高中數學排列組合的解題技巧

山東省濟鋼高中2015級部 王致遠

高中數學排列組合的解題技巧

山東省濟鋼高中2015級部 王致遠

作為高中生，為了應對高考，在學習了高中數學知識點后會做習題來鞏固，在做題時會發現同學們雖然掌握的知識點相同，但做題速度和效率卻相差很多，仔細分析不難發現，效率高的原因是因為有一定的解題技巧。高考題中排列組合類問題常會出現，它的類型較多，因此需要有一定技巧才能高效解答。本文簡單分析排列組合的解題技巧。

高中數學；排列組合；解題技巧

排列組合的基礎知識看似簡單，但越深入地學習就會發現其越抽象，許多同學的思維轉化能力較差，解答起來就有難度，因此需要去尋找解題技巧，將思維問題難度弱化。我在解答排列組合問題時總結了一些簡單的技巧，希望通過我的文章能給同學們一些借鑒。

一、相鄰捆綁

排列組合中有一類問題很常見：兩個人、兩個數字等必須要挨在一起，或是一個問題中通過分析會發現大條件中必須有兩種物品要相鄰這類問題，在解這樣的問題時，如果將所有的元素都看成單一的，然后再去考慮相鄰問題，這樣也能解答出來，但效率低，結果不一定準確。采用相鄰捆綁解決起來就比較容易，也就是將兩個相鄰元素看成一個整體后再重新排列，這樣可以省掉很多步驟，并且不容易混亂。例如：會議室要將10把椅子擺成一排，經理和副經理的椅子要擺在一起，其他可以隨意擺放，求擺法數量。這是典型的相鄰問題，解答時通過大條件我們能發現經理和副經理要挨在一起是關鍵，在解題時將它們兩個看成一把椅子，這樣就相當于是9把椅子進行排列組合，這樣既不會在解答時每次都考慮挨在一起的問題，又能快速找到解答方向，通過簡單的公式就可以快速解答出來。

二、特殊優先

排列組合中有一些比較特殊的問題，如果不將這些特殊問題提前考慮，解答時就會很麻煩又容易解答錯誤，因此在解答前就需將其中的特殊條件尋找出來，再來解答，避免帶來思維亂象。例如：媽媽給彤彤買了一個保險箱，但沒有告訴彤彤密碼，現在彤彤只知道密碼是1、3、5、7、9之間的三個數字，并且彤彤知道1是其中的一個密碼，那么彤彤能找到多少種密碼方案？這個題目中可以發現1是其中的特殊數字，所有每一次組合時，都需要將1放到其中的不同位置上，首先將1選入方案內，就可以少了很多次數的排列，這樣解答起來更高效，節省了將1排除的時間。

三、除法

這種技巧在排列組合中也很常用，但是這種技巧在解題時需要在某一部分有固定順序，也就是說一些固定順序可以使用這種技巧，解答方便、快捷。例如：動物王國進行體操表演，其中選擇了6只猴子和3只兔子進行表演，但為了美觀，要求三只小兔子按照由瘦到胖來進行排列，共有多少種方法？在解答這個問題時，首先我們會發現，小兔子由瘦到胖已經固定，因此這個順序不能更改，我們首先不做任何改變將9只小動物全排列得到相應的排法，而三只小兔子的排法只能是6種，那么將全排列得出的排法數量除以6就可得到最終答案。這種方法比較簡單，不需要進行一一排除，只需將兩種組合數量算出，最后相除就可以了。

四、相離插空

這個技巧的特征是它能高效率地解決不相鄰元素問題，首先給出的條件是無限制的，允許自由排列組合，但附加的條件就有一定要求，在解決這類問題時首先要考慮的是有限制的因素，將其插入無限制因素中，解決起來更容易。例如：媽媽先買了8盆花，之后又買了3盆，陽臺地方有限，需要將這三盆花插入其中，但是原來擺花的順序不能更改。這樣的題型中就可以用這種技巧來解答，首先，先買的8盆花是固定的，不用過多考慮，只需將后買的3盆花插到其中就可以了，那么就是說這3盆花可以插在中間也可插在兩邊，這樣就能發現現在有9個位置來擺放這三盆花，將一盆擺進去之后，下一盆就又多了一個位置，等到第三盆擺進去后就能發現剩下的位置變成了11個，這樣再進行乘法計算，最后就能得到答案，那么在解題時，同學們再遇到這類問題就可以用這種技巧來解答，解答速度會更快，并且得到的答案更準確，節省了大量時間，保證了解題質量。

五、多元分類

多元問題分類主要是解決元素較多、情況多種時的排列組合問題。它是在弄清題意的基礎上，按結果要求將其分成不相容的幾類情況加以考慮，分別計數，最后一一相加，進行總計。例如，設集合I={1，2，3，4，5}。選擇I的兩個非空子集A和B，要使B中最小的數大于A中最大的數，則不同的選擇方法有多少種？在進行解答時首先要進行分析，最后總結出幾種不同情況，因為這個題目中提到有兩個結合，但不能是非空子集，所以會選擇2、3、4、5四種元素來進行解答，那么2個元素時，大小區分可以容易得到10種選法，3個元素時，情況發生了變化，因為將三個元素分給兩個集合也有10種，但是還需區分大小，最終得到20種方法。4個元素時，有 =5種選法，再分成1、3;2、2;3、1三組，共有3×5=15種方法; 5個元素時，有種選法，再分成1、4;2、3;3、2;4、1四組，共有4×1=4種方法。總計為：10+20+15+4=49（種）方法。

總之，排列組合問題如果找對了技巧，解答起來就容易多了，在平時的課堂上，我們要跟上老師講題的思路，運用老師的方法，自己再總結一些方法技巧，這樣我們在解答問題時就不會受到思路限制，解題會更高效，希望我的技巧能給同學們提供一點幫助。

[1]王保峰．淺談解排列組合問題的基本分析方法[J]．學周刊，2012（24）．