跳出題海 整合變式題目—初三數(shù)學(xué)備考的策略研究

廣東省佛山市南海區(qū)和順第一初級(jí)中學(xué)(528241) 陳綺媚

跳出題海 整合變式題目—初三數(shù)學(xué)備考的策略研究

廣東省佛山市南海區(qū)和順第一初級(jí)中學(xué)(528241) 陳綺媚

一、問題的提出

每每經(jīng)歷完考試,老師們總會(huì)這樣說,這道題目已評(píng)講過,學(xué)生怎么還是做不出來?如此一來老師的責(zé)任已盡到,是學(xué)生沒學(xué)好.我們深思這樣的一個(gè)問題,為什么學(xué)生通過如此大量的訓(xùn)練,做過如此多相似甚至相同的題目,應(yīng)試時(shí)仍然無所適從呢?

現(xiàn)在的初三數(shù)學(xué)教學(xué)中,“題海戰(zhàn)術(shù)”仍然盛行,尤其是在第二輪復(fù)習(xí)中,教師要求學(xué)生做大量與中考題型一致的練習(xí)題,希望提高學(xué)生做題的自動(dòng)化程度,從而提高解題的速度與技巧.題海戰(zhàn)術(shù)作為應(yīng)試教育的產(chǎn)物備受批評(píng),但是一線的老師在實(shí)際中感覺題海戰(zhàn)術(shù)是容易操作,并能見成效的.

筆者從題海中進(jìn)行整合與變式,力求有所突破,嘗試把題目進(jìn)行“整合與變式”的學(xué)習(xí)法是否可以成為初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的可操作性的方法之一.

二、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

(一)研究假設(shè)

本文作出以下假設(shè): 題海戰(zhàn)術(shù)與“題目的整合與變式”在提高初三學(xué)生的解題能力是沒有區(qū)別的.

(二)概念的操作化定義和實(shí)驗(yàn)材料

1.題海戰(zhàn)術(shù)

在本研究中,題海戰(zhàn)術(shù)指學(xué)生通過做大量的與中考相同的練習(xí)題來訓(xùn)練數(shù)學(xué)的解題方法,練習(xí)內(nèi)容為6冊(cè)的數(shù)學(xué)書里面的經(jīng)典題,難題以及中考模擬套題.學(xué)生利用一到兩節(jié)課時(shí)間完成題目,老師利用相應(yīng)的時(shí)間評(píng)講,針對(duì)學(xué)生出錯(cuò)較多的題目講解如何解題.

2.題目的整合與變式

對(duì)于知識(shí)點(diǎn)相同或者相似的題目,可以進(jìn)行整合,對(duì)于元素較多的好題、難題,具有一定的延伸性的,可以進(jìn)行變式訓(xùn)練.本研究主要集中在教材的內(nèi)容進(jìn)行討論.

1)立足基礎(chǔ)知識(shí),回歸課本,整合題目

六冊(cè)課本中有大量的基礎(chǔ)題,但是那么多的題目如何回歸課本呢?筆者認(rèn)為可以進(jìn)行題目的整合.由于教材是按知識(shí)發(fā)展系統(tǒng)編排,根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平螺旋式上升,某個(gè)知識(shí)系統(tǒng)跨越了幾個(gè)年級(jí)的學(xué)習(xí).在學(xué)習(xí)知識(shí)的過程中,由于學(xué)生認(rèn)識(shí)水平所限,無法把類似或者相同的內(nèi)容進(jìn)行橫向整理,但在初三的復(fù)習(xí)階段,學(xué)生對(duì)整個(gè)初中的內(nèi)容已經(jīng)有初步的整體把握能力.這時(shí),要揭示相同或相似知識(shí)之間的聯(lián)系需要進(jìn)行整合,而不是流于形式的把書本的內(nèi)容從頭到尾在回顧一遍.所以為了使學(xué)生形成完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu),需要老師與學(xué)生一起把同一個(gè)知識(shí)體系的分散問題集中起來,同時(shí)加以歸納并系統(tǒng)化.

i.同一知識(shí)點(diǎn)的題目整合

這里以“兩點(diǎn)間線段最短”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)為例進(jìn)行整合.

①(七年級(jí))把彎曲的河道改成直的原理是___.

