“數(shù)與形”教學(xué)思考

鐘啟偉

在一次教學(xué)常規(guī)抽查中，幾位教師隨堂抽聽了我執(zhí)教的“一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)”這一課，整節(jié)課我主要借助線段圖，引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握分?jǐn)?shù)除法的算理，緊扣教材與教學(xué)目標(biāo)，分三步設(shè)計本節(jié)課的教學(xué)：

例題：小明小時走了2 km，小紅小時走了 km。誰走得快些？

1.教師先引導(dǎo)學(xué)生畫一條線段圖表示1小時走的路程，再讓學(xué)生思考：如何表示小時走了2千米這個條件？（學(xué)生通過畫圖、觀察，很容易就理解“將線段平均分成3份，其中2份表示的就是小時走的路程”，如下圖所示。）

小明平均每小時走：

2.指著圖啟發(fā)：已知小時走了2千米，要求1小時走了多少千米，可以先算什么？再算什么？

根據(jù)學(xué)生的思考交流，教師板書計算思路：

先求小時走了多少千米，也就是2千米的。再求3個小時走了多少千米。

2÷=2××3=2×

結(jié)合算式，讓學(xué)生思考并說說每步求的是什么。

3.觀察思考，小結(jié)算法：

觀察：除法轉(zhuǎn)化成了什么運(yùn)算？什么沒有變化？什么變了？是怎樣變的？

強(qiáng)調(diào)：被除數(shù)沒有變，除法變成了乘法，除數(shù)變成了它的倒數(shù)。

小結(jié)：整數(shù)除以分?jǐn)?shù)可以轉(zhuǎn)化為這個數(shù)的倒數(shù)來計算。

運(yùn)用方法的遷移，讓學(xué)生小組內(nèi)分析小紅每小時所走的路程。

……

這只是一節(jié)比較普通的數(shù)學(xué)課，可課后有老師卻對我說，他們教很多年的書，只知道分?jǐn)?shù)除法的計算方法是用被除數(shù)乘除數(shù)的倒數(shù)來計算，但一直不知道為什么要這樣算，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，他們終于知道了為什么這樣算了。或許是因?yàn)樗麄兒苌俳佑|小學(xué)高年級的數(shù)學(xué)教程，可從這個簡單的事例中，讓我們進(jìn)一步體會到數(shù)形結(jié)合的重要性。

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想，把數(shù)與形結(jié)合起來解決問題，可以使復(fù)雜問題變得更簡單，使抽象問題變得更直觀。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)與形相結(jié)合的例子很多。有時候，圖形中隱含著數(shù)的規(guī)律，可利用數(shù)的規(guī)律來解決圖形的規(guī)律，例如連點(diǎn)成線段，求線段總數(shù)，就是利用數(shù)的規(guī)律來解決線段總數(shù)的問題。有的時候是利用圖形來直觀地解釋一些抽象的數(shù)學(xué)原理與事實(shí)，讓人一目了然，如上述的事例，就是利用線段圖來幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除法的算理，還有利用長方形模型來理解分?jǐn)?shù)乘法的算理等。然而盡管在以前的學(xué)習(xí)中，出現(xiàn)很多有關(guān)數(shù)形結(jié)合的例子與練習(xí)，學(xué)生結(jié)合“形”來分析問題也有一定的基礎(chǔ)，但由于教材中沒有系統(tǒng)的教學(xué)數(shù)與形的內(nèi)容，所涉及的練習(xí)也比較分散，所以學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的概念比較模糊，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想在解決問題時意義不大。“數(shù)與形”是人教版數(shù)學(xué)六年級上冊第107頁內(nèi)容，是教材新增內(nèi)容，共有2個例題，例2及后面編排的幾道練習(xí)題都屬于思考題甚至競賽題。從內(nèi)容的編排上看，它突出了探索規(guī)律、運(yùn)用規(guī)律的編排意圖，例如例1，通過計算和觀察1、1+3、1+3+5、1+3+5+7……既能發(fā)現(xiàn)加數(shù)的規(guī)律（從1開始的連續(xù)奇數(shù)相加），又能發(fā)現(xiàn)和的規(guī)律（都是連續(xù)的正方形數(shù)），例2也如此，在發(fā)現(xiàn)規(guī)律的基礎(chǔ)上，通過推理，再引導(dǎo)學(xué)生把規(guī)律應(yīng)用于一般的情形，解決問題。其次，在利用數(shù)形結(jié)合解決問題的過程中積累基本的活動經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)了學(xué)生基本的數(shù)學(xué)思想。例如例題中，讓學(xué)生通過計算+、++、+++……發(fā)現(xiàn)和越來越趨向于1，感受到什么叫作“無限接近”，同時也使學(xué)生在這一過程中體會推理和極限的思想。在教學(xué)時，我認(rèn)為應(yīng)該從以下幾點(diǎn)進(jìn)行思考：

