從華羅庚金杯少年數學競賽看數學之美

■陶云英

從華羅庚金杯少年數學競賽看數學之美

■陶云英

華羅庚金杯少年數學邀請賽（以下簡稱“華杯賽”）是為了紀念和我國杰出的數學家華羅庚教授，于1986年始創的全國性大型少年數學競賽活動。近30年來，“華杯賽”已經成功舉辦了二十一屆賽事和五屆“華杯賽”精英賽活動，累計超過4000多萬少年兒童參加了比賽。2016年3月21日上午，在廣西民族大學西校區舉辦了第21屆“華杯賽”決賽，其中，初一組獲獎人數224人，初二組獲獎人數為93人，“華杯賽”一貫堅持“普及性、趣味性、新穎性”相結合的命題原則。通過這項賽事，激發了廣大中小學生學習數學的興趣，在普及數學科學、引領學生發現數學之美方面起到了重要作用。

美國數學家M·克萊因曾說：“音樂能撫慰人的情懷，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，而數學能提供以上的一切。數學學科的知識內容和定理法則，在生活運用等方面，都向人們展示著它的內涵美。”數學之美，并不像美術、音樂那樣觸眼可及，它需要學生用心揣摩。作為中學數學教師，我們要善于引導學生從大自然、從日常生活中發現數學的奧妙；從一個個美妙的數學等式中發現數學的美妙；從一個個不可思議的數學算法中發現數學的奇妙，最終領會數學之美。

一、數學之美——自然之美

華羅庚說：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，數學無所不在。”這是對數學與生活之間關系的最精彩描述。學生作為學習活動的主體，如何充分激發學生學習的能動性呢？我們可以引導學生發現大自然中的數學。以黃金分割這一數學定理為例，它與生命、生長發育都有著千絲萬縷的聯系。向日葵的外形就包含了這樣一種黃金分割的原理。向日葵的花盤上的螺旋線，每一條都符合黃金分割的比例。若有21條左螺旋，則必有13條右螺旋，總數34條，13與21的比值恰好是0.618。我們日常生活中也常常存在各種黃金分割的例子，例如，美術構圖中我們講究黃金分割，購物中，吳振奎先生提出一個消費模型：小康型消費價格=0.618*（高檔消費價格—低檔消費價格）+低檔消費價格。這是黃金分割的一個美妙應用，用小康型消費價格購買的商品既能讓人心理舒適，又經濟實惠，這是數學在生活中實用的美妙的例子。

再比如，我們生命的密碼DNA可以用來解決一個現代數學問題。這就是由意大利數學家孟格爾于1930年首次提出的著名的推銷員問題：n個城市，一個推銷員要從其中某一個城市出發，唯一走遍所有城市，再回到他出發的城市，求最短的路線。例如，你要從西安出發，經過長沙、重慶、成都、武漢、桂林、廣州、福州等七個城市推銷自己公司發明的一種新產品，在不考慮什么樣的順序，也不考慮是乘坐什么樣的交通工具，只考慮如何設計一條最經濟的路線，做到既不重復，又要經過每個城市。這個問題的實質是在于隨著N的增大，運算步數呈指數級增加，需要的計算能力越大。普通的半導體計算機，算計這樣的問題要兩年，而用DNA計算，問題迎刃而解。

二、數學之美——對稱之美

數學的對稱之美蘊含在各種建筑物中，如法國的凡爾賽宮、中國的故宮，建筑物沿著中軸線呈現對稱之美。故宮中的各種建筑，除了以中軸線為對稱外，還用了各種手法，如殿基的處理、殿頂的形式、屋脊獸的數目與分布、彩繪圖案的規制等都突出了對稱結構，展現了對稱帶給人美的享受。

數學對稱之美，蘊含在各種對稱圖形及利用對稱求解數學題目的過程之中。例如楊輝三角的兩條斜邊都是由數字1組成，而其余的數則是等于它肩上的兩個數之和，楊輝三角與二項式乘方展開式的系數規律緊密聯系。

三、數學之美——奇異之美

羅素曾說：“數學，如果正確地看它，則具有至高無上的美——正像雕刻的美，這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或音樂的那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達到嚴格的只有最偉大的藝術才能顯示的那種完美的境地。一種真實的喜悅的精神，一種精神上的亢奮，一種覺得高于人的意識——這些是至善至美的標準，能夠在詩里得到，也能夠在數學里得到。”數學的奇異之處不是表面的感觀，而且是要用思維來體會的。中學數學課程標準強調：“讓學生具有一定的數學視野，逐步認識數學的科學價值、應用價值，形成批判性的思維習慣，崇尚數學的理性精神，體會數學的美學意義，從而進一步樹立辯證唯物主義和歷史唯物主義世界觀。”奇異美是數學美的另一種體現，它充分地展示了數學思想方法的獨創性和新穎性。如：古希臘的數學家畢達哥拉斯發現，6是一個非常“完善”的數，與它的因數之間有一種奇妙的聯系。6 的因數共有 4 個：1，2，3，6，除了 6 自身這個因數以外，其他的3個都是它的真因數，而把6的所有真因數都加起來，正好等于6這個自然數本身！28也是一個完全數，它的真因數有 1，2，4，7，14，而 1+2+4+7+14 正好等于 28。若一個自然數，它所有的真因子(即除了自身以外的約數)的和恰好等于它本身，這種數就叫做完全數。完全數有許多奇特的性質：1、它們都能寫成連續自然數之和。如：6=1+2+3；28＝1+2+3+4+5+6+7；496=1+2+3+……+30+31。2、它們的全部因數的倒數之和都是2。就這樣，本來一系列不相干的數學，卻因為數學的特殊性質而聯系在一起，變幻出奇妙的規律，這樣變幻莫測卻有千絲萬縷的聯系，正是數學奇異之美的又一體現。■

（作者單位：江蘇蘇州市蘇州工業園區第十中學）