學生內省驅動下的生成課堂

江蘇省南通中學 李維堅

學生內省驅動下的生成課堂

江蘇省南通中學 李維堅

漢語中“省”這個字是個多音字，而數學的學習與這個字息息相關。省（xǐng）：一者，吾日三省吾身，注重學習的反思反省；一者，注重自我的內省驅動。省（shěng）：減少，精簡，不斷優化數學思維方式。

高中數學教學是一個多維、漸進、多層次的空間序列。千姿百態的生成性資源產生于師生的知識、思維、智慧、情感等多種因素的交織互動。有些優質有效資源是可遇而不可求的，它稍縱即逝。假如教師能按照學生認知的曲線、考慮思維的張度、情感的特征，在圍繞教學目標精心預設的基礎上，開展學生內省驅動下的生成課堂，以個人扎實的基礎和靈動的教學機智將那些意料之外的包含價值的生成資源敏銳捕捉，并合理有效地納入教學現場，組織新的教學流程，則能讓課堂教學更貼近每個學生的實際狀態，能讓學生興致高漲、思維盎然，能讓師生、生生有效互動，創造的火花不斷涌現，新的思路、不同的見解層出不窮，這樣的生成課堂才見其精彩有效之處。

一、珍視學生內省驅動中的錯誤懸念，誘導真知灼見

內省驅動下，學生犯些錯誤是正常的，因為學習本身就是一種通過反復思考招致錯誤緣由并逐漸消除錯誤的過程。既然學生犯錯誤是一種普遍且無法回避的事實，我們就應該理性對待生成的錯解，主動探知出錯的原因，深層次地挖掘錯解的教學功能，這樣才有助于提高數學課堂的教學效率。建構主義認為學習過程重在質變的過程，而非單一的量變過程，這一過程中就包含了錯誤的出現、錯因的分析、錯解的更新。數學教學的一項重要內容就是“糾錯”，糾錯能力又是數學能力的一個重要構成。在不斷的糾錯過程中，思維的正確性、嚴謹性、完整性和批判性就生機勃勃地發展起來了。在動態生成的數學課堂中，解題思路、解題方法瞬息萬變，靈感不斷，很多是師生各自或彼此受到啟示的即興之作，但因受到年齡特征、心態情緒、知識儲備、思維模式等各種因素的影響，一些偏頗的想法、缺陷，甚至錯誤都有出現的可能，但這不妨礙這些錯誤資源的價值利用度。

比如在講授《線性規劃》這節課時，面對兩個關于x，y的二元一次不等式，求解第三個關于x，y的二元一次代數式的范圍問題時，絕大部分教師都會面對學生的一種錯誤處理：將已知的兩個不等式利用不等式的性質變形相加，得到第三個不等式的范圍。這種處理一般求出的都是必要條件，放大了范圍。如果教師僅僅宣布該解法的錯誤而不去挖掘錯因，不去利用錯解，那么就失去了一次很好的生成機會。錯因的挖掘和分析可以讓學生明確如何等價利用不等式的性質；而錯解的利用則可以挖掘出除了線性規劃以外的另一種方法：即將已知的兩個關于x，y的二元一次代數式分別看為一個整體，用它們去表示第三個關于x，y的二元一次代數式。筆者講授時，還讓學生類比了平面向量基本定理，這個二元變量的轉化過程本質上是一樣的。雖然是教學目標為“線性規劃”的課，但是筆者認為這樣的生成并沒有浪費時間，反而加深了學生對數學的理解，因而后來學生在面對2010年江蘇省高考數學卷的一道填空題時，幾乎無困難地解決了問題。因此教師應學會直面并審視錯誤，寶貴的教學資源也許正蘊含在這些錯誤資源之中。

二、捕捉瞬間直覺，激發思維靈感

教育家蘇霍姆林斯基曾說：“教育的技巧并不在于能預見到課的所有細節，而在于根據當時的具體情況，巧妙地在學生不知不覺中作出相應的變動。”因此，教師應審時度勢、順勢引導，把學生的直覺化成充滿靈氣和創造性的教學資源，讓其在課堂中熠熠發光。倘若斷然否定、視而不見、置之不理，就將錯失一個絕佳的生成契機。

比如《幾何概型（二）》這個案例：假設你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6:30～7:30之間把報紙送到你家，你父親離開家去工作的時間在早上7:00～8:00之間，問你父親在離開家之前得到報紙(稱為事件A)的概率是多大？

筆者在第一個班授課時，當這個問題提出后，學生很快展開了思考。有4個同學說出了自己的答案，在他們的解答過程中，無一例外均是以長度為測度來進行計算的。4個人中有三個人的答案是錯誤的，但是一個同學的答案卻是正確的。筆者當時心里咯噔了一下，怎么辦呢？筆者在預設中從沒想過這道題的一維解決方案，到底這個學生的答案是湊巧得出的還是有合理的理由呢？沉思片刻，筆者讓這個學生說出了自己的式子。

