親歷數學建模 優化建構策略

謝俊男

一、從體驗中感悟，積累模型表象

數學建模過程包括從現實生活或具體情境中抽象出數學問題。也就是說數學建模的起點是發現問題與提出問題。在模型準備階段可從生活情境入手，從體驗中感悟比較清晰的數學問題，積累模型的表象。教學“鴿巢問題”一課，筆者嘗試以“搶椅子”游戲引入。

【教學片段1】

猜測

師：你們玩過搶椅子的游戲嗎？4位同學搶3把椅子，如果每個人都必須坐下，會出現什么情況？

生：總有2名同學坐在同一把椅子上！

師：還沒發生的事，你們居然能猜測出來，這在數學上叫“推測”。你們的推測是否正確讓我們一起來驗證！請大家閉上眼睛，（教師制造“1 3 0”的坐法現象）好，睜開眼睛！

推翻

師：你們說總有一張椅子上坐2名同學，可現在沒有出現這種情況啊？像這種坐法（1？搖3？搖0）不就推翻了你們剛才的推測嗎？

思考

師：說明的推測還不夠嚴謹！思考怎么將其完善。

生：補上“至少”就行了。

師：“至少”是什么意思？誰來說說看？

第一次試上時，筆者發現“總有”與“至少”二詞如果直接正向出示，學生對其理解不夠深刻，后來調整為以“搶椅子”游戲入手，找準模型與生活的契合點，讓學生在“推測→推翻→思考”中自行添加“至少”一詞，逆向操作反而能調動學生的主觀能動性，較好地理解“至少”“總有”兩大關鍵詞，降低了學習難度。

二、在列舉中對比，理清模型組成

列舉法的優點在于它的直觀性，以列舉法的呈現為素材，通過對比讓學生進一步理解“總有”這一存在性問題的關鍵詞，即存在一個抽屜但不知道具體是哪個抽屜；與“至少”這一構造性問題的關鍵詞，即知道大于等于2，但具體不知道是多少。最后通過對比各種擺法之間的聯系與區別，凸顯出（1 2 1）擺法的特殊性。從而讓學生理清鴿巢模型的各部分組成。

【教學片段2】

活動一：用列舉法證明4放3。

師：剛才說總有一個抽屜里至少放入2支鉛筆，“總有”是什么意思？

生：一定有。

師：是不是真的這樣？找找看，第一種擺法，在哪？圈出來！

逐一呈現（1 ③ 0），（④ 0 0），（2 ② 0），（1 ② 1）。

師：至少2支鉛筆是什么意思？

生：不管怎樣都不少于2支，可以是2支也可以大于2支。

師：（1 2 1）擺法是至少的情況，它相比其他擺法有什么特殊之處？

小組討論：（4 0 0）擺法為什么不是至少的情況？

（1 3 0）擺法相比（4 0 0）擺法優化在哪？

（1 2 1）擺法相比（1 3 0）擺法怎么樣？

第一次對比各種擺法旨在讓學生進一步理解“總有”“至少”二詞的含義；第二次對比各種擺法旨在凸顯出（1 2 1）擺法的特殊之處。通過“觀察→比較→分析”，明確（1 2 1）擺法相對于其他擺法的特殊之處在于每個抽屜都占有資源。

三、從直觀到理性，明晰數學模型

數學模型的建構是由形象到抽象、由直觀到理性的提煉簡化的過程。列舉法雖直觀清晰，但在元素較多的情況下就有一定的局限性，教學時不應只停留在列舉法直觀層面上，而要將其上升到邏輯思維層面，找出其中蘊含的規律。

