皮亞諾公理體系下的自然數運算（二）

文︳張新春

皮亞諾公理體系下的自然數運算（二）

文︳張新春

2.乘法

到現在為止，我們已經定義了自然數的加法，并討論了有關加法的一些性質與定律。我們將在這一節討論自然數的乘法。當然，首先得把乘法定義出來。我們能利用的只有自然數的加法以及相關的運算性質與定律。

乘法也是用歸納的方法定義的。說起來也簡單，就是對任意的兩個自然數m和n，我們都要規定n×m是什么意思（這里，我們已經在使用“×”了，即已經用n×m表示把n乘到m上了）。也可以這么說，對于任意的自然數n，我們要規定以下這些式子的意義：

n×0、n×1、n×2、n×3、n×4、n×5、n×6、…

因為自然數的個數是無限的，要逐個規定以上無窮多個式子的意義，我們只能利用數學歸納法。基本思路是，先直接規定上述第一個式子的意義，然后借助前一個式子的意義規定后一個式子的意義。如此下去，每一個式子的意義都規定出來了。下面，我們把上述分析寫得稍稍嚴格一點。

定義1（自然數乘法）：設n是任意的自然數，我們規定n×0=0。設已經定義好了n×m，我們定義n×（m+）=n×m+n。

根據這個定義，有：

n×0=0，

n×1=n×0+n=0+n=n，

n×2=n×1+n=n+n，

n×3=n×2+n=n+n+n，

……

當然，也可以說，所謂定義乘法，即是對任意的自然數m，規定以下這些式子的意義：

0×m、1×m、2×m、3×m、4×m、5×m、6×m、…

這里使用歸納法，我們也可以這樣定義乘法：

定義2（自然數乘法）：設m是任意的自然數，規定0×m=0。設已經定義好了n×m，我們定義（n+）×m=m+（n×m）。

根據這個定義：

0×m=0，

1×m=m+（0×m）=m，

2×m=m+（1×m）=m+m，

3×m=m+（2×m）=m+m+m，

……

就像加法是重復的“后繼”一樣，乘法是重復的加法。

定義1與定義2都是用歸納的語言說明n× m的意義，定義1是固定n，對m作歸納，而定義2則是固定m，對n作歸納。

應該說明的是，不論按定義1還是按定義2，n×m和m×n的意義是不同的。若按定義1，n×，若按定義2則恰好相反。

小學數學教學中，在引入乘法的意義時，并沒有區分這兩個算式的意義，是為了降低教學難度，減輕學生的負擔。

以下是蘇教版小學數學教材中引入乘法的部分：

其他小學數學教材采用的方法大體類似。這里采用的是模糊的處理辦法：4個2相加，可以寫成4×2或2×4，那么2個4相加，就可以寫成2×4或4×2。也就是說，4×2可以表示2個4相加或4個2相加，2×4也可以表示2個4相加或4個2相加。于是4×2與2×4的意義就完全一樣。我們把小學數學教材中關于乘法的定義一般化：n×m和m×n都可以表示n個m相加或m個n相加，從而意義一樣。若作嚴格的分析，這樣的規定有兩個問題：首先，把n×m定義為n個m相加或m個n相加，首先就要解決n個m相加或m個n相加的和是否相等的問題。當然，這個問題由加法的性質得到保證。但即使是這樣，也還是有第二個問題，即不符合數學定義的簡潔性要求。同時，若引進乘法的意義時，規定n×m和m×n的意義是相同的，以后又讓學生探究乘法是否具有交換律，即探究n×m的結果是否和m×n的結果相同。這在邏輯上是很荒唐的：意義都完全一樣了，結果能不相同嗎？

我們認為，學生學習乘法的負擔并不在于是把2×4的意義規定為4個2相加還是規定為4個2相加或2個4相加，而在于當乘法的意義和基本性質、運算定律都明確之后，在解決某一個具體問題時，我們還機械地要求學生列式只能寫成m×n而不能寫成n×m。因此，除了把乘法的意義作一個模糊處理外，我們還可以有另外一種處理辦法：首先明確規定乘法的意義（即規定m×n的唯一意義），到以后明確乘法的交換律后，再約定在解決具體問題時不再對兩個因數的順序作明確要求。

另外，小學數學教材中把乘法規定為幾個相同加數的和的簡便運算，這里需要補充兩個定義，一是關于1的，a×1的意義是不能用加法說明的，即不能說a×1是“1個a相加”，于是，原來的大綱版教材中補充規定a×1=a；二是補充規定a×0=0。數學中經常有這類規定，需要強調的是，這類規定看似隨意，其實是有其合理性的。比如，要保證乘法運算定律普遍正確，就必須規定a×1=a,a×0=0。以a×0為例，由乘法分配律，a×0+a×0=a×（0+0）=a×0，于是a×0=0。這就說明，如果不規定a×0=0，則乘法分配律就不能得到滿足。

以下討論乘法的運算定律。與證明加法交換律與結合律的方法完全類似，我們可以證明：

在此，我們不詳細證明以上兩個運算定律，只證明：

由于乘法滿足交換律，我們只需證明上述等式中的一個即可。我們證明后一個，方法仍然是數學歸納法：固定a和b，對c用歸納法。

當c=0時，a×（b+0）=a×b，a×b+a×0=a×b，于是a×（b+0）=a×b+a×0，即c=0時，乘法分配律成立。

假設a×（b+c）=a×b+a×c，我們來證明a×（b+ c+）=a×b+a×c+。

根據加法的定義與加法的交換律，b+c+=（c+）+ b=（c+b）+=（b+c）+，于是a×（b+c+）=a×（b+c）+，根據乘法的定義，a×（b+c）+=a×（b+c）+a=a×b+a×c+ a=a×b+a×c+，這樣就完成了歸納。

數學教育的真功夫是對數學與數學教育的把握，唯此才能成就好的數學課堂。湖南數學教師的老朋友，《湖南教育》的申建春老師開通了微信公眾號“與數學老師談心”，請關注。