數學抽象：提升學生的數學核心素養

江蘇省蘇州平江中學校 高 旻

數學抽象：提升學生的數學核心素養

江蘇省蘇州平江中學校 高 旻

“數學抽象”是第一核心素養，且數學本質上研究的就是抽象問題，數學發展的基本思想也是抽象的。為了達到讓初中與高中更好銜接的目的，筆者認為在初中階段就應該逐步提升學生的數學核心素養，本文結合筆者的教學實踐來談談“數學抽象”的內涵及初中階段如何提升學生的數學抽象能力。

數學抽象有四個方面的具體表現：形成數學概念；形成數學命題與模型；形成數學方法與思想；形成數學結構與體系等。下面通過幾個教學實例闡述如何在課堂中培養學生“數學抽象”的能力。

一、在新授課中創設情境，引導學生抽象出問題共性，形成數學概念

數學概念是人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式，它是數學的邏輯起點，是學生認知的基礎，是學生進行數學思維的核心。概念的形成過程就是對實際問題進行數學抽象、概括的過程。譬如，“函數”的概念，就是實際問題中兩個變量之間對應關系進行抽象的結果；“分式”的概念，是分數符號化的結果，是對分數特殊屬性的一般描述，是利用類比方法抽象出的結果。

案例1：蘇科版數學八年級（下）分式概念教學。

上課開始，老師先給出下列問題，請學生解答。

問題1：如果某市人口總數為a人，綠地面積為bm2，那么該市人均擁有綠地 m2。（答案：）

問題3：如果兩塊面積為a公頃、b公頃的棉田分別產棉花m千克、n千克，那么這兩塊棉田平均每公頃產棉花 千克。（答案：）

問題4：計算：4x3y2÷x3y3= 。（答案：）

有什么共同特征？它們與整式有什么區別？學生會得出一些結論：這些式子的分母都含有字母，它們不是整式，與分數類似等。從上述實際和純數學問題情境中抽象出分式概念：用A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么代數式叫做分式，其中A是分式的分子，B是分式的分母。

本節課是分式的一節概念引入課，從整個章節來說，學習分式是解決實際問題的需求和數學發展自生的結果，分式是分數符號化的結果，通過用字母表示數把分數和分式聯系起來，滲透具體與抽象、特殊與一般的數學思想。在教學中，筆者認為要為學生準備典型、豐富的具體實例，設計、歸納具體實例的共性，抽象出本質特征，并概括出數學概念。

二、在實驗課中歸納提煉，引導學生抽象出問題規律，構建數學模型

數學建模就是對實際問題通過抽象化得到模型的方法解決問題的數學活動過程。數學實驗課是一種以問題解決為驅動的學習方式，讓數學建模可操作化，能有效促進學生數學抽象能力的培養與發展。在實驗活動中，學生通過操作、交流、思考，對數學概念、法則進行抽象建構（即數學建模），經歷問題情境、構建模型、問題解決的過程，幫助學生獲得數量關系和變化規律的體驗，促進學生對實驗結論歸納提煉，得到一般的數學結論。譬如在七年級學習二元一次方程組時，可以做一些簡單的測量實驗，讓學生在活動過程中建立方程模型，培養數學抽象能力。

案例2：蘇科版《數學實驗手冊》七年級（下）測量硬幣的厚度與質量。

實驗準備：相同的5角硬幣若干、相同的1元硬幣若干、尺子、天平等。

(2)加強國內外機構在綠色金融控制方面的合作。 在“一帶一路”的大環境下，我們有著很多的機會，利用與國際相關機構合作，以國際金融風險控制的高標準。通過不斷學習國內外綠色金融發展的新成果、新思路和新理念。根據雄安的產業特征，借鑒發達國家的相關規則與標準制定綠色金融法律制度，對于金融監管部分評估與測度，達成金融環境風險評級能夠規范操作的目標。

