特殊化方法在數(shù)學教學中應用

王微

【摘要】事物的發(fā)展，總是由簡單到復雜，由特殊到一般，由具體到抽象，人們對事物的認識亦是如此。一般性寓于特殊性之中，特殊問題又往往比一般性的問題簡單易解，因此我們面對一個抽象或復雜的數(shù)學問題，不妨先考慮其特例。由于在特殊情況下，矛盾比較集中，?？赏怀鰡栴}的關鍵，便于揭示問題的本質(zhì)，而且從特殊的簡單問題探求出的解法，對解一般情況問題往往有所啟發(fā)，甚至可以略加推廣修改而“照搬”過去。這就是說，特殊問題的解決往往孕育著一般問題的解法，即共性孕育在個性之中，這就是特殊化法的理論根據(jù)。

【關鍵詞】特殊化 數(shù)學方法 數(shù)學問題

一、 特殊化的基本思想

特殊化策略即視原問題為一般，構造其特殊問題，通過對特殊問題的解決而獲得原問題的解決。特殊化作為劃歸策略，基本思想是很簡單的，相對于“一般”而言，“特殊”問題往往顯得簡單、直觀、和具體，容易解決，并且在特殊問題的解決過程中，常常孕育著一般問題的解決。因此，人們在對某個一般性的數(shù)學問題解決有困難時，常常會想到先解決它的特殊情況，然后再把解決特殊情況的方法或結(jié)果應用或推廣到一般問題之上，而獲得一般性問題的解決。 從形式上看，將一般性問題特殊化是不困難的，但某個一般性問題經(jīng)過不同的特殊化處理會得到多個不同的特殊化命題。顯然，較為理想化的特殊問題是其自身容易解決，且從其解決過程中又易發(fā)現(xiàn)或得到一般性問題的解法。

二、 特殊化數(shù)學思想的內(nèi)涵

凡數(shù)學問題均由題設和結(jié)論兩部分組成。對于選擇題，題設即是題干，結(jié)論即為選擇支。用集合的觀點

說： 題設和結(jié)論都由數(shù)學問題所涉及的對象構成的集合及其元素間的關系構成。特殊化思想是將數(shù)學習題的題設元素特殊化，然后根據(jù)特殊化元素尋求問題的結(jié)論，或?qū)⒔Y(jié)論中元素特殊化，然后根據(jù)特殊化元素驗證問題的結(jié)論的數(shù)學思想。對于數(shù)學選擇題，用特殊化的思想解決問題的過程是從題干或選擇支出發(fā)，通過選取特殊元素，依據(jù)問題在一般情況下真則在特殊情況下亦真，反之，在特殊情況下不真則在一般情況下亦不真的原理，肯定某一選擇支或否定其余選擇支的過程。

特殊化是將所學的數(shù)學事實“退”到屬于它的特殊狀態(tài)（數(shù)量或位置關系）下進行探索和研究，從而達到解決問題目的的一種思維方法。用它來解選擇題、填空題，有時顯得方便、快捷；用它來分析一個復雜問題，則對思路的形成往往具有很強的啟發(fā)性。

三、特殊化方法在數(shù)學教學中的具體運用

特殊化策略是一種“退”的策略，所謂“退”，可以從復雜退到簡單，從一般退到特殊，從抽象退到具體，從空間退到平面，正如華羅庚先生所說，退到最原始而不失去重要性的地方，把簡單的、特殊的問題搞清楚了，并從這些簡單的問題的解決中，或者獲得解題思路，或者提示解題方向，或者發(fā)現(xiàn)一般問題的結(jié)論，或者得到化歸為簡單問題的途徑，從而再“進”到一般性問題上來。

“共性存在于個性之中” 。對于在一般情況下難以解決的問題（尤其是選擇題、填空題這些不需要解題過程且答案唯一的題目），可應用“特殊化思想”。通過取特殊值、特殊圖形等，使問題得到簡便巧妙的解決。

