高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)解題常見(jiàn)誤區(qū)及正確解題方案

山東省青島市58中學(xué)高三七班 趙 桐

高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)解題常見(jiàn)誤區(qū)及正確解題方案

山東省青島市58中學(xué)高三七班 趙 桐

在新課改這個(gè)改革前提下，教育部對(duì)高中數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)提出了新的要求，但是沒(méi)有動(dòng)搖三角函數(shù)在高中數(shù)學(xué)學(xué)科中的中心地位，它不僅是教學(xué)重點(diǎn)，同時(shí)也是高考出題的熱點(diǎn)題型。文章針對(duì)高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)解題常見(jiàn)誤區(qū)及正確解題方案進(jìn)行分析，希望能夠有效促進(jìn)高中數(shù)學(xué)成績(jī)的提升。

一、對(duì)三角函數(shù)的概念掌握得不牢靠，不會(huì)平移

學(xué)生們因?yàn)樯敫咧幸院?，學(xué)習(xí)任務(wù)比小學(xué)與初中更多，因此學(xué)生在對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科開展學(xué)習(xí)的時(shí)候，很多概念掌握得不夠牢靠，特別是在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，三角函數(shù)有著諸多變形題目，其中一類是平移類題目，通常為已知一個(gè)三角函數(shù)，然后根據(jù)題目的要求，將函數(shù)圖象沿著x軸或y軸的平移，求平移后的三角函數(shù)。對(duì)于此類題目，同學(xué)們不能在頻繁的變化過(guò)程中抓住函數(shù)圖象平移的本質(zhì)，導(dǎo)致不能準(zhǔn)確地按照平移公式來(lái)求解答案，抑或是求解答案出錯(cuò)。針對(duì)此類題目，最關(guān)鍵的核心方法是將已知的三角函數(shù)化為可以處理的“標(biāo)準(zhǔn)”形式，以不變應(yīng)萬(wàn)變。

A.y（cosx+4）-2cosx=-10 B. y（cosx-4）-2cosx=-10

C. y（cosx+4）-2cosx=10 D. y（cosx-4）-2cosx=10

二、馬虎粗心，忽略了題目中三角函數(shù)的名稱

很多學(xué)生在做高中數(shù)學(xué)習(xí)題的時(shí)候，并不是不會(huì)，而是由于自己本身粗心大意和馬虎造成的，例如在做題的時(shí)候沒(méi)有注意到習(xí)題中三角函數(shù)的名稱等問(wèn)題。

例2：已知cosα＜cosβ，且兩角在同一象限，則下列命題成立的是（）

A.若兩角在第一象限，則sinα＞sinβ

B.若兩角在第二象限，則tanα＜tanβ

C.若兩角在第三象限，則sinα＜sinβ

D.若兩角在第四象限，則tanα＞tanβ

為了解析這道題，要求熟練掌握一整個(gè)周期內(nèi)在不同象限的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的增減性。同在第二象限，正切函數(shù)與余弦函數(shù)的增減性相反（正切函數(shù)為單調(diào)遞增，余弦函數(shù)為單調(diào)遞減），所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；在第三象限，正弦函數(shù)與余弦函數(shù)增減性相反（正弦函數(shù)為單調(diào)遞減，余弦函數(shù)為單調(diào)遞增），所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；在第四象限，余弦函數(shù)與正弦函數(shù)增減性相同（同為單調(diào)遞增），D選項(xiàng)錯(cuò)誤。教師可以首先教學(xué)生畫出函數(shù)圖象，例如：y=sinx,y=cosx,y=tanx，然后再教會(huì)學(xué)生在不同的象限內(nèi)不同的三角函數(shù)的增減性，可以給學(xué)生用圖象分析三角函數(shù)的增減性，這樣可以使學(xué)生靈活地、熟練地掌握知識(shí)。

