm,BC=10cm,折疊矩形ABCD的一邊AD,點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處,求: (1)CF的長(zhǎng);(2)EC的長(zhǎng).

圖2

分析: 由題意可知AF=

解: (1)依題意得: △ABF～=△AEF AF=AD= 10,DE=EF在Rt△ABF中,由勾股定理得BF=10-6=4cm(2)設(shè)EC=x,則EF=8-x在△ECF中,由勾股定理得CF2+EC2=EF242+x2=(8-x)2解得: x=3∴EC=3cm在求出CF的長(zhǎng)之后,也有一部分的學(xué)生設(shè)EF=ED=x,則EC=(8-x)cm,也可以求出EC的長(zhǎng).

二、利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題

例3.現(xiàn)在要組建一個(gè)課外調(diào)查小組,假設(shè)你就是其中的一員,現(xiàn)在要測(cè)量學(xué)校旗桿的高度,測(cè)量發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米,當(dāng)把繩子的下端拉開(kāi)5米后,發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面,你能算出來(lái)旗桿的高度嗎?

圖3

分析:

1.根據(jù)實(shí)際情況,構(gòu)造了直角三角形;

2.找出直角三角形中已知的邊和要求的邊;

(2) 兩種方法都能夠確定轉(zhuǎn)子所在的60°電角度位置區(qū)域,通過(guò)定位力矩與轉(zhuǎn)子位置的關(guān)系能夠準(zhǔn)確找到轉(zhuǎn)子的位置;

3.分析直角三角形三邊分別存在在什么關(guān)系(運(yùn)用方程思想);

4.根據(jù)三邊關(guān)系列出方程.

解: 設(shè)旗桿的高度為x米,則繩子的長(zhǎng)度為(x+1)米.如圖,AC=x,AB=x+1在Rt△ABC中,由勾股定理得AC2+BC2=AB2x2+52=(x+1)2

解得: x=12∴AC=12答: 旗桿的高度為12米.

在實(shí)際教學(xué)中,學(xué)生遇到的問(wèn)題就是無(wú)法根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型;建立數(shù)學(xué)模型之后也有部分學(xué)生設(shè)繩子的長(zhǎng)度為x米,則旗桿的高度為(x-1)米,同樣可求出旗桿的高度.

例4. 在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問(wèn)題,這個(gè)問(wèn)題的意思是: 有一個(gè)水池,水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的蘆葦,它高出水面1尺,如果把這根蘆葦垂直拉向池邊的頂端恰好到達(dá)池邊的水面,請(qǐng)問(wèn)這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各是多少?

圖4

解: 設(shè)這個(gè)水池的深度為x米,則這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度是(x+1)米.如圖,BC=x,AB=x+1,AC=10÷2=5在Rt△ABC中,由勾股定理得AC2+BC2=AB2,x2+52= (x+1)2解得: x=12∴BC=12,AB=12+1=13.

答: 這個(gè)水池的深度是12米,這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度是13米.

在解題的過(guò)程中,有部分學(xué)生不能準(zhǔn)確讀懂題意,“水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形”學(xué)生理解為水池的橫截面是正方形,導(dǎo)致解題出錯(cuò).

三、以勾股定理為橋梁,求三角形面積或周長(zhǎng)

例5. 如圖,△ABC,AB=15 cm,AC=20 cm, BC=25 cm．求△ABC的面積．

圖5

分析: 求△ABC的面積先要作出高AD,設(shè)BD=x,則CD=(25-x),在Rt△ABD和Rt△ACD中,根據(jù)勾股定理分別把AD表示出來(lái),由相等關(guān)系列出方程,即可求出高AD,再求△ABC面積.

解: 過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC設(shè)BD=x,則CD=(25-x),在Rt△ABD中,由勾股定理得CD2=AB2-BD2= 152-x2=25-x2在Rt△ACD中,由勾股定理得CD2=AC2-CD2=202-(25-x)2=50x-x2-225∴225-x2=50x-x2-225解得: x=9 S△ABC=

例6. 在Rt△ABC中,∠C=90°,周長(zhǎng)為60,斜邊與一條直角邊之比為則這個(gè)三角形三邊長(zhǎng)分別___._

解: 設(shè)這條斜邊與直角邊分別為13x,5x則另一條直角邊=周長(zhǎng)=13x+5x+12x=60∴x=2三邊長(zhǎng)分別是10,24,26.

由以上三種類(lèi)型題目可知,直角三角形中應(yīng)用方程思想,主要用于以下兩個(gè)方面:

(1)一個(gè)直角三角形中,已知一條邊的長(zhǎng),還知道另兩條邊的關(guān)系,(如: 之和,之差,之比等)求另兩條邊或周長(zhǎng)面積.

(2)一個(gè)直角三角形,一條邊長(zhǎng)也沒(méi)有告訴,但知道三邊的關(guān)系(和,差,比等),求邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)、面積或者比值.

解答方法很類(lèi)似,只要設(shè)其中一條邊為x,就可以得出其余邊長(zhǎng)的代數(shù)式,然后用勾股定理,或者周長(zhǎng)面積公式列出方程.

[1]王春才.張維新.三點(diǎn)一測(cè).[Z].科學(xué)出版社,2009-9-1.

[2]謝鼓平.初中教案優(yōu)化設(shè)計(jì).[Z].新疆青少年出版社,2012-6.

[3]楊斌.初中課堂評(píng)估1+1.[Z].廣州出版社,2012-12.