（一）利用特殊化方法培養(yǎng)學生思維的周密性

思維的周密性是指，在分析問題解決問題的過程中，周到而細密地考慮到問題的各種可能情況的一種思維品質(zhì)。其反面表現(xiàn)為思維不嚴謹、有漏洞，是學生最常見的一種思維缺陷。在教學中，教者若能恰當利用特殊化方法（如特殊值、特例、特殊情形等），揭示學生的問題所在，可使學生有頓悟之感，從而達到培養(yǎng)學生思維的周密性的目的。

在許多數(shù)學問題中，由于抽象、概括程度較高，直接發(fā)現(xiàn)或改正這些性質(zhì)往往感到困難，這時，可以先試探它的特殊、局部情況的特性，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律和解答的方法，例如，對變量總是我們從特殊最佳入手探索，對多變量的問題，可先考慮單個或少數(shù)變量的情況；對含參量的問題，可先給參量賦值，探討不含參量的普通問題；對一般的圖形問題，可先考慮特殊圖形或圖形特殊位置的問題等等。這樣先把問題簡化，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，再去解決一般性的問題。

（二）利用特殊化方法，培養(yǎng)學生思維的批判性

學生思維能力的提高，需要一個循序漸進的過程。在這個過程中，學生對自己解答的正確性，對所提供解答（書上的或他人的）的合理性，缺乏一定的判斷能力，這時若能抓住問題中的特殊情況加以考慮，使學生認識到解答中的錯誤或不合理，提高學生辨別是非的能力，這正是養(yǎng)學生思維批判性的有效途徑。

（三）利用特殊化方法培養(yǎng)學生思維的廣闊性

思維的廣闊性。就是善于從不同角度、不同方面去思考問題，尋求變異，尋求解答的一種思維品質(zhì)。利用特殊化方法尋求一題多解、一題多變，對培養(yǎng)學生思維的廣闊性無疑是十分有益的。

所謂特殊化是從對象的一個約定集合，轉(zhuǎn)而考慮含于這個集合內(nèi)的較小集合的思維方法，是數(shù)學思維中重要的實驗手段，為發(fā)現(xiàn)一般性問題的解法結(jié)論乃至提示新信息等方面起重要作用，因而在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中有廣泛的應用。歷來都受數(shù)學家們的重視。華羅庚教授說：“這是一般的研究方法，先足夠地退到我們?nèi)菀卓辞鍐栴}的地方去，看透了，鉆深了，然后再上去。”

當我們遇到抽象程度高的，一時難以想象的問題時，就應對其某些特殊情況進行考察，以打開我們的思路，拓寬視野，這有助于我們從特殊性認識普遍性，進而發(fā)現(xiàn)解決問題的方法，推進問題的解決。由于它是一種試探手段，因此，在解決特殊化問題時，眼光應一直注視于一般有用的東西上。

（四）利用特殊化方法培養(yǎng)學生思維的敏銳性

思維的敏銳性，就是指在分析問題解決問題的過程中，探求研究問題的實質(zhì)以及問題之間內(nèi)在聯(lián)系的一種思維品質(zhì)。在許多數(shù)學問題中，抓住問題的本質(zhì)，利用特殊化方法探路，往往有助于我們打開思路。

特殊性化伯為休歸策略，基本思想是委簡單的：相對于“一般”而言，“特殊”問題往往顯得簡單、直觀和具體，容易解決。并且在特殊問題的解決過程中，常常蘊藏著一般問題的解決。因此，人們在對某個一般性的數(shù)學問題解決有困難時，常常會想到先解決它的特殊情況，然后再把解決特殊情況的方法或結(jié)果應用或推廣到一般問題之上，而獲得一般問題的解決。

數(shù)學中的特殊化具有明確的目的性。首先是給抽象命題以內(nèi)容和意義，以便更好地了解所面臨的問題、發(fā)現(xiàn)可能的解題途徑其次則是借以發(fā)現(xiàn)一般性的結(jié)論何以是真的，或何以是假的。所以，在特殊化時，不應對任意的特例去進行考察，而應注意到我們較為熟悉的、較有把握的對象.常由隨意的特殊化去了解問題，由系統(tǒng)的特殊化為一般提供基礎，由巧妙的特殊化去對一般性的結(jié)論進行檢驗。