追求自然、簡約、深刻的思維課堂
——以直角三角形的性質復習課為例

☉浙江省平陽縣水頭鎮第一中學 張合遠

追求自然、簡約、深刻的思維課堂
——以直角三角形的性質復習課為例

☉浙江省平陽縣水頭鎮第一中學 張合遠

隨著新課程的進一步深入，教師的教學理念、教學方式發生了很大的變化，課堂也從改革初始的嘗試變得日益成熟，特別是復習課教學，從追求課堂的大容量教學轉向簡約，復習模型從“題海戰術”轉變為“一題（圖）一課”.近幾年，浙江省特級教師張宏政名師網絡工作室活動特別提倡“一題（圖）一課”的復習課教學模式.2016年11月21日，2016之秋第109屆浙派名師暨省初中數學名師網絡工作室課堂教學藝術展在杭州師范大學隆重舉行.筆者作為浙江省張宏政名師網絡工作室的學科帶頭人，為與會的1000余名教師展示了一堂八年級“直角三角形的性質復習”的觀摩課，得到觀摩老師的一致好評.本文記錄該課的教學設計與教后反思，與更多的同行分享與研討.

一、教學簡錄及分析

（一）提供背景圖形，生成相關知識.

引入：我們知道，三角形按角分類，可以分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形.由于直角三角形的特殊性，它在日常生活與今后的學習中有著廣泛的應用.今天我們專題復習“直角三角形”（板書課題）.請大家看問題1.

設計說明：這節課由三角形的分類與直角三角形的特殊性引入，旨在使學生明確直角三角形在整個“三角形”知識單元中所占的位置和廣泛應用，從而激發學生復習的興趣和要求.

問題1：如圖1，在△ABC中，∠C=90°，你能得出哪些結論？

設計說明：從一個低起點問題引題，旨在讓更多的學生參與到課堂中來，同時，也可以從角、邊入手梳理直角三角形的有關知識，為下一環節的順利展開鋪平道路.

板書：角與角：∠A+∠B=90°，邊與邊：a2+b2=c2.

師：下面給出具體數據，請你們求這個三角形的面積.

問題2：如圖1，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，你能求出△ABC的面積嗎？

生：不能求出△ABC的面積.

師：為什么？

生：這個三角形是不確定的.

師：哦？那就請你們再添加一個條件解決這個問題.

請添加一個條件，再解答下題：

如圖1，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，_________，求△ABC的面積.

……

師：今后我們還會進一步學習任意銳角度數的直角三角形三邊之比（.引導學生添加斜邊上的高線）若點D為AB邊上的一個動點，請大家看問題3.

圖1

圖2

問題3：如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，若點D為AB邊上的一個動點，則線段CD的取值范圍是多少？為什么？

板書：面積法.

師：看來面積法是解決幾何問題的一種有效方法.求斜邊上的高線CD，是否還有其他方法呢？（勾股定理）

板書：設元構建方程模型.

師：點D還有哪些特殊位置值得研究？這時CD的長分別是多少？為什么？

生：中線與角平分線.

板書：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

生：當CD為角平分線時……（說不下去了）

師：哦，好像遇到困難了.請想一想，角平分線有什么性質？

生：過點D分別作BC、AC的垂線段DE、DF（如圖3）.則DE=DF，這時，△CDE為等腰直角三角形，所以CD=，但DE的長為……（說不下去了）

師：請同學們思考，這么多的高線，你們能聯想到什么方法呢？

生：面積法.

師：看來，能否對條件中隱含的信息進行充分挖掘是解題的關鍵.下面我們改變題目中CD的位置（出示變式題）.

圖3

圖4

變一變：如圖4，若上述條件均不變，把∠C的平分線CD改成∠B的平分線BG，則BG的長為多少？

師：剛才的方法還適用嗎？

設計說明：通過設計開放性問題求面積，進一步復習勾股定理的應用、特殊三角形中邊角之間的關系，而后自然引出特殊線段的長度求解，既復習了它們的性質，也可以讓學生體驗面積法、方程思想等解決問題的方法.

