帶電粒子在洛倫茲力和重力作用下的運動軌跡

姚東亮

(烏魯木齊八一中學 新疆 烏魯木齊 830002)

帶電粒子在洛倫茲力和重力作用下的運動軌跡

姚東亮

(烏魯木齊八一中學 新疆 烏魯木齊 830002)

用數學方法證明了一種物體在復雜作用力下的運動軌跡.

軌跡 微分方程組 擺錢

在高中物理教學當中,我們常會遇到這樣一類問題:如圖1所示，一個質量為m,帶電荷量為+q的物體處在垂直紙面向內的勻強磁場B中的光滑絕緣斜面上,物體從靜止出發,則物體在斜面上最大速度是多少?

圖1 題圖

這個問題的本質就是帶電物體在洛倫茲力及恒力作用下的運動軌跡問題.為使問題簡化,我們去掉斜面,直接讓物體從磁場中由靜止下落,某時刻t物體受力情況,運動情況及建立坐標系如圖2所示,物體從原點出發,設此時刻洛倫茲力與豎直方向夾角為θ,則在豎直、水平方向上分別有

即

圖2 帶電物體受力分析

而速度與加速度分別是位移對時間的一階導數和二階導數,因此有

對此微分方程組兩邊再對時間求一次導有

這一組微分方程的解即為物體軌跡關于時間的參數方程，(5)、(6)兩式的齊次方程的特征方程為

λ3+k2λ=0

λ1=0

λ2=ki

λ3=-ki

所以基礎解系組為sinkt,coskt,又λ1=0,所以設式(5)的特解形式為

x=C4xt

代入式(5)有

C4xk2=kg

則有

為式(5)、(6)的通解.下面通過初始條件來確定常數項.

本問題的初始條件為，當t=0時，有

由x0=0，推得

C1x+C3x=0C1x=-C3x

-C2xk2sinkt-C3xk2coskt=0

C3x=-C1x=0

同理可求

C1y=-C3y

C2y=0

則

這是擺線的標準參數方程, 即帶電粒子軌跡為一條擺線，如圖3所示.

圖3 帶電粒子運動的軌跡圖像

所以當coskt=-1時有最大速度

TheTrajectoryofChargedParticlesundertheLorentzForceandtheGravity

Yao Dongliang

(Urumqibayihighschool，Urumqi，xinjiang830002)

This paper mathematically proved the object trajectory under complex force.

trajectory;simultaneous differential equations;cycloid

2016-08-31)