APOS理論下的平均數概念教學研究

杭州師范大學 錢麗娜

APOS理論下的平均數概念教學研究

杭州師范大學 錢麗娜

概念教學在小學數學教學中非常重要，學生只有牢固地掌握概念，才能深入研究與該概念相關的內容。不少研究者指出，數學概念具有“過程——對象”的二重性特點，概念的二重性決定了概念認知的二重性、數學思維的二重性。在這方面，美國杜賓斯基等人在教育研究實踐中發展起來的一種APOS理論對數學概念的學習有所啟示。本文試圖探討APOS理論下的小學數學概念教學，通過平均數這個重要的概念闡述APOS理論的應用。

APOS理論；概念教學；平均數

一、研究背景

課標指出，數學是人類文化的重要組成部分，數學素養是現代社會每一個公民應該具備的基本素養。作為促進學生全面發展教育的重要組成部分，數學教學既要使學生掌握現代生活和學習中所需要的數學知識與技能，更要發揮數學在培養人的思維能力和創新能力方面的不可替代的作用。數學概念是數學思維的核心，從某種意義上來說，數學概念是建成數學大廈必不可少的基石。在小學數學教材中有非常多的概念，有數的概念、形的概念、運算的概念等等，主要分布在數與代數、圖形與幾何、統計與概率這三大領域，這些概念在培養學生的數感、空間觀念、數據分析等核心素養和創新意識方面有不可替代的作用。現代心理學研究表明，一個人的創造力不僅取決于知識，還取決于思維方式。而概念本身更多的是知識層面含量，概念的產生形成過程更多的是思維的結果。傳統的概念教學中往往有兩種傾向，一種是傾向于按學生的認知結構來組織教學，忽視了知識的內在結構；一種是傾向于按知識內在結構來組織教學，忽視了學生的認知順序。兩種傾向都會使學生對概念的認識缺乏本質深刻的認識。而APOS理論就很好地將兩者有效結合了起來，體現了“過程”與“對象”的雙重性，這與當前的課標理念是一致的，課標指出“數學課程應該返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質”。讓學生通過自身動手實踐、自主探索、合作交流，經歷概念的認識、形成、深化、整合，獲得基本的數學活動經驗。

二、理論介紹

APOS理論是由美國杜賓斯基在二十世紀八十年代所提出來的，該理論是皮亞杰“自反抽象”理論的一種拓展。該理論是用于概念教學的一種新模式，不僅適用于數學概念教學，也適合其他諸如物理、化學、生物里的概念教學，在不同學科中有各自的用法及意義。APOS理論，是由Action（活動）、Process（過程）、Object（對象）、Scheme（圖示）四個單詞的首字母組成，這四個單詞也表明了概念學習的四個心理階段。活動（Action）階段，是概念建立的起點，活動不僅包括動手的活動，還包括思維活動（回憶、猜想、判斷等），對感知到的對象進行轉化；過程（Process）階段，不斷地重復活動，學生就會從自己的活動中得到不斷的反思，從而在大腦中進行內部的心理建構，這個階段中，學生已經不再需要進行外部的刺激，而是思考每個過程，對概念形成一般性的認識，由感性上升到理性。對象（Object）階段，當概念發展到這個階段時，學生會把過程看作一個整體，作為一個一般的對象并操作，這時學生不僅能認識到概念本質，還會看到這個概念其他的性質，并且可以把這個對象作為獨立的對象和其他對象進行數學活動，操作別的對象并被更高級的對象進行操作，為后面的學習打下基礎。圖示（Scheme）階段，個體對活動、過程、對象以及頭腦中已有的相關圖示進行整合，判斷某些問題或者某類問題是否屬于這個圖示，從而做出不同的反應。

三、理論應用

下面就結合平均數教學來進行實例分析。

教材分析：平均數是人教版四年級第八單元的內容，是統計中的一個重要概念。在統計中，平均數常用于表示統計對象的一般水平，它是描述數據集中程度的一個統計量。用平均數表示一組數據的情況，有直觀、簡明的特點，所以在日常生活中經常用到，學生掌握并理解這一概念非常重要。將APOS理論應用于平均數教學中，具體過程如下：

第一階段：活動（Action）階段。學生在生活中經常會碰到面對幾組不同數量的物品，要使每組物品一樣多的情景。這時學生雖然沒有平均數的概念，但學生通過實際操作已經知道，要使每組物品一樣多，通過移多補少就可以。在操作活動中，學生積累了活動經驗，為學習平均數奠定了基礎，也成為學生反省抽象的基礎，學生可以在豐富的操作之后抽象出總數÷份數即可。

第二階段：過程（Process）階段。重復多次進行移多補少的活動以及不斷對這一活動進行反省以后，學生可以不借助實際物品，而在頭腦中進行想象的操作活動，即進行心理建構，形成概念的過程模式。在過程階段，學生從大量的平均數實例中抽象出求平均數用總數÷份數計算比較方便。處于過程階段的概念表現為一系列步驟，有操作性，相對直觀，比較容易理解。

第三階段：對象（Object）階段。當學生意識到可以把這個過程看作一個整體進行思維，并意識到可以對這個整體進行轉換和操作的時候，學生已經把這個過程作為普通的數學對象，形成一個“實體”。在這個時候，教師不但可以引導學生去探究它所具有的各種性質，也可以此為對象實施特定的數學演算。如平均數概念一旦形成一個“實體”，進入對象狀態，便呈現一種靜態結構關系，學生可以認識平均數中各部分之間的關系：總數÷份數=平均數。

第四階段：圖示（Scheme）階段。此時的“平均數”概念以一種綜合的心理圖式存在于腦海中，在數學知識體系中占有特定的地位。這種心理圖式含有具體的移多補少的實例、抽象的過程、完整的定義及其結構關系，乃至和其他概念的區別和聯系。在圖式階段，學生不僅能清楚地判斷何種問題情境用平均數計算以及計算方法，同時能清楚地知道平均數各部分之間的關系，還可以理解平均數表示的含義，用平均數來理解一些生活現象。

四、思考

這個理論不僅指出學生的學習過程是建構的，而且表明建構的層次。這四個階段一般不能逾越，應當循序漸進，同時，又不可只停留在具體、直觀、視覺化的階段，必須升華、逐級地抽象、不斷形式化，最后完成數學概念的建立。值得注意的是，首先，APOS理論并不適合所有的數學概念，它比較適合具有探究意味的概念，通過探究，可以將抽象的概念更加具體；其次，與高等數學領域的不同之處在于，初等數學中，在活動階段依賴于具體的操作對象，通過過程和對象階段不斷相互作用，形成一個新的抽象的對象，而在高等數學中可以依賴于抽象的操作對象進行活動，通過過程和對象階段不斷相互作用，形成一個新的抽象的對象。

[1]中華人民共和國教育部制定．義務教育數學課程標準：2011年版[M]． 北京：北京師范大學出版社, 2011．

[2]佟亮亮． APOS理論視角下數學概念教學模式的探究[D]．東北師范大學, 2013．

[3]白雪霏． APOS理論下的高中導數概念教學研究[D]．河北師范大學, 2014．

[4]莫韜． 基于APOS理論的圓錐曲線概念教學實證研究[D]． 廣西師范大學, 2007．