多方過程的定義和特征

舒純軍+廖紅艷

【摘要】本文討論了多方過程的定義，以及與準靜態過程的關系；然后推導了理想氣體多方過程方程；最后分析了在T-S圖中，理想氣體四個等值過程和一般的多方過程曲線的特點。與多方過程的P-V圖相比，T-S圖更加直觀地反應了多方過程中能量的變化規律，同時根據P-V圖也很容易計算出熱機效率和制冷系數。

【關鍵詞】多方過程 準靜態過程 T-S圖 多方指數

一、引言

多方過程在很多領域中都有十分重要的應用價值。比如在氣象學、熱工學中的過程基本上都是多方過程。但是對多方過程的定義，不同教材[1，2]和文獻[3，4]里并不完全相同。在大多數物理學教材中的定義是：如果在某一過程中，系統的狀態參量 和 滿足：

常量 （1）

其中多方指數n為常數，此過程稱為多方過程。大多數教材都是在討論熱力學第一定律的應用（主要是應用于氣體，特別是理想氣體）時引出的多方過程，因而通常就把研究對象局限于氣態；其實，對于系統的其它聚集狀態，也同樣存在著多方過程。

有一些教材定義的多方過程為滿足（1）式，但將多方指數n局限于取1與 （絕熱指數，即定壓熱容量與定容熱容量之比）之間的數值，這樣準靜態的等壓過程和準靜態的等容過程都不是多方過程。另外一些教材，將“在過程中外界和系統之間有熱交換的過程”（甚至包括非靜態過程）都稱為多方過程。還有一些教材，將“系統的熱容量為常量的過程”稱為多方過程；事實上，等熱容量過程和多方過程是兩個不同的概念。

二、多方過程和準靜態過程

根據“ 常量”的定義，對于多方過程所經歷的任意一個中間狀態而言，其狀態參量P和V都有確定的值，是平衡態，因此多方過程必定是準靜態過程；但是準靜態過程中的狀態參量P和 V不一定都滿足關系式“ 常量”，因而準靜態過程不一定是多方過程。所以多方過程只是準靜態過程的特例。

但是無限小的準靜態過程又都是無限小的多方過程[5]。對于任意一個準靜態過程，都可以視為是許多個甚至無窮多個連貫的無限小的準靜態過程組成的；一個準靜態過程，即便不是多方過程，但也可以看成是許多個無限小的多方過程（其多方指數n是可以不相等的）組成的。所以準靜態過程又具有多方過程的某些屬性，可以利用多方過程的這些性質來研究討論這些準靜態過程的問題。

三、理想氣體多方過程的過程方程

對于多方過程，用狀態參量“ 常量”表示其過程方程，并用P-V狀態圖來描述是很常見的[1，5]；但是用狀態參量T，S，和T-S狀態圖來研究多方過程并不多見。下面以理想氣體為例，推導用狀態參量T，S來表示多方過程的過程方程。

假設系統為1mol的理想氣體，多方過程中的熱容量為Cm，如果系統的溫度升高dT，則系統吸收的熱量為 ，根據熵的微分形式[6] 可得

（2）

熱容量通常情況下都是溫度T的函數，當溫度變化不大時，可將理想氣體的熱容量當成是一個與溫度無關的常量，積分可得

（3）

其中T0和Sm0為系統初態的溫度和熵， 。（3）式就是所求的用溫度T和熵S表示的理想氣體多方過程的過程方程。

根據文獻資料[6]，理想氣體的多方指數n與摩爾熱容量Cm的關系如下：

（4）

絕熱指數γ表示定壓熱容與定容熱容之比。將（4）式代入（3）式，整理得

（5）

則在T-S圖中多方過程曲線的斜率為： （6）

四、理想氣體多方過程T-S圖的特點

理想氣體多方過程的T-S圖，如右圖所示，假設P點代表系統的初態，過P點的等溫線（n=1）和絕熱線（n=γ）將T-S圖分成4個區域。在區域①和③內的多方過程曲線的斜率為正，表示系統吸收熱量，溫度升高；而在區域②和④內的多方過程曲線的斜率為負，表示系統放出熱量時，溫度反而升高。