生1：

筆者請生1具體闡述一下來龍去脈，可惜生1的表達讓人不知所以然。筆者按捺住心中的疑惑，讓學生一起來研究，同時贏得了時間，自己也開始了對這個解法的重新認識。觀察這個式子，生1應該是從反面考慮這個問題的，也就是父親拿不到報紙的概率是那么這個式子是什么意思呢？筆者積極地思考起來，忽然間豁然開朗了，感覺這個式子是很有道理的。此時筆者看到下面有學生舉起了手，于是筆者請他發表自己的看法。

生2：父親拿不到報紙的情況必須滿足以下條件（筆者暗忖，和自己的想法差不多）：

（1）相對于送報人，送報人的時間是7:00～7：30之間，這個時間段占6:30～7：30這一個小時的

（2）相對于父親，送報人送了報紙但是父親卻離開家的時間是在7:00～7：30，這個時間段占7:00～8：00這一個小時的

（3）相對于兩者而言，送報人必須在父親離開后送到，這樣先后的概率又是

此時筆者心中很興奮，但是新的矛盾又來了，筆者又很困惑，有三個問題需要筆者面對：第一：這個解答是走了正難則反的路，那么如果從正面走，能夠直接加以解答嗎？第二：這種方法能成為解決這類問題的通法嗎？第三：筆者的教學任務還沒有完成，教學目標還沒有完全實現，即建立二維坐標系來解決這種二元變量的問題。

很短的時間內，筆者決定把第一個和第二個問題拋給學生，讓他們課后去思考這兩個問題，而把第三個問題在課堂上解決掉。

但此時對于為什么要建二維坐標系來解決這個問題，筆者顯然沒有很好的說服力。雖然后來用二維的思想，順利地完成了后來的教學，但自己感覺很不滿意。于是在去第二個班授課之前，根據第一個班的意外生成，還來不及總結這個意外的生成，筆者對教案做了調整。決定在這個送報的例題之前加入一個例題，換一種教學情景，把教學生長點建立在學生的認知沖突上，讓學生在最近發展區內主動思考，積極探索，而不急于去拓展學生的認知結構。

從個人知識水平上來看，學生已學過測度是一維的幾何概型的問題（比如長度），但卻未遇見這類有關二元變量的幾何概型問題，學生很自然會希望用一維的幾何概型來解決此問題，因此生1、生2的理解雖然出錯，但卻是在情理之中的，而生3發現的分析又指出了生1、生2的破綻。在學生的思維陷入了強烈的矛盾沖突中，又苦于找不到解決眼前問題的辦法之時，教師應充分發揮主導作用，合理利用這一認知沖突，提高學生的思維能力，讓課堂有效生成。

筆者提示道：這里涉及兩個變量x，y，而且你們已經用不等式將它們的關系表示了出來，滿足而一維的數軸無法描述這兩個變量之間的關系，那我們可以借助怎樣的工具來刻畫它們的關系呢？

在二元變量范圍問題的刻畫上，類比線性規劃知識，學生聯想平面直角坐標系是刻畫x，y的關系的有效的數形結合的工具。畫出平面區域后，概率為平面區域的面積比：

此時，學生撥開云霧見天日，認識到這是一個“面積比”的幾何概型，原來的認知沖突得以化解，真正是知其然也知其所以然，這為學習剛才的送報人的例題奠定了深厚的基礎，學生一維的定式思維被成功地拓展到二維的空間，此時在這個班對于送報人的這個問題，學生無一例外地選用了平面直角坐標系來解決這個問題。在學生內省驅動的課堂中，教師要善于從學生困惑的焦點、認識的沖突中去捕捉有效的信息，激發內需，發展思維，形成教學生長點，使課堂因為認知沖突資源而精彩。根據這兩節課，筆者有很多生成性的收獲，但是對于兩課的預設心中還是存有很多的疑問，到底怎樣才是更好的呢？

而對于留給第一個班的兩個問題，筆者自己也做了思考，當然思考也是不太成熟的。

如果從正面考慮，父親在離開家之前拿到報紙的情況分為以下三類：

（1）送報人在7:00前送到，那么父親一定可以拿到報紙。此時相對于6:30～7：30這一個小時，概率是

（2）送報人在7:00～7：30之間送到報紙，而父親在7：30之后離開，此時這個概率是

（3）送報人在7:00～7：30之間送到報紙，父親也在7:00～7：30之間離開，而且父親比送報人更晚離開，所以此時的概率是

思考后筆者發現，無論是課上學生提出的從反面解決還是從正面解決，都可以成為解決這類問題的一個通法，但是相對于二維的平面直角坐標系的解題方法來說，這種方法要求思維縝密，一個環節考慮不周，就很容易出錯。而在第一節課上，生1憑借扎實的知識和迸發出來思維的火花，在極短的時間內回答了這個問題，體現了這個學生直覺思維的跳躍性。

教育永遠是一件遺憾的事情，而我們要做的就是如何盡可能地減少遺憾，生成精彩。對于本節課的預設，筆者還在不斷反思中。