利用不等式解決函數最值問題

山東濟寧一中高三11班 張東格

不等式是數學知識的一個很重要的成分，也是數學中常常用到的工具。通過證明不等式、應用不等式，可以訓練思維能力，提高數學水平，同樣也能更好地培養學生對數學的興趣。不等式在高考以及自主招生考試中并不多，一般只作為工具來應用，但是熟練掌握，學會創造不等式，會使一些題目的難度和計算量大大降低。

一、直接利用均值不等式求最值

求k的取值范圍。

二、利用“倒數”法構造不等式

其實有許多題目中的分式函數的分母相對復雜，分子相對簡單。例2，2008年上海交通大學的一道自主招生考試題：函數的最大值為 。如若直接解答，可能存在一定的困擾，求導計算也是十分麻煩，于是我們自然想到不等式。原式直接配湊成不等式使人難以下手，如果高次在分子上就好了，于是我們取

三、利用平移構造基本不等式的使用條件

這是2013年全國卷中的一道填空題，判斷零點是這道題的第一步，通過觀察便可以知道，x=1或x=-1時

利用不等式解決極值問題的好處是減少了相當一部分計算量，如以上例題，若使用求導計算，計算量相當大，但也有一定的局限性，且例3中，定義域就是一項很大的限制，以及是否能夠取等，取等條件又是什么把特殊情況排除后，剩下的構造以及計算就簡便很多了。例2中我們用到了一個有趣的結論：圖象左右平移后函數的極值不會改變。通過這一點來構造不等式，同樣也需要關心取等條件以及定義域的問題。而例1中的函數型，往往與我們所熟悉的對勾函數相通。

構造不等式是利用不等式解決問題的關鍵，也是減小計算量的方法。雖然有些技巧性很強，但是可以節約不少時間，使煩瑣復雜的題目變得有趣。