數學史在中學數學教學中的作用

楊靜梅

摘要：

數學課程要介紹數學發展的歷史、應用趨勢，以幫助學生了解數學在人類文明發展過程中的作用，逐步形成正確的數學觀.要達到這個目標，在中學數學中僅僅作“介紹”是不夠的，而應連同其背后隱藏的思想方法、對學生人格的啟發作用等等，都要“滲透”在數學課程和教學過程中，數學史上有許多“火熱”的思考，正是經過這些思考，將數學打造成一門邏輯性極強，高度抽象的學科，正是這些思考將數學本質完完整整的呈現出來.教師將這些內容介紹給學生，將在概念的引入、學生思維的建構方面起到意想不到的作用。

關鍵詞：數學史；思想方法；人格培養

要上好一堂數學課就需要有一個好的導入，好的導入能激發學生的學習興趣，使數學課生動有活力，數學史就是一個很好的導入。其實，一些數學的發展往往都是伴隨著實際需要應運而生的，數學史正好是這一歷程的見證者，它反映了數學家們致力于研究數學應用的思維過程和方式，學生了解數學史無疑對數學的應用意識會有更大的體會.在中學數學教學中滲透數學史對激發學生的學習興趣，提高數學教學效果，培養學生的愛國情操和弘揚民族精神起著很大的作用。

1 問題提出

傳統的數學教學中教師在課堂上講授的知識偏重于演繹論證的訓練，忽視了知識的發現過程.教科書上講的往往是成熟的、完美的知識，而不講授獲得真理的艱苦歷程，學生認識不到數學發展的曲折性，更不能了解知識的發生與發展過程，學生易產生誤解：以為數學家獲得知識很輕松，因此聯系新課程改革將數學史與數學教學融合已成為一種趨勢。

2數學史的作用

2.1數學史有利于學生學習新知識

數學中不少概念是抽象的，難以理解的.因此，在數學概念的教學中，直接引用那些能體現知識系統的產生、發展重要階段的數學史資料，通過這些生動的歷史資料，使學生能更好的掌握概念，從而培養正確的思維方式。

學生常常只記住了數學知識的形式和符號，對數學知識的本質卻知之甚少。對此多數教師都會有一種心有余而力不足的感覺，要改變這種狀況就應該考慮把數學史融入中學課堂教學，幫助學生深刻理解學到的數學知識。美國數學家克萊茵指出： 歷史上的大數學家遇到的困難，恰好是學生在學習數學的過程中經歷的障礙。另外，學生克服這些困難的方式與數學家用過的方式是大致相同的，按照克萊茵的觀點，學生學習數學的過程與數學知識產生和發展的過程有許多相似之處，數學的歷史能夠為數學教學提供有益的幫助，使學生透徹地理解相關知識。

例1.在學習球體面積的時候，教師可以引入阿基米德發明的球面積和體積的平衡法，求出面積或體積后，再用窮竭法加以證明。平衡法與窮竭法的結合是嚴格證明與創造技巧相結合的典范.阿基米德用平衡法推導了球的體積公式，平衡法實際上體現了近代積分法的基本思想，是阿基米德數學研究的最大功績，但是，平衡法本身必須以極限論為基礎，阿基米德意識到了他的方法在嚴密性上的不足，所以他用平衡法求出一個面積或體積后，必再用窮竭法加以嚴格證明[1]。

阿基米德阿基米德發明的求面積和體積的平衡法，求出面積或體積后，再用窮竭法加以證明，體現了數學的嚴謹性，教師借助不同的方法解決問題從而加深學生對數學概念、本質的理解與掌握。

例2.對于解一元一次方程，我國和西方的數學家曾給出相似的解法，在公元4世紀巴克沙里的手稿中，曾有這樣的記錄： 甲乙丙丁四人各持金，乙為甲的2倍，丙為乙的3倍，丁為乙的4倍，并知4人持金的總數為132盧比，問甲持金多少？ 那時的數學家先假設甲為一個相對簡單的數，如1盧比，則4人共持金33盧比，與132 比較后得知是4 倍的關系，所以甲持金為盧比。這種方法后來在歐洲被稱為試位法.同時不難看出，方程的發展源于人們生活的實際需要，但是這種解決方法，因為其過程中只采用了一次假設，即單假設法，所以能夠適用的范圍較狹窄。與單假設法不同的是，我國的“盈不足術”應用更廣泛，盈不足術也叫契丹算法萬能算法及雙假設法[2]。

