對一道調考題的探究

文︳陳 峰

對一道調考題的探究

文︳陳 峰

長沙市2017屆高三1月調考理科卷第20題，是一道圓錐曲線綜合題。該題表述簡單大氣，以圓與切線為引，圓化橢圓，其中涉及橢圓第一定義、第二定義，內涵頗豐，視角頗廣。這是一道以能力立意，能有效區分學生水平，提升學生數學素養的好題。

一、多角度賞析試題

如圖，P是直線x=4上一動點，以P為圓心的圓Γ經定點B（1,0），直線l是圓Γ在點B處的切線，過A（-1,0）作圓Γ的兩條切線分別與l交于E、F兩點。

（1）求證：|EA|+|EB|為定值；

（2）設直線l交直線x=4于點Q，證明：|EB|· |FQ|=|FB|·|EQ|。

視角一：解析幾何通法。

解法1：（1）設AE切圓Γ于C，故EC=EB。從而|EA|+|EB|=|AC|=所以|EA|+|EB|為定值4。

（2）由（1）同理可知|FA|+|FB|=4，故E、F均在橢圓上，設直線EF的方程為x=my+1（m≠0）。

設E（x1，y1）、F（x2，y2），則有，。因為E、B、F、Q在同一條直線上，所以|EB|·|FQ|=|FB|·|EQ|等價于（yB-y1）（yQ-y2）=（y2-yB）（yQ-y1），即-y1·等價于2y1y2=（y1+y2）·，代入y1+y2=-，y1y2=知上式成立，所以|EB|·|FQ|=|FB|·|EQ|。

賞析：上述解法其實是最本真、最自然的解法，也是較多學生采用的一種解法。通過聯立直線方程，利用韋達定理，并結合相似三角形的知識，達到證明目的。這道看似普通的解析幾何題蘊含著一個非常重要的幾何性質。出題人構思巧妙，用圓與切線包裝橢圓，結構優美，是一道值得深究的好題。

視角二：運用直線參數方程參數t的幾何意義求解。

解法2：（2）由（1）同理可知|FA|+|FB|=4，故E、 F均在橢圓上。

因為E、B、F、Q在同一條直線上，所以|EB|·|FQ|= |FB|·|EQ|等價于|t1|（|t3|-|t2|）=|t2|（|t3|+|t1|），等價于2|t1t2|=|t3|（|t1|-|t2|），即2|t1t2|=|t3||t1+t2|，代入t1+t2=，顯然成立。所以|EB|·|FQ|=|FB|·|EQ|。

賞析：將參數方程與橢圓方程聯立，由t的幾何意義，直接利用韋達定理即可證明。此法是從結論立意，從要證明的命題中發現所有線段都為直線EF上的線段，而直線方程中兩點之間的距離又可用含參數t的式子表達。所以，我們要善用所學的知識將問題簡化。

視角三：圓化橢圓。

解法3：（2）設圓心坐標為（4，p)，若要證|EB|·|FQ|=|FB|·|EQ|，由（1）知|EC|=|EB|，|FB|= |FD|，故只需證|EC|·|FQ|=

由切點弦方程易知，過圓外一點A所得切點弦CD所在的直線方程為：（x-4）（-1-4）+（y-p）（0-p）=9+p2，即5x+py-11=0。

設直線CD交x=4于點G，易得yG=。

設EF的直線方程lEF：y=kEF（x-1）。因為直線EF切圓Γ于點B，且，所以由kPB·kEF=-1可得。故（x-1）。令x=4，得所以G、Q兩點重合。

由（1）知，AC=AD，所以∠ADC=∠ACD，不妨作EI∥AD交CQ于點I。那么，∠EIC=∠ADC=∠ACD，所以|EI|=|EC|。

在△QFD與△QEI中，∠FQD=∠EQC，∠FDQ=∠CEQ，所以△QFD△QEI，則有，命題得證。

賞析：本解法注意到了第（1）問的鋪墊作用，是以聯系的視角看問題，利用圓的知識解決橢圓問題。利用切點弦的知識，找到切點弦所在直線方程，從而得到三點共線這一關鍵，最后利用相似三角形比例關系使命題得證。這種解法避開了聯立方程的復雜計算，純粹以圓的知識立意，圓化橢圓，不僅使解答簡單明了，也充分利用了圓與橢圓之間內在的聯系。

視角四：追本溯源。

解法4：（2）解：過點F作FF'⊥PQ于F',過點E作EE'⊥PQ于E'。因為x=4是橢圓=1的準線，從而由橢圓的第二定義可知，FF'=又易知△QFF'△QEE'，。所以|EB|·|FQ|= |FB|·|EQ|。

賞析：不難發現該試題中的定直線x=4恰好是橢圓的右準線，而要證明的等式|EB|·|FQ|= |FB|·|EQ|中，|EB|、|FB|實際上就是橢圓的焦半徑。因此可從橢圓的第二定義立意，再利用相似三角形找對應的比例關系。這種解法較解法1、2、3而言要簡便，是因為該解法從所要證明結論的本源出發，從命題背景展開思路，利用橢圓第二定義找到出路。

二、問題的本源探究

問題需要弄清楚其本質，我們就需要引導學生去掉問題的背景材料，引導學生揭示被千變萬化的表象所掩蓋的數學本質，還數學以本來面目。所以，對于有一定數學背景的題，追本溯源往往會有意想不到的收獲。另外，本試題的美妙之處不僅在于深刻地揭示了圓錐曲線的焦半徑與準線的內在聯系，而且具有推廣與引申的價值。

三、試題的延伸探究

由于第二定義作為圓錐曲線的統一定義，那么上述結論是否能引申至雙曲線與拋物線中呢？

結論3.過拋物線y2=2px（x＞0）焦點F作直線l交橢圓于A、B兩點，交其準線于點Q，則|AF|·|BQ|= |BF|·|AQ|。

根據拋物線的定義知AA'=AF，BB'=BF。又由于△QAA'△QBB'，所以故|AF|·|BQ|=|BF|·|AQ|。

圓錐曲線是高考考查的重難點和熱點。從教學角度來說，我們應在研究教材和考試大綱的基礎上，重視對命題規律的研究，通過多題共析歸納解題規律，運用知識間的聯系挖掘試題背景，從而形成解答圓錐曲線綜合題的通性、通法。

（作者單位：長沙市長郡中學）