三、沒(méi)有注意到三角函數(shù)的圖象產(chǎn)生變化

三角函數(shù)具有周期性，并且三角函數(shù)是連續(xù)的，這就意味著三角函數(shù)在所求區(qū)間內(nèi)基本不是單調(diào)的。由此，對(duì)于三角函數(shù)的變形，涉及定義域的改變而求值域的問(wèn)題，就不能簡(jiǎn)單地將定義域的端點(diǎn)代入而求值域。學(xué)生一般常出錯(cuò)的原因就是沒(méi)有很好地掌握三角函數(shù)的圖象和三角函數(shù)變化的情況，避免此類情況發(fā)生的方法是要熟練掌握三角函數(shù)的圖象，理解三角函數(shù)的增減性，學(xué)生要重點(diǎn)掌握三角函數(shù)單調(diào)性的特點(diǎn)，可以通過(guò)繪制圖象形象直觀地看到走勢(shì)。

若不能理解三角函數(shù)的單調(diào)性，就不能準(zhǔn)確找到極值點(diǎn)，也就不可能找到答案，錯(cuò)誤的答案通常是ymax=1，所以值域是

四、三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用得不夠靈活

在我們實(shí)際高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)解題過(guò)程中，可以遇到很多的題目，例如題目字?jǐn)?shù)本身很少，已知條件看起來(lái)很少等，這樣的題目讓很多同學(xué)摸不著頭腦，束手無(wú)策。實(shí)際上，造成這樣問(wèn)題的原因是同學(xué)不能牢記三角函數(shù)的性質(zhì)，比如sin2α+cos2α=1這些適用于一切情況，當(dāng)然也適用于一切題目的隱藏條件。解決這樣問(wèn)題的方法主要從兩點(diǎn)入手，一方面是要求學(xué)生們要認(rèn)真熟記這些公式，另一方面是學(xué)生們要記得在沒(méi)有思路的時(shí)候，首先一定要想想這些熟記的公式，結(jié)合這些公式去重新搜尋已知條件，然后解答三角函數(shù)的習(xí)題。

例4：sinα＋sinβ=-1，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)n，sin（2n+1）α+cos（2n+1）β=（）

A.0 B.1 C.0或1 D.-1

針對(duì)這道題，就需要用到三角函數(shù)隱藏的公式sin2α+cos2α=1，聯(lián)立已知等式與這個(gè)萬(wàn)用等式，用圖解的方式，可以得到2組解{-1,0}，{0，-1}，所以答案顯而易見(jiàn)是D。

以上這四個(gè)方面就是高中學(xué)生在學(xué)習(xí)關(guān)于三角函數(shù)方面解答問(wèn)題中常常會(huì)出現(xiàn)的幾個(gè)誤區(qū)，首先就是學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的概念掌握得不牢靠，其次是學(xué)生馬虎粗心，忽略了題目中三角函數(shù)的名稱，還有就是沒(méi)有注意到三角函數(shù)的圖象產(chǎn)生變化，最后就是三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用得不夠靈活。針對(duì)這四個(gè)方面，我們也有針對(duì)性地提出了避免學(xué)生進(jìn)入這幾種誤區(qū)的方法與策略，希望能夠?yàn)閷W(xué)生們提供幫助，為教師在教學(xué)過(guò)程中提供參考。

為了使教學(xué)效果不斷得到優(yōu)化，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該通過(guò)學(xué)生的做題情況，不斷進(jìn)行鉆研和總結(jié)，幫學(xué)生避免走入解題誤區(qū)，穩(wěn)固學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)，著重講解考試的重難點(diǎn)，教學(xué)生把握知識(shí)與知識(shí)之間的聯(lián)系，提高學(xué)生的運(yùn)算與求解能力。學(xué)好三角函數(shù)不僅對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)有所幫助，還能夠增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)方面的素養(yǎng)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，為學(xué)生以后的發(fā)展奠定基礎(chǔ)，為國(guó)家培養(yǎng)數(shù)學(xué)方面的人才。