已知多元變量關(guān)系求最值問題的解決策略

江蘇省高郵中學(xué) 古模楷

已知多元變量關(guān)系求最值問題的解決策略

江蘇省高郵中學(xué) 古模楷

在各地高考以及高考模擬試題中，一類已知多元變量求最值問題的題目通常以填空題的形式出現(xiàn)，這類題目的特點(diǎn)是變量多（通常為2-3個(gè)）、形式多樣（不等式條件和等式條件），有些題目難度較大，學(xué)生解決起來比較困難。筆者根據(jù)自己的教學(xué)實(shí)踐，從解決策略的角度對這類問題做了一個(gè)歸類，與諸位同仁共勉。

策略一：運(yùn)用整體思想，尋求“結(jié)論整體”與“條件整體”之間的關(guān)系。

有些題目“條件整體”與所求“結(jié)論整體”的關(guān)系較為明顯，這時(shí)只要找到這種關(guān)系，就可以選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉斫鉀Q，在解題方法選擇中，往往要遵循“整體運(yùn)用優(yōu)先”的原則。

策略二：運(yùn)用消元思想，將多元問題轉(zhuǎn)化為兩元甚至一元問題求解

本題利用條件等式中的關(guān)系，將三個(gè)變量中的y用另外兩個(gè)變量x，z來表示，將三維變成了兩維，然后直接利用基本不等式求解。

本題為三元變量問題，而且已知條件為不等式形式，無法直接代換消元，這里采用不等式的性質(zhì)中的兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)的性質(zhì)成功將三元代換為兩元，這里重心是消元。

策略三：運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題。

有些問題從代數(shù)角度來講似乎無法處理，這時(shí)如果從幾何意義的角度看，也許就會(huì)峰回路轉(zhuǎn)，立即找到解決問題的方法與技巧。

解決本題的關(guān)鍵主要是注意到原式的分式特征，從代數(shù)角度無法解決，但聯(lián)想到直線的斜率特征和分式的特征，從幾何角度去看問題就迎刃而解了。

策略四：利用不等關(guān)系中的相等條件，取得最值的條件是關(guān)鍵。

對于條件為不等關(guān)系的式子，可以抓住其“不等條件”中的“相等關(guān)系”來代換消元，但要特別關(guān)注最后要求的最值的前提是不等關(guān)系中的相等關(guān)系必須成立，否則方法失效。

總之，這類問題在高考中時(shí)有出現(xiàn)，其難度相對較大，這就要求同學(xué)們在平時(shí)多思考，善于將題目的條件與結(jié)論合理聯(lián)系與恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，還要善于總結(jié)，并在上述幾個(gè)策略的指導(dǎo)下經(jīng)過較長期的歷練，方可取得理想的效果。