②(七年級(jí)上冊(cè)113頁4題)如圖(1),在一個(gè)四邊形各邊上任意取一點(diǎn),并順次連接它們,想一想,你得到的圖形周長與原四邊形周長哪一個(gè)大?為什么?如果是一個(gè)五邊形呢?六邊形呢?

圖1

圖2

③(八年級(jí)下)證明: 三角形任意兩邊之和大于打第三邊.

④(七年級(jí)上128頁復(fù)習(xí)題10)如圖2,在任意四邊形ABCD內(nèi)找一點(diǎn)O,使它到四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小,并說說你的理由.

設(shè)計(jì)意圖: 題組訓(xùn)練,由淺入深,圍繞著“兩點(diǎn)間線段最短”的知識(shí)點(diǎn)層層推進(jìn).第①題根據(jù)題意直接寫出公理,為后面的練習(xí)提供理論支撐,調(diào)動(dòng)學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu).第②題直接運(yùn)用公理.如果沒有第①題的鋪墊,學(xué)生雖然覺得本題簡單,但是不知如何入手去回答題中的“為什么”.至于第③題是命題的證明,有一定的難度,需要嚴(yán)格的證明,只要用上公理,題目也迎刃而解.第④題是一道實(shí)際應(yīng)用的提升題.

縱觀這4道題目,第③④題學(xué)生不易解出題目,由于所需要的步驟不多,只需捉住最關(guān)鍵的公理即可.如果我們把這兩道題目分散在備考的練習(xí)題中,學(xué)生不容易入手,捉不住解題關(guān)鍵,最后兩題也無從下手.

這4道題目的整合,即回歸了課本,逐層加深對(duì)“兩點(diǎn)間線段最短”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的理解,明確這個(gè)考點(diǎn)的考查內(nèi)容、形式,構(gòu)建一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的小體系,內(nèi)化成自己的體系.

ii.同一解題性質(zhì)、方法的題目整合

有些題目雖然不相同,但是在解題的方法上卻異曲同工之妙.如運(yùn)用對(duì)角線進(jìn)行判定(特殊的)平行四邊形這一類的題目,參數(shù)類型,數(shù)學(xué)思想方法等等.教師可以把解題方法相似的題目進(jìn)行整合,更便于學(xué)生進(jìn)行對(duì)照,從而掌握這一解題方法.這里以參數(shù)類型的整合為例

①已知關(guān)于x的方程3x+a=x-5的根是非負(fù)數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

②已知關(guān)于x的不等式2x-a≤1的解集為x≤-1,求a的值

上述兩題的解題過程不盡相同,但是卻用到同一種的方法,用參數(shù)把解(解集)表示出來.把這兩道題目整合,在比較中掌握參數(shù)解題的方法,在對(duì)比中領(lǐng)悟兩道題目的不同之處.

運(yùn)用整合題目的做法,讓學(xué)生通過題組進(jìn)行反思,總結(jié)合適方法,從而通過題組訓(xùn)練可有效減少同類型題目的訓(xùn)練次數(shù)而達(dá)到“題海戰(zhàn)術(shù)”的相同效果.

2)創(chuàng)新拔高,變式訓(xùn)練

中考的選拔性的考試,除了基礎(chǔ)題以外,存在部分中難度題目,有梯度性地拉開考生間的距離,為了使學(xué)生應(yīng)對(duì)這一部分題目,筆者認(rèn)為對(duì)于課本中所遇到的難題,好題可以進(jìn)行變式訓(xùn)練.

所謂數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練,即是指在教學(xué)過程中對(duì)概念、性質(zhì)、定理、公式,以及問題從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景做出有效的變化,使其條件或結(jié)論的形式或內(nèi)容發(fā)生變化,而本質(zhì)特征卻不變.也就是所謂“萬變不離其宗”.數(shù)學(xué)教學(xué)改革專家顧泠沅創(chuàng)立的青浦四條經(jīng)驗(yàn)中,其中一條“組織好課堂層次序列,進(jìn)行變式教學(xué)”,強(qiáng)調(diào)變式訓(xùn)練在課堂教學(xué)中的地位.運(yùn)用變式訓(xùn)練可以提高數(shù)學(xué)題目的有效利用率,提高教學(xué)實(shí)效,能更好地綜合運(yùn)用知識(shí),有效培養(yǎng)學(xué)生綜合思維能力,充分理解數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的作用.通過變式訓(xùn)練,是要防止形式地、機(jī)械地背誦、套用公式和定理提高學(xué)生變通思考問題和靈活應(yīng)用概念、公式以及定理的能力.由于本文主要討論的是初三復(fù)習(xí)策略,筆者下面討論的是題目的變式.