實驗內容與步驟：

1.測量硬幣的厚度和質量：

（1）將10枚5角硬幣疊放在一起，用尺子量出它的厚度約為 mm，那么1枚5角硬幣的厚度約為 mm；將10枚1元硬幣疊放在一起，用尺子量出它的厚度約為 mm，那么1枚1元硬幣的厚度約為 mm。（2）用天平稱出10枚5角硬幣的質量約為g，那么1枚5角硬幣的質量約為 g；用天平稱出10枚1元硬幣的質量約為 g，那么1枚1元硬幣的質量約為 g。

2.計算硬幣的數量和總金額：

（1）將1把5角和1元硬幣混合疊放在一起，用尺子量出它的厚度。問題解決：你能分別求出有多少枚5角硬幣和1元硬幣嗎？為什么？

（2）再用天平稱出這把硬幣的質量，此時你能分別求出5角硬幣和1元硬幣的枚數嗎？并計算出總金額。

這個實驗是為“用二元一次方程組解決問題”而設計的，首先，測量5角硬幣和1元硬幣的厚度和質量，要求用尺子量出厚度，用天平測量質量，注重對數據的處理和使用。其次，求出5角硬幣和1元硬幣的數量，僅僅用尺測量厚度是不夠的，還需要用天平稱出質量，強化對數據的處理和使用過程，讓學生體會二元一次方程組解決實際問題的有效數學模型。

三、在習題課中巧設變式，引導學生抽象出問題本質，形成數學方法與思想

習題課是為了提高學生對概念與規則的理解與運用能力，重點是如何通過精講精練，對條件、結論等不同角度、層次、情形、背景的變式，引導學生抽象問題本質，教授學生歸納數學方法與思想。

案例3：在一節習題課教學中，出示下列問題：

請寫出點A（x，y）關于x軸對稱的點的坐標是 ；關于y軸對稱的點的坐標是 ；關于原點對稱點的坐標是 。

解答后，給出下列變式：

變式一：直線y=x+1關于x軸對稱的直線解析式是（）；關于y軸對稱的直線解析式是（）；關于原點對稱的直線解析式是（）。

變式二：拋物線y=x2+2x-1關于x軸對稱的拋物線解析式是（）；關于y軸對稱的拋物線解析式是（）；關于原點對稱的拋物線解析式是（）。

變式三：下列函數圖像：y=2x，y=3x2，y=5|x|中，關于x軸對稱的有（）；關于y軸對稱的有（）；關于原點對稱的有（）。

解答上述變式問題后，請同學歸納解題方法（即抽象出問題本質，歸納出方法和思想）。通過學生的回答，歸納，有以下兩點：（1）這是一類求平面直角坐標系中點、解析式對稱的問題。由于線由點組成，故線的對稱就是點的對稱問題。（2）解題流程：若關于x軸對稱，則自變量x不變，因變量y用-y代換；若關于y軸對稱，則因變量y不變，自變量x用-x代換；若關于原點對稱，則自變量x用-x代換，因變量y用-y代換。

四、在復習課中承前啟后，引導學生抽象出概念結構，形成數學體系

在數學課堂教學中由于概念不清，知識主線不通等教學現象大量存在，造成了學生只會機械地解題，而不清楚題目背后實際蘊藏著知識概念的框架結構。因此教師在新授課結束后，需要幫助學生構建數學概念與知識的體系。復習課是對所學知識的溫故與整合，不僅要教會學生解題，還要教學生歸納數學方法、抽象概念結構，讓數學知識不再是獨立的知識，而讓數學知識能形成相關聯的數學體系。

案例4：在一節復習《一次函數》章節的課上，給出下列例題：

例1 一次函數y=kx+b（k≠0）的圖像如圖1所示，則由圖象可知關于x的方程kx+b=0的解為（）。

（簡析：該題把一次函數與一元一次方程聯系在一起，方程的解就是函數與x軸交點的橫坐標。）

例2 函數：y=kx+b（k≠0）的圖像如圖1所示，則kx+b＞0的解集為（）。