平行板電容器有關物理問題的理論推導

何崇榮

(武漢市黃陂區第一中學 湖北 武漢 430300)

張 黎

(武漢市黃陂區第三中學 湖北 武漢 430317)

平行板電容器有關物理問題的理論推導

何崇榮

(武漢市黃陂區第一中學 湖北 武漢 430300)

張 黎

(武漢市黃陂區第三中學 湖北 武漢 430317)

對可看做無限大的平行板電容器電荷的分布、電容的定量表達式以及插入金屬板或者電介質對電容的影響等規律做了嚴格的推導，旨在拓寬物理教師視野．

平行板電容器 推導 規律 電容

高中階段關于平行板電容器的規律基本上都是直接給出，比如電荷只分布在兩板內側、電容器電容的決定式、以及插入金屬板或者電介質對電容的影響，作為教師應該要掌握這些規律的由來．

1 無限大均勻帶電平面激發的電場強度

電荷均勻分布于一個無限大平面上，其面密度為σ，其激發的靜電場強怎么計算？

1.1 利用均勻帶電圓盤模型推導

將無限大平面看做是無限大圓盤．如圖1所示.

圖1 無限大圓盤模型

以盤心O為圓心作半徑各為r及r+dr的圓，在作兩條夾角為dφ的半徑，便截出一個很小的“半扇形”，因dφ很小，可以認為這個半扇形為矩形，其長、寬各為dr及rdφ，其面積為

dS=rdφdr

其電荷量為

dq=σdS=σrdφdr

根據點電荷場強公式，它在軸上一點P貢獻的場強大小為

其中l為半扇形和P點的距離，根據對稱性，整個帶電圓盤在軸線上場強平行于軸線，因此只需對dE沿軸線的分量dEx作積分便可求得E，由圖可知

靜電力常量

對變量r和x作二重積分得

對于無限大帶電平面，即R→∞，則其激發的場強

即

式中en為帶電平面的法向單位矢量．

1.2 利用高斯定理推導

高斯定理：靜電場中任一閉合曲面的E通量等于該曲面內的電荷的代數和除以ε0．即

其中q內表示封閉曲面內自由電荷的電荷量．

如圖2所示，過P點作與帶電平面平行的小圓面S1，以S1為底作與帶電面垂直的柱體，其長度等于P點到帶電面距離的2倍．對于無限大均勻帶電平面，其電場強度E與帶電平面垂直．由對稱性可知，小平面S1與S2處場強大小相等，即E1=E2，統一記為E，圓柱底的面積記為S．包在封閉柱面內的電荷為q內=σS．

圖2 以S1為底與帶電面垂直的柱體為高斯面

對這個封閉的圓柱面，根據高斯定理得

規定向右為正方向，則

因側面的E側與側面平行，則

于是

解得

即

2 平行板電容器電荷的分布

平行板電容器電荷究竟怎么分布？高中階段討論的平行板電容器的電荷為什么總是分布在兩板內側？

如圖3所示，長寬相等的金屬平板A和B在真空中平行放置，板間間距比長寬小得多.

圖3 長寬相等的兩個金屬平板平行放置

分別令每板帶電qA和qB，由于板的長寬比距離大得多，可近似把板看成是無限大．其電荷面密度依次記為σ1，σ2，σ3，σ4．在A板內任取一點P1，設en是向右的單位法矢量，根據無限大均勻帶電平面激發場強公式得，4個無限大平面在P1的合場強為

靜電平衡時

E=0

故

σ1-σ2-σ3-σ4=0

(1)

再在B板內取一點P2，類似的有

σ1+σ2+σ3-σ4=0

(2)

qA=σ1S+σ2S

(3)

qB=σ3S+σ4S

(4)

聯立式(1)、(2)、(3)、(4)解得

發病率高、治愈率高。癥狀沒食欲，精神萎靡、體溫偏高或正常，拉稀便。不過這種類型雖然發病率高，占到總發病率80%左右，但可以全部治愈。

討論：

(1)對用電池給平行板電容器充電，有qA=

-qB．所以

σ1=σ4=0

這說明電荷只分布在兩板內壁．對于可看做無限大的平行板電容器，場外任一點場強為零，兩板中間任一點場強

即板間的電場為勻強電場，板外部空間無電場．

(2)若分別令兩板帶電，則可造成qA=qB，于是

σ2=-σ3=0.

這說明此時電荷將分布在兩板外壁．

(3)考慮一般性，令

|qA|≠|qB|

則

σ1=σ4≠0

σ2=-σ3≠0

即四壁都有電荷．

對于可看做無限大的平行板電容器電荷分布，高中階段，我們通常根據同號電荷相斥，異號電荷相吸來判斷和理解電荷的分布規律．兩板帶等量電荷，可以準確判斷，但兩板帶不等量電荷時，就無法判斷了．當然高中階段討論的電容器，兩板帶的都是等量異種電荷，所以電荷只分布在電容器兩板內側．

3 平行板電容器電容的決定式

3.1 插入電介質后的電容

有電介質的高斯定理

電位移

D=εE

真空中

D=ε0E

ε0和ε分別為真空和電介質中的介電常量．

推導插入電介質后的電容，設兩板電荷量Q一定，左板電荷面密度為σ，兩板間距為d，電介質的寬度為t，介電常量為ε，該介質的的相對介電常量

靜電力常量

如圖4所示，根據高斯定理，可知1和3區域電場強度相同，即

ε0E1S=ε0E3S=σS

圖4 插入電介質后的電容器

則

對含有電介質的高斯面

εE2-ε0E1=0

則

兩板電壓

U=E1(d-t)+E2t

所以此時電容器的電容

兩板之間為真空(或空氣)時，即t=0，則

兩板之間充滿電介質時，即t=d，則

結論：由插入電介質后電容公式

得出:

(1)插入電介質，相當于增大電介質的介電常量，電容增大．

(3)若兩板電壓一定時，插入電介質，電容增大，兩板所帶電荷量增大．1和3區域電場強度增大，介質中電場強度E2

3.2 插入金屬板后的電容

推導插入金屬板后的電容，還是假設兩板電荷量Q一定，根據高斯定理，可知1和3區域電場強度相同，即

ε0E1S=ε0E3S=σS

所以

2區域電場強度E2=0．則

U=E1(d-t)

所以插入金屬板后的電容

結論：

(1)插入金屬板，相當于兩板間距減小，電容器電容增大．

(2)若兩板電荷量一定時，插入金屬板，電容器電容增大，兩板電壓減小，1和3區域電場強度不變．

(3)若兩板電壓一定時，插入金屬板，電容器電容增大，電荷量增大，1和3區域電場強度增大．

4 小結

(1)對于可看做無限大平行板電容器電荷怎么分布，取決于兩板所帶的電荷量的大小關系．

若兩板帶等量異號電荷，則電荷只分布在兩板內側；若兩板帶等量同號電荷，則電荷只分布在兩板外側；若兩板所帶電荷量不等，則兩板四壁都有電荷，兩板外側帶等量同號電荷，兩板內側帶等量異號電荷．

(2)插入電介質，相當于增大介電常數，平行板電容器電容增大；插入金屬板，相當于兩板間距減小，平行板電容器電容增大．

1 梁燦彬，秦光戎，梁竹健.普通物理學教程(電磁學).北京.高等教育出版社，2004,12～13,19～20,53～54，104～105驗前先明確電流方向與指針偏轉的關系．一方面增加了實驗的復雜性．

2016-07-12)