i.尋找本質(zhì)特征,一題多變

變式訓(xùn)練可以變換問題的條件和結(jié)論,變化問題的背景,但不變換問題的本質(zhì),使學(xué)生對(duì)問題的本質(zhì)屬性更全面的理解.通過變式訓(xùn)練使學(xué)生沖破事物的表象,引導(dǎo)學(xué)生注意到從本質(zhì)看問題,全面地關(guān)注某一類題目的特征,注意從事物之間的聯(lián)系的矛盾來理解事物的本質(zhì),在一定程度上可克服和減少思維的僵化及惰性.

從小學(xué)開始就有自主編題的練習(xí),使學(xué)生能夠根據(jù)已學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行類比,創(chuàng)新題目.初中階段,繼續(xù)沿用這種題型,讓學(xué)生自主編題.下面以初一的打折銷售的應(yīng)用題進(jìn)行分析題目的變式.(參考《把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生》的教學(xué)案)

(北師大版七年級(jí)上冊(cè))例題1小明同學(xué)在一次調(diào)查活動(dòng)中發(fā)現(xiàn),一家商店將某種服裝按成本價(jià)提高40%后標(biāo)價(jià),又以8折(即按標(biāo)價(jià)的80%)優(yōu)惠賣出,結(jié)果每件仍獲利15元,這種服裝每件的成本是多少元?

解: 設(shè)進(jìn)價(jià)x元,得(1+40%)·x·80%=15+x把題目的整個(gè)過程以下面的流程圖表呈現(xiàn),尋找本質(zhì).

圖3

圖4

觀察例題的圖表,共有6個(gè)量?至少需要多少個(gè)量才能確定余下的量呢?

例題中是知道了三個(gè)箭頭的信息(圖4),但不知道三個(gè)價(jià)格,反過來,如果知道了三個(gè)表格能確定三個(gè)箭頭的信息嗎?又或者知道了一個(gè)價(jià)格與兩個(gè)箭頭的信息(圖5),能確定余下的信息嗎?知道兩個(gè)價(jià)格與一個(gè)箭頭的信息呢?(圖6)

圖5

圖6

知道了六個(gè)量中的其中三個(gè)就能確定其余量.當(dāng)然了,我們尋找到題目的本質(zhì)屬性時(shí)可以不斷地變式.下面是其中的一道變式題.

自己嘗試設(shè)計(jì)好打折銷售問題的對(duì)應(yīng)六個(gè)量,只留下三個(gè)已知量進(jìn)行變式編題,如圖7所示:

變式題目: 林伯伯以每顆樹苗80元購進(jìn),培植一段時(shí)間后,提高一定價(jià)格售出,由于顧客購買量較多,以9折出售,最后林伯伯仍獲利26.4%,問題: 李伯伯的提價(jià)率是都少?

圖7

打折銷售的應(yīng)用題所出現(xiàn)的量比較多,通過圖表形式尋找個(gè)量間的聯(lián)系,當(dāng)理清各量間關(guān)系時(shí),也就是找出了這一類題目的本質(zhì)屬性.僅做一次例題的練習(xí)對(duì)于大部分學(xué)生而言還沒有找到這類題目的本質(zhì).但是從不斷地變式中,學(xué)生能夠逐步分析各量間的依存關(guān)系,也就是找到了本質(zhì).通過一題多變,學(xué)生從結(jié)構(gòu)上理解具體情境的變式,體會(huì)情境的可變性與結(jié)構(gòu)的不變性.

