分類討論策略在高中數學解題教學中的運用

江蘇省海門實驗學校 成春霞

在高中的數學教學中，通過解題來鍛煉學生的思維能力是非常重要的內容。分類討論思想主要體現在數列、求解函數、立體幾何、解析幾何、不等式、概率等數學知識中。在高中數學解題過程中，一般都是解到一定程度，問題不斷復雜，無法再用較為統一、標準的方法進行解題，這種情況就需要利用一定條件，然后列出若干個可能，根據標準進行解題，從而找到答案。這種解題方法就是由大化小、由一般化特殊的方式。

一、函數情景中分類討論的使用

在高中數學中與函數相關的題目比較多，而且很多函數的表現形式存在不確定性，也是采取分類討論方法進行解題的最佳項目，在解題過程中，要熟練掌握函數分類討論的基礎理論知識，根據函數的特征進行解題，根據函數題目設置的情景進行分析。

例1 已知b為實數，假設f（b）=b10-b5+b2-b+1，求b為何值，f（b）﹥0。

分析：首先，根據該問題設置的情景進行分析，這種題目屬于多項求和的類型，所有參數的底數都是相同的，而指數函數本身有單調性特征，單調性和底數之間是存在關系的，學生可以在這個分析的基礎上進行解題討論：

情景1：如果b=1或b=0，這個時候解出的是固定值1，所以，b=1和b=0滿足要求；

情景2：如果b＜0，這時指數的偶次冪是正數，奇次冪是負數，從而求出f（b）的值大于等于1，所以b＜0滿足要求；

情景3：如果b＞1，則函數f（b）具有增函數的特征，這時求出的函數值都是大于1的，所以b＞1滿足要求；

情景4：如果0＜b＜1，這時該函數具有減函數的特征，而b5＜b2，代入不等式中進行分析，求出的函數值是大于0的。

上述這四種情景分析的結果表明，b取任意實數，求出的f（b）的值都是大于零的。

解上述函數題目技巧：高中數學中的函數一般比較抽象，想要更好更加詳細地分析出函數問題，首先要對高中數學分類討論知識進行理解，同時對于多種函數類型進行總結和歸納，找出解答函數題型的規律，從而在這個基礎上總結出解題的方法，這也是使用分類討論進行解題的重要對策。

二、概念情景中分類討論的使用

在高中數學解題中，也有很多題型是以數學概念為主的，設置相關的數學問題情景，像這類數學問題，一般也需要進行分類討論來解決。這里選擇一個有關絕對值概念的題目：

分析：在這類題型中，學生首先要對絕對值的相關概念有所了解，之后對問題給出的三個值進行分析，最后計算出所有的結果。

情況1：如果a，b，c三個數字均是負數，將其代入公式，根據絕對值的特點進行求解，得出的值是-3；

情況2：如果a，b，c三個數均是正數，然后進行公式分析，得出的結果是3；

情況3：如果a，b，c三數中有一個是負數，其他兩個是正數，這時得出的結果是1；

情況4：如果這三個數中有兩個是負數，剩余一個是正數，此時解出的值是-1。

解題技巧分析：根據上述的分析可以得出該式的結果，可以看出這種題目考查的就是學生對絕對值概念的掌握，另外也說明學生也要對分類討論的相關問題進行了解。

三、概率統計中分類討論的使用

概率統計問題是屬于計數型的題目，一般也是采取分類討論的方式進行概率情景分析。

例3 目前某校招聘了5位實習的英語老師，校長想要高一年級的三個班中均至少有一位實習教師，想要滿足校長的需求，請問有幾種選擇？

分析：學生在解答這類題目時，要有清晰的思路，同時熟練應用分類討論的方法進行解題。

情況1：將5個實習教師分成3組進行討論，其中有一個組有3人，另兩組分別有1人，根據這種方式分成的組有10種，之后對三組進行合理劃分，采取的方式，得出結果有60種分配方式。

情況2：將2位實習教師分成三組，有兩組是2個人一組，剩余一組是1個人一組，根據概率統計知識進行分析得出有15種方法，在這個基礎上對3組進行合理劃分，即15得出結果有90種分配方式。

根據上述的分析可知，分配方案共有150種。

解題技巧：這類問題首先要詳細分組，在分組的原則上再進行討論，根據不同的情況進行詳細分析，避免遺漏，同時也不要進行重復分析，這樣才能找出所有相關的答案。

綜上所述，使用分類討論的方法對高中數學題進行分析，是解決一些邏輯比較復雜的問題的最佳方法，而且分類討論思想可以很好地鍛煉學生的邏輯思維能力，而且在解各種問題時也可以總結出不同題型的規律，從而提高學生數學解題的能力，增強學生對數學學習的興趣。

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