從數學直覺到演繹推理

程慶保

【摘要】數學直覺是直覺思維在對數學知識理解上的主要表現形式，也被稱為合情推理.在數學漫長的發展過程中，數學直覺起了巨大的推動作用，因而，中學教學不能忽視學生數學直覺的培養.本文以卡布列克運算為例，闡述了從數學直覺發現結論，到演繹推理證明結論，再利用數學直覺發現新結論的完整過程，這樣的過程正是數學得到發展必須經歷的.

【關鍵詞】數學直覺；卡布列克；黑洞數

直覺思維是人類一種重要的心理活動，指對一個問題不經過嚴密的邏輯分析，僅依據內因的感知迅速地對問題答案做出判斷.而所謂數學直覺，是直覺思維在對數學知識理解上的主要表現形式，是人們根據已有的知識和經驗，通過觀察、聯想、類比、歸納等活動，對數學結論做出迅速的判斷，我們也將之稱為合情推理.

在數學的漫長發展過程中，數學直覺起到了巨大的推動作用.從勾股定理到圓冪定理，從哥德巴赫猜想到孿生素數，數學史中的每一個重要的定理和猜想都離不開數學直覺.因而，在中學數學的教學中，我們不能忽視對學生數學直覺思維的培養.

卡布列克是一名美國的數學家，他設計了一種神奇的運算：對于一個數字不完全相同的四位數，如果將數字重新排列，組成一個最大的數和一個最小的數，然后作差，產生一個新的四位數（如果差不是四位數，則用0補齊）；將這個四位數中的數字重新排列，繼續組成一個最大數和最小數，作差……按照這樣的運算法則，不停繼續下去.他在對幾個數字進行這樣的運算后，發現總是得到一個穩定的結果：6 174.例如，我們對數字2 566進行這樣的運算，第一次得到的結果為4 266，第二次得到的結果為4 176，第三次便得到6 174；如果數字為2 561，第一次結果是5 265，第二次結果為3 996，第三次結果為6 264，第四次結果為4 176，第五次結果為6 174.于是，依靠數學直覺，卡布列克大膽猜想：任意一個四位數，經過這樣的運算，總會得到6 174.如此，在嘗試了幾次后，他還認為最多經過七次，就可以得到6 174.

實際上，這樣的過程如果交給學生去探索，完全可以引導學生猜測出這樣的結論，這也是培養其數學直覺的過程.但是如何讓學生去信服自己的數學直覺呢？這個時候便可借助演繹推理來進行——通過適當的證明去分析所猜想結論的合理性.這樣，學生便經歷了從數學直覺到演繹推理的過程，通過數學直覺發現結論，而通過演繹推理肯定結論.

那么，卡布列克的猜想是否合理呢？我們很容易證明：在這樣的運算下，在有限步內必然會進入一個循環.理由很簡單，從1 000～9 999，四位數一共只有9 000個，如果加上限制條件，數字只會更少.那么，循環節是否只有6 174這一個數？是否存在一個數字需要通過8次或者8次以上的運算才能得到6 174？很多數學愛好者對此進行過證明，更有人使用編程解決了這個問題.筆者在此提供一種建立在簡單枚舉基礎上的證明方法.

我們任意給出一個四位數，將其數字重新排列，不妨設組成的最大數為abcd，其中滿足9≥a≥b≥c≥d≥0，那么最小數則為dcba，經過一次卡布列克運算，我們能得到

abcd-dcba=999（a-d）+90（b-c）=K1.

由條件知：a-d>b-c，否則會有a=b=c=d.

若a-d=1，則b-c=0，K1=0 999；

若a-d=2，則b-c=0或1，K1=1 998或2 088；

若a-d=3，則b-c=0或1或2，K1=2 997或3 087或3 177；

……

這樣進行下去，K1共有1+2+3+…+9=45個可能的取值.

若對K1進行一次卡布列克運算得到的結果為K2，經計算，K2共有20個可能的取值，分別為8 991，8 082，8 352，7 173，8 532，6 354，6 264，8 172，6 174，4 176，5 355，7 992，5 994，3 996，1 998，4 995，3 087，5 265，9 621，7 443.

此時，再將其中19個不為6 174的數進行卡布列克運算，得到的K3只有13個取值：8 082，8 532，6 174，6 354，3 087，4 176，7 443，1 998，7 173，5 355，6 264，8 352，3 996.

繼續下去，K4的取值共有10個：8 532，6 174，3 087，8 352，3 996，8 082，6 354，1 998，4 176，6 264；

K5的取值共有7個：6 174，8 352，6 264，8 532，3 087，8 082，4 176；

K6的取值共有3個：6 174，8 352，8 532；

而K7只可能取6 174.

故任意一個四位數，只需要經過最多7步卡布列克運算，便能夠得到6 174.

通過上述過程，我們證明了卡布列克的猜想的合理性.值得一提的是，如今數學家們將6 174這個數稱為卡布列克常數.實際上，在數學直覺的助推下，我們還能夠有更進一步的猜想.如，對于更高位的數，在卡布列克運算下，是否也存在像6 174這樣的常數呢？如果有，最多需要幾次運算得到呢？類似的猜想促使著我們不斷地進行探索，而數學也就是在這樣不斷的探索中得到了發展.

【參考文獻】

[1]馬明.馬明教育論文集[M].南京：江蘇教育出版社，1986.