1.把數(shù)與形有機(jī)結(jié)合起來，相互印證，體會數(shù)學(xué)之美。在教學(xué)例1時，先讓學(xué)生通過計算1=1，1+3=4=22，1+3+5=9=32……使學(xué)生發(fā)現(xiàn)得到的和都是“平方數(shù)”，再把圖形與算式結(jié)合起來，即如果用1個小正方形、3個小正方形、5個小正方形……拼一拼，可以拼出一些大小不一的大正方形，再呈現(xiàn)這些由小正方形拼成的大正方形。讓學(xué)生觀察兩個大正方形相差多少個小正方形，例如，邊長是2的大正方形和邊長是1的大正方形，相差3個小正方形；邊長是3的大正方形與邊長是2的大正方形，相差5個小正方形……相差的小正方形數(shù)正好是“┓”形中的小正方形的數(shù)，使學(xué)生理解所看到的圖中的小正方形數(shù)還可以分別表示成1，1+3，1+3+5，……數(shù)形結(jié)合，使學(xué)生很清楚地看到這些連續(xù)的奇數(shù)在圖中的什么地方，平方數(shù)代表的又是什么，從而對規(guī)律形成了更直觀的認(rèn)識，即每個大正方形中都隱藏著一個算式，1+3+5+…+（2n-1）=n的平方。像這樣把圖形與算式結(jié)合起來，更能讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)之美。

2.利用數(shù)形結(jié)合，使學(xué)生感受極限的思想。在教學(xué)例2時，學(xué)生在計算時很容易發(fā)現(xiàn)加數(shù)的規(guī)律，即后一個加數(shù)是前一個的；和也有規(guī)律，即+=，++=，+++=……每次相加所得到和都等于1減去最后一個數(shù)，加數(shù)的項(xiàng)數(shù)越多，和越接近1。這些加數(shù)無限地加下去，最后的和無限接近于1，但這個“無限”接近于1的數(shù)到底是多少呢？“無限”的概念非常抽象，學(xué)生不容易理解，如果教師只是僅僅用舉例的方法求出等比數(shù)列的有限和，是很難證明無限多項(xiàng)相加的結(jié)果為1。此時教師可以出示一個圓、一條線段或者一個正方形表示單位“1”，讓學(xué)生根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義在圖上表示出這些加數(shù)，讓學(xué)生直觀地看到最終的結(jié)果是“1”，這樣一來，學(xué)生不僅能感受到“化數(shù)為形”的直觀、形象、簡捷的特點(diǎn)，也比較容易理解當(dāng)一個數(shù)無限趨近于1時，其結(jié)果就是1，一個極其抽象的極限問題，由于用圖形來解決，就變得十分簡單了。

3.鼓勵學(xué)生從不同的角度去尋找規(guī)律。小學(xué)階段，雖然不要求寫出一個數(shù)列的通式，但可以通過數(shù)形結(jié)合的方法，利用圖形的規(guī)律，從不同的角度，用自己的語言描述出數(shù)列的通用模式。如，第109頁第1題，根據(jù)例1的結(jié)論，很容易得到第n個圖形中最外圍的小正方形數(shù)為：（2n+1）2-（2n-1）2，也可以從結(jié)果看到第一個圖最外圈有8個小正方形，第二個圖最外圈有8×2個小正方形，第三個圖最外圈有8×3個小正方形……通過推理，可知第n個圖最外圈就有8×n個小正方形，每一次都是在前一個圖的基礎(chǔ)上增加8個小正方形。還可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：每次多的這8個小正方形都是怎么來的？使學(xué)生觀察到是由于每邊增加2個小正方形所產(chǎn)生的。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，滲透數(shù)形結(jié)合的思想和方法，可以將抽象的問題具體化，把無形的解題思路形象化，不僅有利于學(xué)生順利地、高效率地學(xué)好數(shù)學(xué)知識，更有利于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)、智力的開發(fā)、能力的增強(qiáng)，使學(xué)生學(xué)習(xí)收到事半功倍的效果。