“探究四點共圓”課例的課堂實施

☉江蘇蘇州市高新區實驗初級中學葛存燕

“探究四點共圓”課例的課堂實施

☉江蘇蘇州市高新區實驗初級中學葛存燕

近年來，《中學數學》（下）刊發了大量預設精妙的教學課例，引領一線教師聚焦課堂教學設計，追求高質量的備課設計.筆者受到文1的影響，通過自己的理解，制作出對應的PPT，執教了一節研討課，取得了較好的教學效果.本文梳理該課的教學流程，側重于截圖展示筆者的PPT流程，并跟進變式檢測，供研討.

一、教學流程

教學環節（一）作三角形的外接圓，引入新課.

PPT截圖，如圖1：

圖1

解讀：先呈現三種不同形狀的三角形（銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形），再畫出外接圓，并增加一個點D，出現圓的內接四邊形.

在此基礎上，引導學生思考問題.

教學環節（二）探究并證“四點共圓”.

PPT截圖，如圖2：

圖2

PPT截圖，如圖3：

圖3

解讀：由于在初中階段對反證法的要求是了解，故這里只是以PPT呈現證明思路，不要求所有學生獨立證明.

教學環節（三）發現“四點共圓”.

PPT截圖，如圖4：

圖4

解讀：所選的幾個圖形都是教材上的一些經典圖形，安排學生從四點共圓的角度再次研究、關注，也是一種“高觀點”視角.

PPT截圖，如圖5：

圖5

解讀：例2所配發的3個圖形中四邊形并不需要都畫出外接圓，引導學生體會圓在腦中，享受思考的樂趣.

PPT截圖，如圖6：

圖6

解讀：這是八年級一道經典試題，引導學生站在九年級四點共圓的高度重新反思和理解這道題的不同解法，體會數學解題的殊途同歸.教材上關于正方形的經典問題很多，比如還有另一道，見PPT截圖，如圖7：

圖7

解讀：對于該題，在八年級時需構造全等證明，而站在四點共圓的角度，可以獲得問題的結構認識.

教學環節（四）課堂小結，聽課檢測.

啟發學生思考：如何證明多點共圓的方法，以下是一些可能的思考念頭，比如：

1.從圓的定義出發，證各點都與某一定點的距離相等；

2.如果是證四點共圓，也可以先任意選出三點作一圓，然后證另一點也在該圓上；

3.如果各點都在某兩點所在直線的同側，且各點對這兩點的“張角”（其實是同弧所對的圓周角相等逆向使用）相等，那么這些點共圓；

4.若能證明其對角互補或證明其一外角等于其鄰補角的內對角，即可肯定這四點共圓；

5.證明五個或五個以上的點共圓，可以分別證各四點共圓，且四點中有三點相同.

附1：聽課檢測題：

1.如圖8，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°.

圖8

圖9

（1）A、B、C、D四個點_______在同一個圓上；（填“能”或“不能”）

（2）當∠ABD＝70°時，∠CAD的度數是_______.

2.如圖9，點E、F分別在正方形ABCD的邊AD、CD上，且AE＝DF，連接BE、AF交于M點.

（1）小南經過思考發現點E、M、F、D在同一個圓上！請判斷小南的發現是否正確.如果正確，在圖中作出該圓的直徑；如果不正確，說明理由.

（2）連接CM、BF，若∠FBC＝35°，求∠FMC的度數.

※挑戰：（3）延長AF、BC交于點N，若點B、M、D、N在同一個圓上，求證：E為AD的中點.

二、教學思考

1.研習專業期刊，積極實踐跟進.

我們知道，研習專業期刊是青年教師追求專業精進的重要途徑，然而如果只是閱讀、欣賞而缺少必要的實踐跟進，往往入寶山而空返.基于此，我們提倡面對優秀課例的教研文章，作為讀者的我們要細心捕捉文章中課例設計的精巧與經營之功，并積極在自己的教學實踐中開展教學，這樣往往會對優秀課例的理解更加深刻和獨到.比如，在上文中我們跟進實踐之后就知道了哪些教學環節還需要深入構思、預設互動，哪些環節學生在見到問題之后就可以一帶而過，無需充分展開.

2.豐富教學設計，預設對話追問.

在決定使用本文課例進行教學實踐之前，我們針對教學設計制作了PPT，上文側重展示了各張PPT及解讀.我們發現制作PPT的過程，仍然是加深對四點共圓理解的過程，如何讓四點共圓問題提出得更加自然，思考得更加合理，讓證明的念頭更容易獲得；所選配的例題、習題怎樣引導學生基于四點共圓的視角進行求證，當學生思維受阻時，如何預設一些標注語啟發學生自主獲得思路貫通，等等，都是值得我們深入構思之處.

3.加強教學反饋，注重聽課檢測.

我們在課堂最后增設了聽課檢測，通過改編課堂中的例題及拓展講評的例題，設計出2個大題5個小問的模式，這樣既便于檢測學生，又可以啟發思考，感受經典問題解法的多樣性、思路解法的殊途同歸.

本文中一些草根實踐，才剛起步，拋磚引玉，期待更多同行的實踐跟進.

1.%王友峰.專業自主增設內容，回看陳題洞察結構——九年級“探究四點共圓”教學設計與解讀［J］.中學數學（下），2016（12）.

2.周紅娟.開放與放開：概念生成與例題變式的教學追求——從“三角形內角和”教學說起［J］.中學數學（下），2016（8）.

3.鄭毓信.善于舉例［J］.人民教育，2008（18）.

4.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.

5.鄭毓信.善于優化［J］.人民教育，2008（20）.