均質桿繞固定點轉動問題探析

陳志軍

(安徽省績溪中學 安徽 宣城 245300)

均質桿繞固定點轉動問題探析

陳志軍

(安徽省績溪中學 安徽 宣城 245300)

均質桿繞固定點轉動問題，不是簡單的質點圓周運動問題，需要考慮桿的質量以及分布情況，對學生的分析、解決問題的能力要求比較高．靈活運用微元法、積分思想方法和平均值法解決均質桿繞固定點轉動問題，可以有效提高學生的思維能力和解決問題的能力，幫助學生形成物理學科核心素養．

均質桿 轉動 微元 積分

對于均質桿繞固定點轉動問題，由于要考慮桿的質量及其分布情況，再加上中學生在數學知識上的局限性，這類問題的解決對學生的能力提出了較高的要求，許多學生對此感到非常困惑、無從下手．微元法和積分思想方法是從部分到整體的科學思維方法，通過微元分析整體，將其分解為眾多微小的遵循相同規律的元過程，再對這些元過程進行必要的數學物理思想和方法處理．使用微元法和積分思想方法是分析和解決均質桿繞固定點轉動問題的基本方法，能達到鞏固知識、加深認識、有效提高學生的思維能力和解決問題能力的目標．本文分別從微元法、積分思想方法和平均值法的角度分析均質桿繞固定點轉動問題．

【例1】 如圖1所示，在水平地面上放一根長為l，質量為m的均質木棒，棒與地面間的動摩擦因數為μ，現用力使木棒繞其一端緩慢地在水平地面上轉過θ角，求該過程需要做多少功？

圖1 例1題圖

分析：均質木棒繞繞其一端(固定點)轉動，不是質點的圓周運動，棒上各部分位移不同，各部分所受摩擦力做的功也不同，可以采用分割木棒的微元法進行分析求解．

解法一：利用微元法[1]

將均質木棒分成n段，n→∞，每一段的質量

由于木棒緩慢轉動，可以認為木棒動能不變且趨向于零，轉動過程中，根據動能定理，外力所做的功等于整個木棒克服摩擦力所做的功，即等于n段木棒克服摩擦力所做功之和．因此外力所做功

解法二：利用積分思想方法

解法三：利用平均值法

通過前面微元分析可知，木棒繞一端固定點轉動，木棒上各點的位移(即轉過的弧長)與該點到木棒轉軸的距離成線性變化，木棒上各點轉動的位移的平均值可以等效為木棒中點轉過的位移，所以整個木棒克服摩擦力所做功的總功，即外力所做功

【例2】 如圖2所示，一根長為l、質量為m的均質木棒，在水平面內以角速度ω繞通過木棒一端的豎直軸勻速轉動，木棒所具有的轉動動能為多大？

圖2 例2題圖

分析：該問題與題1類似，木棒繞豎直軸O轉動時，棒上各部分轉動速度不一樣，各部分動能也不一樣，同樣需要采用分割木棒的微元法分析求解．

解法一：利用微元法[1]

整個木棒的動能為各小段木棒的動能之和，即

解法二：利用積分思想方法

通過前面微元分析可知，在木棒繞固定點O轉動時，木棒上各點的線速度隨離開轉軸O點的距離成線性變化，整個木棒的平均線速度可以等效為木棒中點的線速度，那么本題是不是也能用平均值法解答呢？學生很容易認為動能

毫無疑問，這是一個錯誤的結論，原因是雖然木棒上各點的線速度隨離開轉軸的距離成線性變化，但速度的平方并不是隨離開轉軸的距離成線性變化，因此不能利用平均值法求解動能．

【例3】 如圖3所示，勻強磁場的磁感應強度為B，一長度為l的導體棒繞固定端點O以角速度ω在垂直磁場的平面內勻速轉動，求該導體棒因轉動產生的感應電動勢．

圖3 例3題圖

分析：該導體棒雖然不一定是均質導體棒，但棒上每一點切割磁感線的線速度與題2很類似，該棒切割磁感線產生感應電動勢的求解仍可采用微元法和積分思想進行求解．

解法一：利用微元法

導體棒轉動過程中產生的總的感應電動勢等于n段導體切割產生的感應電動勢之和，即

解法二：利用積分思想方法

在導體棒上距離轉軸x處，取微元長度為dx，微元dx切割磁感線的速度為ωx，則整個導體棒切割磁感線產生的感應電動勢

解法三：利用平均值法

導體棒繞端點O勻速轉動時，棒上各點的速度隨離開木棒端點O的距離成線性變化，所以整個導體棒切割磁感線的平均線速度可等效為導體棒中點的線速度，因此，整個導體棒切割磁感線產生的感應電動勢

【例4】 如圖4所示，質量為M、長度為d的均勻細棒AC放在旋轉圓盤ED上，盤以恒定角速度ω旋轉．棒AC的軸和盤的半徑方向重合，棒的A端連著一根拴有重物的繩子，質量為m的重物正好懸在盤的旋轉軸O上，棒與盤的動摩擦因數為μ，計算棒的A端距轉軸O的最大和最小距離，此棒不再沿盤的半徑方向移動[2]．

圖4 例4題圖

分析：隨圓盤一起做勻速圓周運動的是均勻細棒，細棒的線速度從A到C逐漸增加，細棒上每質元做圓周運動的半徑都不同，需要采用分割細棒的微元法分析求解．

解法一：利用微元法

解得

如果上式結果r<0，則r的最小值取零，即細棒左端與中心O點重合，故

當M有向外做離心運動的趨勢時，細棒所受的靜摩擦力方向沿半徑方向向內，為保證細棒不滑動，臨界情況是靜摩擦力達到最大時，細棒的旋轉半徑達到最大，即此時r取最大值，最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力μMg，根據牛頓運動定律得到

解得

故r的最大值

解法二：利用積分思想方法

解得

如果上式結果r<0，則r的最小值取零，即細棒左端與中心O點重合，故

當M有向外做離心運動的趨勢時，細棒所受的靜摩擦力方向沿半徑方向向內，靜摩擦力達到最大時，細棒的旋轉半徑最大，即此時r取最大值，根據牛頓運動定律得到

解得

故r的最大值

其中

解法三：利用平均值法

由此可解得

如果r<0，則r的最小值取零.

當M有向外做離心運動的趨勢時，根據牛頓運動定律得到

由此可解得

其中

均質桿繞固定點轉動問題，必須考慮桿的質量及其分布情況，利用微元法、積分思想方法和平均值法，可以有效分析和解決此類問題，加深學生對科學思維方法的認識和運用，豐富處理物理問題的手段，鍛煉學生的思維、推理和運算等能力，形成物理學科核心素養．

1 王溢然,許洪生.分割與積累(中學生物理思維方法叢書8).合肥:中國科學技術大學出版社,2015.8

2 程稼夫.中學奧林匹克競賽物理教程·力學篇(第2版).合肥:中國科學技術大學出版社,2015.11

2016-08-23)