《九章算術》第七章即為盈不足，李籍音義說： 盈者滿也不足者，虛也，滿虛相推，以求其適，故曰盈不足。通過兩次假設，來求繁難問題的解的方法。

可見盈不足術這種雙假沒法比起前述的單假設法具有一般性和普遍性。教師借助各種不同的解決方法來解問題，其主要作用在于幫助學生沖破思維上的局限。對學生而言，可以幫助他們在柳暗花明中尋找又一村，從而提高他們的數學思維能力。

2.2數學史有利于提高教學質量

在中學數學教學中，適當向學生介紹數學家的感人事跡，以及數學家對真理不懈追求的精神和實事求是的科學態度，可以引起學生的學習興趣，從而提高教學質量。

（1）函數概念建構的教學

現在公認的函數概念的定義是由德國數學家萊布尼茲給出的。這可能是他第一個引入“函數”一詞有關。1673年，他在一篇手稿里首先引入“函數（拉丁文functio）”，并用它來表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長度、垂線的長度等等，即所有與曲線上點有關的量，也就是說，萊布尼茲把把函數看作是一個幾何量；是隨著曲線上點的變動而變動的量。由此可見，函數概念引入初期，人們對它的認識還是相當膚淺的。為了適應和推動數學的發展，人們對它進行了一次又一次的擴展，使函數概念逐漸完整起來。

（1）可以畫出函數圖象，（2）根本就畫不出圖象，是不是函數呢？就從當時學生的認識水平來看，就可能得出不是函數的結論。但這兩個函數在數學史上是“有名”的函數。（1）參與了“真函數”與“假函數”的討論：當時人們將只有一個解析式的函數稱為“真函數”，反之則稱為“假函數”，其實已經看到“假函數”也是函數的一種，只是從當時的函數定義來看，還不是“函數”。很快地隨著函數定義的擴充，這一類“假函數”也成為函數中的一員，沒有人再對他們的“身份”產生懷疑了。（2）將“對應”引入了函數的定義中，它根本就畫不出函數圖象，只能從對應的角度考慮，形成了現在高中的函數的概念。

（2）對數運算法則的教學

問題情境是概念，規律賴以產生的現實背景。數學概念、規律是前人知識經驗的概括總結，往往具有一定的抽象性。因此講授概念、規律之前，若能呈現相關的背景材料。促使學生主動地自由地去想象、思考、探索，了解知識的形成過程，使數學概念、規律自然產生出來，那么我們守到得效果不僅僅是知識的本身了。下面就也對數運算法則教學談談自己的感想。

例4.問題提出：觀察下例兩例數，你能從中得出什么規律？

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10……

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024……

學生1：上一行數是自然數列，下一行數中每一個數是前一個數的兩倍，或者說每一個是，其中n取自對應上的一行數。

教師提示：當我們計算512×1024時或計算后面更大的數時，數字顯得比較大，如何使我們的表示顯得更簡潔一點，減輕我們的思想負擔？

教師分析：由以上運算法則，如我們知道logam，logan的值，那么我們就可以計算mn的值了。事實上在上面的兩列數

中，log2512=9，log21024=10所以我們可以通過9與10想加來計算512與1024的乘積。而這恰是對數的一大作用，引入對數的意圖是將乘除運算歸結為簡單的加減運算，所以著名數學家拉普拉斯贊譽說：“對數的發明以其節省勞力而延長了天文學家的壽命”。

2.3數學史有利于提高學生學習興趣

課堂教學中，適當加入數學史常識，有助于拓寬學生的知識面，改變學生認為“數學很枯燥”的偏見，使學生認識到解題方法并不唯一。

（1）數學史在等差、等比數列學習中的應用

數學的歷史也是數學思想方法的發展史，引導學生重復古人在解決問題時的數學思想方法，從而了解數學家的創新精神，形成正確的數學觀。法國著名數學家龐家萊認為：“教育工作者上課任務就是要讓孩子的思維經歷祖先之經歷，迅速通過一些階段而不跳過任何階段。”荷蘭數學家和數學教育家福來登塔爾稱；“年輕的學習者重沓人類學習的過程，盡管方式改變。”他把過于注重邏輯嚴密性，沒有絲毫歷史感的教材比喻成“把火熱的發明變成冰冷的美麗” [5]。