通過變式教學(xué),不是解決一個(gè)問題,而是解決一類問題,遏制“題海戰(zhàn)術(shù)”,開拓學(xué)生解題思路,培養(yǎng)學(xué)生的探索意識(shí),實(shí)現(xiàn)“以少勝多”.

ii.培養(yǎng)發(fā)散思維,一題多解

一題多解的實(shí)質(zhì)是以不同的論證方式,反映條件和結(jié)論的必然本質(zhì)聯(lián)系.在教學(xué)中老師要善于設(shè)置“一題多解”的變式訓(xùn)練,引導(dǎo)學(xué)生能從不同的角度,不同的知識(shí),不同的思想方法解決同一個(gè)問題,使學(xué)生從單一的思維模式中解放出來,達(dá)到以創(chuàng)新方式來解答問題,培養(yǎng)學(xué)生思維的開闊性、發(fā)散性和靈活性.

(九年級(jí)下冊(cè))例題2如圖,已知△ABC、△DCE、△FEG是3個(gè)全等的等腰三角形,底邊BC、CE、 EG在同一直線上,且BC=1,連結(jié)BF分別交AC、DC、 DE于點(diǎn)P、Q、R．

圖8

(1)△BFG與△FEG相似嗎?請(qǐng)說明理由;

(2)求AP∶PC.

圖9

圖10

分析: 對(duì)于第一問,通過題目所給的線段長度,可運(yùn)用兩邊成比例且夾角兩三角形相似.第二問可用兩種方法解答,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.

方法一: 根據(jù)問題中的線段,選擇證明△BCP與△ACB相似(圖9所示),這對(duì)三角形的的位置是典型的交叉性,再根據(jù)相似尋找線段成比例,從而求出PC的長度,進(jìn)而求兩線段的比值.

方法二: 通過觀察圖形,存在好幾對(duì)平行線,可找平行型的相似三角形(圖10所示).根據(jù)二問中的線段以及三個(gè)全等的等腰三角形的條件,可證明△BPC與△BFG相似,可得根據(jù)合比性質(zhì)得

本環(huán)節(jié)的兩種解法,分別從兩種構(gòu)圖方式上(圖9、圖10)證明兩三角形相似,學(xué)生從復(fù)雜圖形中抽取基本圖形突破難點(diǎn).一題多解,從題目條件出發(fā),通過多個(gè)條件的不同整合,不同的方法卻最終相同的結(jié)論,培養(yǎng)學(xué)生多角度,多方向地思考問題,有利于學(xué)生在應(yīng)考中嘗試不同路徑去尋找解題方法,加快解題的速度.

iii.加強(qiáng)知識(shí)模塊聯(lián)系,一題多變

伽利略曾說過“科學(xué)是在不斷改變思維角度的探索中前進(jìn)的”.對(duì)于課堂數(shù)學(xué)教學(xué)要常新、善變,通過原題目延伸出更多具有相關(guān)性、相似性、相反性的新問題,深刻挖掘例習(xí)題的教育功能.

上述的幾何例題2是一道綜合性的好題,涉及到多個(gè)知識(shí)模塊(相似的性質(zhì)與判定,全等的性質(zhì),平行線分線段成比例,等腰三角形的性質(zhì))的綜合運(yùn)用.為了充分運(yùn)用本題,使學(xué)生真正掌握本題的解題方法,下面的討論中以例題2進(jìn)行一題多變(一題多問、條件與結(jié)論互換、推廣變式),加強(qiáng)多個(gè)知識(shí)模塊的聯(lián)系.

有效的數(shù)學(xué)基本功往往不是以單個(gè)概念(原理、法則)形式構(gòu)成,而是以一種“模塊”的形式存在于學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中的,這個(gè)的“模塊”通過連結(jié)相關(guān)的基本概念、基本原理和法則所成,在具體的解決問題過程中,形成一些能夠解決問題的、具有可操作性的技能、方法.

總之,在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,遵循學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),根據(jù)教材的內(nèi)容,題目的特點(diǎn)加強(qiáng)變式訓(xùn)練,對(duì)鞏固基礎(chǔ)、培養(yǎng)思維、提高能力有著重要的作用.當(dāng)然,課堂教學(xué)中的變式題很多都可以出自課本,體現(xiàn)出“源于課本,高于課本”,讓學(xué)生也學(xué)會(huì)“變題”,使學(xué)生自己去探索、分析、綜合,以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).

