利用高斯定理求空心球體引力場

余澤西

(北京市昌平新東方外國語學校 北京 102206)

利用高斯定理求空心球體引力場

余澤西

(北京市昌平新東方外國語學校 北京 102206)

針對現階段AP物理教學中引力有關定律推導問題，采取與以往建立微分式不同的方法，即利用高斯定律來求解空心引力場值：地球諧振子模型和空心球殼，為廣大教師提供一個新的授課思路．

AP教學 引力場 空心球體 高斯定律

1 引言

現階段物理教學中，對于空心球體內部引力場值問題，教師一般采用建立微分方程的方法，然而這種方法雖建立簡單，但是求解困難，因為涉及兩個變量θ和R使得學生難以求解[1]．如果我們可以利用引力場是保守力場這一事實將其與電磁場做類比，從而使學生可以方便地求解球形引力場的場強．在AP力學[2]的教學中，引力場求解部分主要集中在牛頓的經典力學，也就是說，引力與質量是成線性關系的．而對于本文所討論電磁學中，我們使用簡化版描述靜電場的麥克斯韋方程[3]．這是由于AP課程主要是針對于未參加大學學習即將進入美國大學的學生，他們微積分知識較為薄弱，所以在美方標準課標中，去除了難以令學生理解的散度概念和復雜的算符表達．

2 二者的相似性

3 求地球引力系數

在AP物理學中，簡化靜電場公式為

這里E是電場強度，Q是電荷量．

通常的我們稱ε0為靜電系數，但并不知道在引力場的高斯定理中質量與G的關系，也就是說“引力系數”．但在確定二者的相似性后，我們可以通過聯立庫侖定律和萬有引力公式來求解引力場中的高斯定理的質量系數．

∮g·dA=4πGM

(1)

圖1 求地球引力系數附圖

證：

(1)地球的物質分布均勻，即密度處處相等

(2)地球是完美實心球體

(3)?是引力場強系數，g是引力場強，地球半徑為r，質量為M，高斯面半徑為R，在R處，則有

∮g·dA=4πGM

(2)

由于是完美球體，力場強度在R上處處相等

g·∮dA=4πGM

球表面積為

S=4πR2

(3)

將式(3)代入式(2)有

(4)

高斯引力和萬有引力公式結論一致，證畢．

在考題中學生一般會遇到高斯面內質量隨高斯面的大小改變而改變的情況，那么此時如果簡化高斯定理中的變量是質量密度，就會顯得更有效．而且在AP物理中，問題中的質量源一般是均勻的(密度在 球體內處處相等)，所以

∮g·dA=4πGM=4πGρV

(5)

這里，V是體積．

4 該方法在習題中的應用

現在針對真實出現的考題，做舉例說明．

4.1 求中空隧道的引力場值(地球諧振子模型)

圖2 地球諧振子模型

已知：

(1)地球質量分布均勻；

(2)中間隧道十分微小；

(3)地球質量為M，密度為ρ；高斯面半徑為r.

求：在r

解：如圖2所示，利用球形對稱，我們利用式(5)建立式子

∮g·dA=4πGρV

∮dA=4πr2

約分整理得

(6)

式(6)結果表明，引力場強度和半徑成線性關系(Linear relationship)可以發現除了r是變量之外，其他符號表示的量均為常量．由此我們可以得到空心隧道引力場強度變化是隨著半徑成線性變化的結論．

4.2 求空心球殼的引力場值

利用高斯定理，原本復雜的空心球體計算也大大簡化，如圖3所示.

圖3 空心球殼

由于在高斯面內沒有質量分布,其質量M為零，式(5)可列為

∮g·dA=4πG·0

解得

g=0

由于中心無源，本題目的難度大大簡化，物體在空心球殼內部的引力為零.

5 總結

綜上所述，可以得到以下幾個結論：

(1)引力系數為?=G·4πρ=4πGM；

(2)隧道模型引力場強度隨半徑成線性遞增；

(3)空心球體內部引力場值處處相等.

可以發現, 由于球形對稱的結構, 引力場用高斯面可以非常方便的被求解． 且相比于牛頓的質點方法，這種對于力場的直觀呈現可以使學生更好的抓住要點，和形成明確的物理直覺．而且由于AP物理考題中，物理題大多都為本文所提及球形對稱，所以該方法可以讓學生更快的得到結果．

1 陳小紅 羅琬華. 西南大學物理科學與技術學院.物理通報，2014(05):116～117

2 Parker W,Mosborg S,Bransford J,et al. Rethinking Advanced High School Coursework:Tackling the Depth/Breadth Tension in the AP "US Government and Politics" Course.Curriculum Studies,2011, 43(4):1～27.

3 S. Nesseris and L.Perivolaropoulos. Department of Physics,University of Ioannina,Greece.Physical Review D Particles & Fields,2006,73(10):3 511

4 Exner P.Analysis on graphs and its applications:Issac Newton Institure for Mathematical Sciences,Cambridge,UK,January 8-June 29, 2007.American Mathematical Society,2008

5 Gravity G L F.Gauss′ Law for Gravity.Alphascript Publishing,2010

6 Ragains P.Cracking the AP Physics 2 Exam,2016 Edition.Public Finance Review,2015,22(3):366～382

Gauss′sLawtoProveHollowSphere′sGravitationalField

YuZexi

(BeijingchangingNewOrientalFLS，Beijing102206)

considering the current AP teaching problem about gravitational field conduction, I used Gauss′s Law to prove two models, harmonic oscillator earth and hollow sphere, instead of conventional differential equation. This method, I hope, can provide teachers a new way to prove for students.

AP teaching;gravitational field;hollow sphere;Gauss′s Law

2016-08-23)