談小學數學中的抽象思想方法

江蘇省南通市城中小學 居海霞

談小學數學中的抽象思想方法

江蘇省南通市城中小學 居海霞

小學數學教科書，既呈現了數學知識的發生、發展和應用過程，又蘊含著豐富的數學思想。同樣的教科書，由于對其數學思想方法、智力因素挖掘程度的不同，學生的學習效果、思維發展就不一樣。

比如，一年級“20以內的進位加法”的整理復習中，我們會看到，有的老師會讓學生橫著背、豎著背、斜著背，背到脫口而出，達成熟練口算的目標；有的老師會組織學生去觀察、發現，交流自己的發現。在觀察交流中，學生發現每一列算式一個加數不變，另一個加數不斷加1，和也隨著加1……，初步感受其中的函數思想。

所以，我們應從數學知識和數學思想兩方面分析研究教學內容，不但要思考具體的教學內容的數學本質，同時要思考分析這些內容中的數學思想方法。

數學發展所依賴的思想在本質上有三個：抽象、推理和模型。本文，主要從抽象的角度出發，闡述其思想對于學生思維的發展。

一、直觀、形象的感性認識是抽象的前提

比如：教學“小數的性質”。首先，由學生熟悉的鉛筆、橡皮的單價引出教學活動。學生可以借助于“元與角”之間的關系，0.3元是3角，0.30元也是3角，得出0.3元=0.30元。學生也可以借助于方格圖，用一個正方形表示“1元”。0.3元，就要將這個正方形平均分成10份，表示其中的3份；0.30元，要將這個正方形平均分成100份，表示其中的30份。再將這兩個圖形進行比較，進而發現“0.3元=0.03元”。

再通過長度單位的情境等，在這些感性認識的基礎上，引導學生舍棄不同的數值、不同的單位名稱這些非本質特征，而區分出小數的末尾添上“0”或去掉“0”，小數的大小不變這個共同的本質特征。在這里，層層遞進，教師引領學生積累充分的感性認識，再從具體到抽象，在“變中有不變”中體會抽象思想。

二、抽象要以建立合適的抽象層次為基礎

數學抽象不是一次完成的，而是要建立合適的抽象層次，從借助于具體事物的較低層次的抽象逐步發展到借助于表象或者數學概念的較高層次的抽象。

例如，兩位數加兩位數的筆算不進位加法，這是小學階段列豎式筆算加法的起始課。要得出“相同數位對齊，從個位加起”的豎式計算方法，要經歷一個有層次的抽象活動。

首先，在生活情境中得出加法算式：45+31

接下來，經歷這樣的三個層次：

第一個層次：擺小棒計算。先擺45根小棒，再擺31根，學生在擺的過程中，體會將1捆1捆的小棒相對應相加，1根1根的小棒相對應相加。這個過程是實物抽象。

第二個層次：撥計數器計算。在撥珠的過程中，感受個位相加，要在個位上撥珠，十位相加，要在十位上撥珠。這是半符號抽象。

第三個層次：列豎式計算。這是符號抽象。

可以感受到，在第一層次的“擺小棒”和第二層次的“撥計數器”的活動中，通過數形結合的方法，實現最終抽象為符號的目的。經歷了這樣的有層次的抽象活動，學生才能積累完整的抽象的經驗，從而才能感悟抽象的數學思想。

三、經歷從許多事物中抽出共同本質屬性的抽象過程

張奠宙認為：“數學的對象是抽象的、形式化的思想材料。”思想材料進入頭腦必須經歷過程，這樣思想材料才能成為他（學生）的材料。

在基礎性概念的形成階段，讓學生經歷從許多事物中抽出共同本質屬性的抽象過程，經歷把事物的共同特點歸結在一起并概括、建立概念的過程，，學生才能發展出以概念為思維材料的抽象思維能力。

比如：三角形高的教學。四年級學生很難從文字表述上抽象理解三角形高的概念。盡管學生能背出什么是三角形的高，但一旦動手量或畫的時候就顯得困難重重，常畫一條不垂直于底的虛線，認為是高。

教學中，可以由易到難，先從直角三角形的一條直角邊為底，找相對應的高，這里的高所在位置是顯性的。接著，再給三角形“翻跟頭”，讓學生看到三角形的三條邊都可以做“腳底（底）”，每條底上都會有相對應的“身高”（高）。其中以斜邊為底的高的測量是難點，因為其所在位置沒有線條標識，順理成章讓學生用虛線將其所在位置標識出來。

在研究完直角三角形的三條高后，再引導學生找銳角三角形的三條高，并繼續思考鈍角三角形的三條高，在這樣的過程中，積累了有關三角形高的大量感性的認識，從中抽象出有關高的本質屬性：“從頂點到底邊的垂直距離。”

四、抽象出的方法要能解決這一類的數學問題

數學思想方法是反映數學學科發展的，理解和解決一類數學問題的思想和能力，不是只適用于特定的內容和特定的情境的方法。

比如：認識數的時候，數的方法很多，可以兩個兩個地數，五個五個地數，這些在一定的情境中是適用的。而對于數的認識，通用的方法是十進制計數法。

而學生對十進制計數法的掌握，不只是對于理解20以內的數有價值，進一步理解更大的數同樣是這樣的方法。所以，抽象出的方法可以解決這一類的數學問題。

數學思想是基于基礎知識和基本能力實現的，并且外化于運用基礎知識和基本能力解決問題的過程。在這個過程中，數學基本思想與學習態度等核心素養總是表現出內隱的特質。