除此之外,在初三備考中還應(yīng)該在學(xué)生的運(yùn)算能力,審題能力等方面進(jìn)行培養(yǎng).如遇到難題時(shí),我們可根據(jù)題目的條件猜想出題者的意圖,所考察的知識(shí)點(diǎn)是什么等.

(三)被試

本研究的被試是我校的兩個(gè)平行班,人數(shù)均為48人,兩個(gè)班的班主任具有相近的資歷,兩個(gè)班風(fēng)和學(xué)風(fēng)接近,一個(gè)班是筆者任教的,另一個(gè)班的數(shù)學(xué)科任老師的教學(xué)成績與筆者也相當(dāng).控制班進(jìn)行“題海戰(zhàn)術(shù)”,實(shí)驗(yàn)班進(jìn)行題目的“整合與變式”.

(四)測量工具

實(shí)驗(yàn)的前測與后測材料分別采用《中考易》的三份模擬題,讓學(xué)生進(jìn)行了試驗(yàn),每個(gè)題目標(biāo)有項(xiàng)目的難度.部分題目進(jìn)行修改,力求三份測試題難度相當(dāng).第二,三份模擬卷在實(shí)驗(yàn)的第8周,第12周進(jìn)行.

三、試驗(yàn)的結(jié)果

平均分 優(yōu)分率控制班實(shí)驗(yàn)班控制班實(shí)驗(yàn)班前測88.2488.3342% 41%后測188.7188.4843% 44%后測290.1890.5245% 45%

從上述數(shù)據(jù)分析,控制班與實(shí)驗(yàn)班在本次教學(xué)試驗(yàn)中,題海戰(zhàn)術(shù)與“整合與變式”的學(xué)習(xí)法對(duì)被試的水平影響沒有顯著差異,試驗(yàn)結(jié)果支持試驗(yàn)假設(shè).兩個(gè)班的平均分在兩次后測中相差都在0.2分左右,非常接近.因此,兩個(gè)班的成績差異是極小的.

為了了解學(xué)生對(duì)題海戰(zhàn)術(shù)和“整合與變式”的學(xué)習(xí)法的態(tài)度,筆者對(duì)兩個(gè)班的部分被試進(jìn)行訪談.控制班的受訪被試反映: 對(duì)于平常的做題以及教師對(duì)一些偏難的題目進(jìn)行講解感覺比較乏味.做過的題目容易忘掉,不知道自己掌握了多少知識(shí).

實(shí)驗(yàn)班的受訪被試者對(duì)所采用的教學(xué)方法較為認(rèn)同,認(rèn)為自己在學(xué)習(xí)過程中感到比較踏實(shí),能夠知道自己每節(jié)課掌握了哪些基本知識(shí),會(huì)做哪些難題.他們認(rèn)為難題的障礙主要是自己不會(huì)類比已學(xué)過的題目,通過變式訓(xùn)練很好地積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

四、結(jié)論

做大量與中考題型相同的練習(xí)成為中考教學(xué)的主要手段之一.題海戰(zhàn)術(shù)的目的是試圖通過與考試內(nèi)容和形式相同的訓(xùn)練,讓學(xué)生做題過程自動(dòng)化.多年來的備考中也證明,通過做大量與中考題型相同的模擬試題,是提高學(xué)生成績的途徑之一.

采用“整合與變式”的學(xué)習(xí)法,學(xué)生的輸入量減少了,做中考的模擬試題也少了,但是學(xué)生的考試成績并沒有受到影響.試驗(yàn)結(jié)果顯示,題海戰(zhàn)術(shù)和“整合和與變式”的學(xué)習(xí)法在影響效果上沒有區(qū)別,但“整合和與變式”的學(xué)習(xí)法更有利于學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展.

五、局限性

本研究是在初三復(fù)習(xí)階段,試驗(yàn)時(shí)間為12周,時(shí)間是否充足有待考證.研究的對(duì)象僅僅是本校的兩個(gè)班,局限于某一地區(qū)的一所學(xué)校的個(gè)別班級(jí)的學(xué)生.因此,還需要進(jìn)一步的研究,以便更加清晰地顯示題海戰(zhàn)術(shù)和“整合與變式”對(duì)考試的效應(yīng).

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