數學概念課要做到自然和理性
——以函數y=Asin（ωx+φ）的圖像為例

文︳周龍虎

數學概念課要做到自然和理性
——以函數y=Asin（ωx+φ）的圖像為例

文︳周龍虎

我們有一個共識：數學概念課難上，要上得入木三分則難上加難。數學概念是區分并突顯數學對象科學的有效方式，是培養思維、提高認識力的重要媒介。數學概念的引入、得出、辨析及升華，每一個環節都不可或缺，且要做到道法自然、崇尚理性。人教版高中數學教材的編委們寫道“數學是自然的”，它包含數學概念的構建及定義、定理的探究與發現是自然的，知識發生、發展的邏輯順序應是自然的，學生的自主、合作、探究和教師的教也應是自然的。數學課還應是理性的，它包含用數學的方式探索、探討問題，用嚴謹且規范的方式表達問題等。那么，高中數學概念課如何做到自然和理性呢？筆者以函數y=Asin（ωt+φ）的圖像為例談一談自己的感受。

一、從數學內部著手，自然引入

生活和物理學中具有周期規律的現象很多，如潮汐現象、音樂、單擺、簡諧運動等。這一運動規律實際上就是轉化或抽象到單位圓上運動的點的縱坐標的運動規律，由此自然聯想到一般情況：半徑為A的圓周上勻速運動的點P（角速度為ω，初始位置對應的角為φ），運動時間為t，該點的縱坐標表達式為y=Asin（ωt+φ），從而引發學生思考如何研究該函數模型的性質。研究函數的一般思路是從函數圖像出發，觀察圖像特征，猜想并驗證一般規律，自然引出課題：研究函數y=Asin（ωt+φ）的圖像。

二、采用問題分解、先易后難的策略，自然生成

從解析式的角度對比函數y=Asin（ωt+φ）與正弦函數，研究3個參量（A，ω，φ）對函數y=Asin（ωt+φ）圖像的影響是順理成章的事。3個參量如果一起研究，不好操作，可以采取化整為零、問題分解的策略，逐個擊破，然后進行綜合分析。從對函數圖像影響最熟悉（或簡單）的那個量開始研究符合學生的認知規律。函數圖像平移的“左加右減”是學生已掌握的舊知，自然會先研究φ對函數圖像的影響。教師引導學生得到φ對函數圖像影響的一般規律后，放手讓學生探討另外兩個參量對函數圖像的影響，起到先行組織者的作用。

三、以圖像變換方式為契機，辨析說理

研究完3個參量對函數y=Asin（ωt+φ）圖像的影響后，再回到之前的問題上：“如何通過變換由y=sinx的圖像得到y=Asin（ωt+φ）的圖像呢？”從幾何畫板演示中，學生可以感受圖像變換中的平移規律與伸縮規律。對一個具體的函數，學生有兩種變換策略：一是先平移再伸縮；二是先伸縮再平移。采用兩種不同的變換方式實際上是對函數圖像變換的再認識、再運用，彰顯了圖像變換是有序的、可優化的特征。教師可以利用例題形式（例2）通過圖像變換得到函數y=Asin（ωt+φ）的圖像，再回到實際問題（簡諧運動）的物理意義（振幅變換、平移變換及周期變換），讓學生再次體會3個參量對函數圖像的影響。

例2.下圖是某簡諧運動的圖像，試根據圖像回答下列問題：

（1）這個簡諧運動的振幅、周期與頻率各是多少？

（2）從O點算起，到曲線上的哪一點，表示完成了一次往復運動？如果從A點算起呢？

（3）寫出這個簡諧運動的函數表達式。

（作者單位：華中師大一附中）