【教學片段3】

師：剛才我們知道了（1 2 1）這種擺法比較特殊，那么每人都拿出學具擺一擺，感受一下（1 2 1）擺的過程，再與你的同桌互相說一說你是怎么擺的。

師：誰看清楚他擺的過程？他先在每個盒子各放一根說明什么？（平均分）

師：為什么要這樣擺？

生■：先讓“每個抽屜都占有資源”。

生■：只有平均分才能將小棒盡可能地分散，保證“至少”的情況。

師：現在請你們將這種擺法記錄到學習單上，想一想，怎么用算式來表達你的思考過程？（圖1）

從實物操作到畫圖示意，讓學生進一步明晰了為什么平均分。從畫圖示意到用算式表達，是概括與抽象數學模型的過程。通過擺一擺、說一說、畫一畫、列一列等一系列操作活動，逐步讓學生經歷由直觀走向理性思考的數學建模過程，進而明晰數學模型。

四、從特殊到一般，逐層建構模型

只通過一個例子馬上提煉出數學模型，是不科學也不嚴謹的，一個例子具有特殊性，當然不能“以一概全”。廈門市思明區教師進修學校吳偉華老師向筆者建議：鴿巢問題的研究立足點在于找規律，可以通過控制變量的方式逐層建構模型。即先控制“商1余數1”的情況，從小數據入手找規律；再控制“商1余數非1”的情況，讓學生嘗試運用找規律的方式進行探究；最后放手讓學生自主舉例研究商非1的情況下是怎樣的。三放三收逐層建構鴿巢問題的數學模型。

【教學片段4】

教學“商1余數1”環節，學生匯報用算式表達思考過程，板書呈現：

3÷2=1（支）……1（支）？搖？搖1+1=2（支）

4÷3=1（支）……1（支）？搖？搖1+1=2（支）

5÷4=1（支）……1（支）？搖？搖1+1=2（支）

師：從上往下觀察這些算式，你發現了什么規律？

生1：鉛筆比抽屜數都是多1的。

生：余數都是1支。

生：“至少數”都是1+1=2支。

【教學片段5】

教學“商1余數非1”環節。

師：這些余數都是1，手氣都這么好！如果余數不是1，“至少數”還是1+1嗎？四人小組合作，每人選擇一個問題，用你喜歡的方法來證明，再小組交流。

活動二：

a. 把5支鉛筆放入3個抽屜中；

b. 把7支鉛筆放入4個抽屜中；

c. 把16支鉛筆放入12個抽屜中；

至少有（ ）支鉛筆放入同一個抽屜。

匯報時呈現：

5÷3=1（支）……2（支）？搖 ？搖1+1=2（支）

7÷4=1（支）……3（支）？搖？搖 1+1=2（支）

16÷12=1（支）……4（支）？搖？搖1+1=2（支）

同“商1余數1”的探究方式一樣，“商1余數非1”也是讓學生從小數據入手找規律自主建模。通過引導學生觀察算式的特點，發現在“商1余數非1”的情況下，不管剩幾根，都得再平均分。所以是“至少數”加1，而不是加余數。

五、從模仿到舉例，深化數學模型

模仿并不是單純地模仿解題或機械地訓練，而是模仿建模方式。經歷了活動一的教結構，活動二的模仿探究，學生已積累了一定的學習經驗，這時可以放手讓學生自主舉例驗證“商非1”的情況。從模仿到舉例，是對學生逐步放手、開放的過程，同時也是逐步深化鴿巢問題數學模型的過程。

【教學片段6】

活動三：舉例證明商是3、4、5……的情況下會是怎么樣的？

匯報：

1. 你舉的數據是什么？對應你的算式與圖示說一說怎么證明的。

2. “至少數”與誰有關？有怎樣的關系？

探究前，可先讓學生回憶一下前兩個活動的探究方法與步驟，再放手讓學生自主操作，才能做到有的放矢。從模仿到舉例，一方面讓學生自主探索，發揮了主觀能動性，另一方面釋放了教師包辦過多的包袱。

從學科育人價值來看，在數學模型的建構中，不應只關注數學模型的結果，更應重視數學建模的過程。通過從體驗中感悟——積累模型表象，在列舉中對比——理清模型組成，從直觀到理性——明晰數學模型，從特殊到一般——逐層建構模型，從模仿到舉例——深化數學模型這五條建構策略，實現數學建模的最終目標：讓學生形成模型意識與模型思想，以利于他們的自我數學建模，為他們的后續發展提供內生力。