例5.等差、等比數列的求和方法

等差數列和等比數列是數學中最古老的問題之一，他們的歷史至少可以追溯到三四千年的古埃及（早在約公元前1700年成書的“紙草算書”中就已經有記載了）。在學習等比數列的前n項和公式時，我們可以對課本中提出的用“錯位相減”法求和進一步思索：為什么要在和式：Sn=a＼-1+a＼-1q+a＼-1q＼+2+…a＼-1q＼+n-1的兩邊同時乘以公比q？是否還可以由等比數列及其和的定義、通項公式得出其它求和方法（或更簡單的方法）呢？其實歐幾里得在《幾何原本》中早就給出了等比數列的求和公式，其證明過程如下：

在傳統教學中，教師考慮的效率問題、應考的問題往往就采用“總結規律”的方法，這提高了學生的應試能力，但數學教學中最精彩的部分——波利亞所謂的“怎樣解題”，并沒有教授給學生，學生僅成為一個真正意義上的“解題機器”在數學史引入課堂教學后，學生不但對等比數列的前n項和公式及其推導過程，求和的思想方法等有深刻的了解，掌握得牢固靈活而且在這一學習過程中，提高和發展了學生的數學思維能力，體會到了解題的樂趣[4].

（2）數學史在二項式定理學習中的應用

作為二項式展開式的系數表，教材中出現了“楊輝三角”。教師講二項式定理時，不妨讓學生多了解一些關于它的知識，世界上最早發現并應用這一“三角”的人，并不是楊輝，而是我國北宋時期的著名數學家賈憲，此圖原名為“開方作法本源”。運用此圖即可求得任意高次展開式系數，又可進行任意高次冪的開方，它還是研究任意高次方程數值解法的基礎。在歐洲人們稱他為“帕斯卡三角”。雖然帕斯卡在距賈憲幾百年以后才發現了它，但他對它進行了更進一步的研究，建立了正整數次冪的二項式定理：

（a+b）n=C0n+C1nan-1b+C2nan-2b2+…+Cn-1nabn-1+Cnnbn

帕斯卡還把這一“三角”用于高階等差數列求和，并成功地應用它解決了賭博過程中的賭金分配的難題—點數問題，以此成為概率的創始人之一[5]。

3 結論

數學史教育在促進學生智力、能力和學習興趣、培養良好道德品質的過程中所起的作用不應忽視，在數學教學中挖掘教材中的數學史教育資源是教材培養功能和教育功能的具體體現，在數學教育中運用好、發揮好數學史教育在教學中的作用，可以使教學內容生動、具有感染力，充分調動學生的學習積極性，讓學生真正成為學習的主人，對提高教學質量有著事半功倍的作用。 中學數學教學中，很多問題的解決需要借助數學史知識。數學史可以告訴我們概念、定理、公式的由來、產生的背景。中學生大都向往發明、創造，喜歡追根溯源，教學中要善于運用數學史知識去激發學生的學習興趣，吸引學生的注意力，給枯燥的符號數學融入生動感人的故事，使之引人入勝，催人奮進。

[參考文獻]

[1]王謐.數學史與中學數學結合的幾個教學設計[J].數學教學，2003，（6）： 9-16.

[2]梁世日.淺談數學史在中學教學中的應用[J].中國體衛藝教育，2000，19（2）：36-43.

[3]雷世清.中學數學教學中融入數學史教育的點滴體會與思考[J].華東師范大學（華東師范大學學報），2013，12（5）：21-28.

[4]王文元.數學史在中學數學教育中的作用初探[J].江蘇省奔牛中學（數學教學通宵），2004，62（200）：117-120.

[5]汪曉勤.中學數學中的數學史[M].北京：科學出版社，2002：54-62.

（作者單位： 曲靖師范學院數學與信息科學學院，云南 曲靖 655011）