關(guān)于Green公式教學(xué)中的幾點(diǎn)探討

王莉　王玉春

摘要：本文對(duì)Green公式教學(xué)過(guò)程中的重點(diǎn)、難點(diǎn)問(wèn)題，從公式提出、概念引入、定理證明、例題的選取和講授等幾個(gè)方面進(jìn)行探討，給出了相應(yīng)的教學(xué)思路和教學(xué)設(shè)計(jì)。

關(guān)鍵詞：Green公式；外微分；圍線；變換

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2017）05-0193-02

Green公式在現(xiàn)代分析學(xué)中起著承上啟下的作用，且在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用。在教學(xué)時(shí)，對(duì)于Green公式的理解及應(yīng)用是教學(xué)的重、難點(diǎn)，在以往的教學(xué)反饋中，普遍反映理論性較強(qiáng)，結(jié)論較抽象，證明復(fù)雜，定理?xiàng)l件不易理解等問(wèn)題。在近兩年的省數(shù)學(xué)授課競(jìng)賽中，許多青年教師將Green公式選作授課內(nèi)容，教學(xué)中大多遵循“公式引入—定理證明—應(yīng)用舉例”這一脈絡(luò)，但在重、難點(diǎn)的處理上都顯不足，在知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系、學(xué)生的能力培養(yǎng)等方面缺乏思考。如何處理教學(xué)重、難點(diǎn)，將抽象知識(shí)具體化，掌握公式的內(nèi)涵，培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)的能力是教學(xué)設(shè)計(jì)的主要著力點(diǎn)和關(guān)注點(diǎn)。對(duì)此，根據(jù)多年的教學(xué)實(shí)踐，從以下幾個(gè)方面進(jìn)行探討。

一、突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，引入自然

Green公式在現(xiàn)代分析學(xué)中起著承上啟下的作用，它與Newton-Leibniz公式、Stokes公式、Gauss公式是一脈相承的。Newton-Leibniz公式刻畫(huà)了一元函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值與它的導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上的定積分之間的聯(lián)系；Green公式刻畫(huà)了二元函數(shù)沿區(qū)域邊界的曲線積分與它的偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域上的二重積分之間的聯(lián)系；Gauss公式刻畫(huà)了三元函數(shù)沿空間閉曲面上的曲面積分與它的偏導(dǎo)數(shù)在所圍空間區(qū)域上三重積分的關(guān)系；Stokes公式則刻畫(huà)了三元函數(shù)沿光滑曲面的邊界曲線的曲線積分與它的偏導(dǎo)數(shù)在光滑曲面上的曲面積分之間的聯(lián)系。四個(gè)公式描述一個(gè)共同的數(shù)學(xué)本質(zhì)，即邊界積分和區(qū)域積分的聯(lián)系。

由四個(gè)公式的關(guān)系，可見(jiàn)Green公式是Newton-Leibniz公式在二維空間上的拓廣。在講授Green公式時(shí)，自然可從一元微積分學(xué)中的Newton-Leibniz公式進(jìn)行啟發(fā)：若將公式中的積分域由閉區(qū)間換為二維有界閉區(qū)域，那么二元函數(shù)沿區(qū)域邊界的曲線積分與它的偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域上的二重積分有什么聯(lián)系呢？這樣的引入既顯自然，又突出了它的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

二、旁引“圍線”概念，化抽象為具體

在以往的教學(xué)反饋中，對(duì)于單連域情形掌握較好，而對(duì)于復(fù)連域情形，很多學(xué)生對(duì)內(nèi)外邊界曲線的正方向的選取分辨不清。在《數(shù)學(xué)分析》[1]教材中，邊界曲線的正方向規(guī)定如下：當(dāng)人沿邊界行走時(shí)，區(qū)域D總在他的左邊。若與上述方向相反，則稱(chēng)負(fù)方向。此規(guī)定與復(fù)變函數(shù)中簡(jiǎn)單曲線的正方向規(guī)定是一致的，在國(guó)內(nèi)大多數(shù)《復(fù)變函數(shù)》[2]教材中，對(duì)于復(fù)連域的邊界曲線做了“硬性”規(guī)定，外部邊界的逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较?，?nèi)部各邊界的順時(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù)方向。據(jù)此規(guī)定，學(xué)生清楚明白，在教學(xué)中，將“圍線”的概念引入，很好的解決上述問(wèn)題。

五、強(qiáng)調(diào)變換思想，培養(yǎng)學(xué)生能力

Green公式在二重積分與區(qū)域邊界上的曲線積分之間建立一座橋梁，實(shí)現(xiàn)了兩類(lèi)積分的相互轉(zhuǎn)化。利用Green公式計(jì)算曲線積分或二重積分，其核心在于計(jì)算積分時(shí)，若某條曲線上的積分難以計(jì)算，則將其變換為另一區(qū)域上的積分，反之亦然，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的變換思想[5]。在Green公式應(yīng)用中，對(duì)于“挖掉奇點(diǎn)”等技巧，它們的本質(zhì)都是為了進(jìn)行變換積分公式。講透這一數(shù)學(xué)思想，可以避免死記硬背方法，培養(yǎng)知識(shí)的靈活應(yīng)用能力。

在例2中，邊界L是由抽象的曲線，過(guò)渡為具體曲線，然后采用“挖掉奇點(diǎn)”的方法，皆是圍繞如何成功變換這一中心，鍛煉了學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力。掌握三個(gè)小問(wèn)題后，進(jìn)一步探索，若邊界曲線中的“奇點(diǎn)”不止一個(gè)，引導(dǎo)學(xué)生解決可得到結(jié)論“外圍線線上的曲線積分等于各內(nèi)部圍線上的曲線積分之和”，這與《復(fù)變函數(shù)》中的柯西積分定理就呼應(yīng)起來(lái)，拓展了應(yīng)用，在知識(shí)能力上得到升華。

參考文獻(xiàn)：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.6.

[2]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2004.1.

[3]李嫻嫻，李復(fù)山.幾個(gè)積分公式的注釋及其應(yīng)用[J].曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，33（2）：19-23.

[4]龐惠君.利用外積、外微分統(tǒng)一微積分中四大公式的教學(xué)探討[J].江西農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，1995，17（1）：100-104.

[5]孫玉泉，楊小遠(yuǎn).變換思想在重積分三大公式講授中的應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究，2011，14（2）：37-40.