而區域①和③，又被等壓線（n=0）和等容線（n=±∞）分成了三個區域，分別記為a，b，c。現在以區域③為例加以討論：

⒈ 等壓線（n=0）和等容線（n=±∞）都是具有指數規律的曲線，等容線的斜率為 ，比等壓線的斜率

大，參見表1，從T-S圖上也能直觀地看到這一點。這也可以從物理本質的角度加以分析，當理想氣體系統（1mol）從P點代表的初態出發，分別經過等壓過程和等容過程使其溫度T降低1K時，根據熱力學第一定律 得，等壓過程放出的熱量 （Cp，m），要比等容過程放出的熱量（Cv，m）多R，這些多放出的熱量來自外界對系統所作的功（系統體積減小， ），而內能的減少卻是相同的。曲線下面的面積就代表在該過程中理想氣體放出的熱量，由圖中也能看出等壓線下方的面積比等容線下方的面積大。

⒉ 等溫線（n=1）的斜率為 ，絕熱線（n=γ）的斜率為 ，參見表1，分別是平行于橫軸和縱軸的直線。

⒊ ，多方過程曲線介于等壓線（n-0）和等容線（n=±∞）之間，也即位于 區，當系統從 點代表的初態出發經多方過程變化為另一狀態的過程中， ， ， ，此過程要比等容過程多放出一些熱量，這多放出的熱量來自外界對系統所作的功（系統體積減小），因而 ，dV<0。即系統放出的熱量，來自系統內能的減少和外界對系統所作的功，熱容量 ，與曲線的斜率（ ）為正是相符的。

⒋ ，多方過程曲線介于等壓線（n=0）和等溫線（n=1）之間，即位于b區，與a區的分析討論類似。系統放出的熱量，來自內能的減少和外界對系統所作的功，外界對系統作的功比等壓過程更多，熱容量 ，曲線的斜率介于 。

⒌ ，多方過程曲線介于絕熱線（n=γ）和等容線（n=±∞）之間，即位于c區，當系統從P點代表的初態出發經多方過程變化為另一狀態的過程中， ， ， ，該過程要比等容過程少放出一些熱量，但內能減少卻是相等的，少放出的這部分熱量用于系統對外界作功（系統體積增大），因而

， 。即系統減少的內能，用于系統放出的熱量，以及系統對外界作的功，熱容量 ，與曲線的斜率 （ ）為正是相符的。

在區域④內， ，多方過程曲線介于等溫線（n=1）和絕熱線（n=γ）之間。系統從P點代表的初態出發經多方過程變化為另一狀態的過程中， ，而 ， ，即吸收熱量，內能減少，根據熱力學第一定律 ，因而

， 。即系統對外界作的功（系統體積膨脹），一部分來自系統內能的減少，另一部分來自系統吸收的熱量，因而熱容量 ，與曲線的斜率（ ）為負是相符合的。

以上詳細討論了多方過程曲線位于區域③、④內的變化過程中能量轉變的特點，而在區域①、②內的過程與其變化方向恰好相反，此處不再一一描述。

以上即為理想氣體系統多方過程 圖的特點。相比于P-V狀態圖，T-S狀態圖更加直觀地表示了多方過程中能量變化的特點；另外，根據T-S圖也更為容易地計算出循環過程中熱量的變化，熱機的效率，以及制冷系數。

參考文獻：

[1] 趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程？熱學[M].高等教育出版社，1999.

[2] 張三慧.大學物理學學（第二版），第二冊.北京：清華大學出版杜.1999.

[3] 嚴子浚.多方過程的基本特征[J].大學物理，1995.14（12）.

[4] 吳劍鋒.多方過程的TS方程及T-S曲線[J].大學物理，1996.15（10）.

[5] 高崇伊，朱琴.多方過程的定義及其和準靜態過程的關系[J].大學物理，2006.25（2）：13-15.

[6] 汪志誠.熱力學？統計物理（第五版）[M].北京：高等教育出版杜.2013.

重慶三峽學院第七屆教學骨干項目。

作者簡介：舒純軍（1974--），男，重慶萬州人，碩士，副教授，主要從事《大學物理》、《熱力學與統計物理學》等課程的教學和研究工作。