基于二元線性回歸的龍山百合機械化產業化發展分析

2017-03-09 09:40:46肖明濤

時代農機 2017年12期

黃毅，肖明濤

（1.湘西民族職業技術學院，湖南吉首 416000；2.湖南農業大學，湖南長沙 410128）

1 問題提出

2011年，湖南龍山百合種植面積達6.65萬畝（1畝=667m2，下同），產值11億元，其種植面積和畝產均為全國第一，但2013～2016年，龍山百合的種植面積和農民收入均出現一定程度的下滑，導致龍山百合產業化發展出現瓶頸。百合加工機械，百合種植機械，百合農業合作社、百合產業化企業，政府資金投入，農民收入，農村剩余勞動力，百合產品銷售總額都是影響龍山百合機械化和產業化發展的因素。如表1所示，文章通過對龍山百合發展情況實際調查，找出影響百合機械化產業化發展的關鍵因素。

表1 2008～2016年龍山百合發展情況表

2 二元線性回歸的數學模型

如表2所示，文章采用二元線性回歸分析，在二元線性回歸分析中，將百合總產值設為依變量，產品增加值等影響因素為自變量。設百合總產值為依變量，將百合產品附加值、百合加工機械、百合產業合作社、百合相關企業、百農收入、剩余勞動力轉移數量、資金投入設為自變量 x1、x2、...、x7、共有 9 組實際觀測數據：

表2 2008～2016年龍山百合產業化發展統計表

其中：x1百合產品附加值（億元）；x2百合加工機械；x3百合合作社數量；x4百合企業數量；x5農民收入（元）；x6剩余勞動力轉移人數（萬人）；x7資金投入（萬元）。現假定依變量y與自變量x1、x2、…、x7間存在線性關系，其數學模型為：

式（1）中，x1、x2、…、x7為 2008～2016 年調查的一般變量數值；y為百合總產值變量，y隨 x1、x2、…、x7變化而變化。εj受試驗誤差影響，為相互獨立且都服從N（0，σ2）的隨機變量。根據實際調查數值對 β0、β1、β2、...、β7以及方差 σ2作出估計。

3 建立線性回歸方程

設 y對 x1、x2、…、x7的 7元線性回歸方程為：

其中的 b0、b1、b2、…、b7為 β0、β1、β2、…、βm的最小二乘估值。即 b0、b1、b2、…、b7應使實際觀測值 y與回歸估計值y^的偏差平方和最小。

Q 為關于 b0、b1、b2、…、b7的 8 元函數。

依據多元函數求極值的方法，要使Q達到最小，則應有：

（i=1、2、…、7，m=7）

整理得：

由方程組（2）中的第一個方程可得：

（i、k=1、2、…、7；i≠k）

SP71b1+SP72b2+L+SS7b7=SP70

解方程組（4）即可得偏回歸系數 b1、b2、…、b7的解，而

解上述方程得bi，如表3所示。

表3 的數學解

于是得到元線性回歸方程

4 二元線性回歸關系的顯著性F檢驗

為能斷定依變量與自變量x1、x2、x3、…、x7之間是否確有線性函數關系，在依變量與7個自變量的實際觀統計數據建立二元線性回歸方程之前，依變量與7個自變量間的線性關系只是假設，但是建立了二元線性回歸方程之后，必須對依變量與7個自變量間的線性關系的假設進行顯著性檢驗，這里應用顯著性F檢驗方法。

依變量y的總平方和SSy可以剖分為回歸平方和SSR與離回歸平方和SSr兩部分，即

依變量y的總自由度dfy也可以分成為回歸自由度dfR與離回歸自由度dfr兩部分，即

（5）與（6）兩方程式稱為二元線性回歸的平方和與自由度的劃分式。

式（5）中各項平方和的計算方法如下：

式（7）中各項自由度按以下方法進行計算：

按上述方法進行計算，m為自變量的個數為7，n為實際觀測數據的組數為9。

可得回歸均方MSR與離回歸均方MSr：

檢驗二元線性回歸方程是否顯著，就是檢驗每個自變量的總體偏回歸系數βi（i=1、2、…、m）是否同時為零，顯著性檢驗的無效假設與備擇假設為：

H0：β1=β2=…=βm=0，HA：β1、β2、…、βm不全為零

在H0成立條件下，有

由上述F統計量進行F檢驗即可推斷多元線性回歸關系的顯著性，如表4所示。

表4 二元線性回歸關系方差分析表

由 df1=1，df2=8，經查表得 F0.1（1，8）=3.46，因為 F=49.691＞F0.1（1，8），表明該線性回歸關系是顯著的。

5 偏回歸系數的顯著性F檢驗

當二元線性回歸關系經過顯著性檢驗為顯著時，還必須對每個偏回歸系數進行顯著性檢驗，以便判斷每個自變量對依變量的線性影響是顯著與否，便于從二元回歸方程中剔除不顯著的自變量，重新建立更為簡單的二元線性回歸方程。偏回歸系數bi（i=1、2、…、7）的顯著性檢驗或某個自變量對依變量的線性影響的顯著性檢驗所建立的無效假設與備擇假設為：

在二元線性回歸分析中，回歸平方和SSR反映了所有自變量對依變量的綜合線性影響，它總隨著自變量的個數增多而增加。因此，如果在所考慮的所有自變量當中去一個自變量時，回歸平方和SSR只會減少，而不會增加。減少的數值越大，也就說明該自變量在回歸中所起的作用越大，該自變量越重要。

設SSR為m個自變量x1、x2、…、xm所引起的回歸平方和，SS'R為去掉一個自變量xi后m-1個自變量所引起的回歸平方和，那么它們的差SSR-SS'R即為去掉自變量xi之后，回歸平方和所減少的量，稱為自變量xi的偏回歸平方和，記為SSbi，即：

計算可得：

偏回歸平方和可以衡量每個自變量在回歸中所起作用的大小，或者說反映了每個自變量對依變量的影響程度的大小。值得注意的是，在一般情況下，

這是因為m個自變量之間往往存在著不同程度的相關，使得各自變量對依變量的作用相互影響。因此，只有當m個自變量相互獨立時，才有

偏回歸平方和SSbii是去掉一個自變量使回歸平方和減少的部分，同時也可理解為添入一個自變量使回歸平方和增加的部分，其自由度為1，稱偏回歸自由度，記為dfbii，即dfbii=1。顯然，偏回歸均方MSbii為

檢驗各偏回歸系數顯著性的F檢驗法應用如下F統計量：

表5 偏回歸系數顯著性檢驗方差分析表

如表 5 所示，由 df1=1，df2=1 查 F 值表得 F0.1（1，1）=39.86。因為 Fb2＞F0.1（1，1），Fb1＜ F0.1（1，1），Fb3，Fb4，Fb5，Fb6，Fb7遠小于 F0.1（1，1）因此偏回歸系數 b2極顯著，而偏回歸系數 b1比較，b3，b4，b5，b6，b7均不顯著。