生：仍然可用面積法.

師：看來面積法在解決問題中具有普遍性.是否還有不同的方法呢？

生：可以利用勾股定理.

師：利用勾股定理構建方程模型也是重要的解題思路.當然，有時還需要先通過（軸對稱）變換，把條件聚集到同一個三角形中.

師：好了，我們從角、邊、重要線段入手梳理了直角三角形的相關知識，同時對解決問題的方法也有了進一步的體驗.下面讓我們繼續探究.

（二）建立圖形間的聯系，體驗數學思想.

問題4：如圖5，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，點G是邊AC上的一個動點.記點A關于直線BG的對稱點為A′，連接GA′、BA′，BA′與邊AC交于點E.若△A′GE為直角三角形，求AG的長.

分析條件，引導學生畫出如下分類圖形（如圖6，圖7）并解答：

圖5

圖6

方法二：根據軸對稱得∠1=∠2=∠3=45°，故BC= GC=6，此時AG=2.

課堂預設：

（1）如圖6所示，當∠A′GE=90°時，

方法一：根據軸對稱得

圖7

圖8

方法三：如圖8，過點A′作A′F⊥BC交BC的延長線于點F，則∠A′FB=90°.易得四邊形A′GCF是矩形，CF=A′G，A′F=CG.設AG=A′G=x，則BF=BC+CF=6+x，A′F=CG=ACAG=8-x.在Rt△A′FB中，由勾股定理得（6+x）2+（8-x）2= 102，解得x1=2，x2=0（舍去），此時AG=2.

（2）如圖7所示，當∠A′EG=90°時，

方法二：點C與點E重合，則A′E=A′B-BC=10-6=4.設AG=A′G=x，則CG=AC-AG=8-x.在Rt△A′GE中，由勾股定理得（8-x）2+42=x2，解得x=5，此時AG=5.

綜上所述，AG的長為2或5.

歸納：本題主要考查直角三角形的綜合應用，以及點的運動帶來的圖形變化問題.探討有關直角三角形的問題，要注意進行分類討論；在對待動點問題時，耐心畫出各類情況對應的圖形，可達到事半功倍的效果（切忌所有情況畫在一個圖中）.根據問題4，你還可以提出哪些問題？

教師備用以下拓展探究問題，如果學生思維活躍就隨學生的問題展開，否則教師嘗試拋出如下拓展探究問題引發學生思考.

課堂預設：

策略一：不改變任何條件，學生可能得出新問題；

與面積有關的結論：若S△AGE=S△BCE，求AG的長.

……

策略二：改變條件探求是否有新問題.

減弱條件探求是否有新問題：線段AC改為射線AC，線段BC改為直線BC，探求點A′的位置；另外，把圖4放在平面直角坐標系中還可繼續拓展.

……

設計說明：通過對問題的進一步變化，既強化了對運動觀下幾何問題的本質把握，也使學生加深了對分類討論、面積法、構建方程模型等基本數學思想方法的體驗與感悟，而后面嘗試讓學生提出問題，則旨在培養學生的問題意識，初步感受提出問題的策略.

（三）感悟數學思想，啟迪學生智慧.

拓展探究：如圖9，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，點G是射線AC上的一個動點.記點A關于直線BG的對稱點為A′，連接GA′、BA′，BA′與射線AC交于點E.當點A′落在直線BC上時，求AG的長.

圖9

引導學生畫出如下兩種分類圖形（如圖10、圖11），并用面積關系和勾股定理等方法建立方程模型解答此題.

圖10

圖11

設計說明：通過對問題的進一步改編，為學生認識圖形、把握本質創造了思維的載體，也為分類討論、方程模型思想的靈活運用與概括提供了必要的邏輯通道.

檢測練習：如圖12，有一張直角三角形紙片ABC，AB=10，BC=6，現將直角邊AC沿直線AP折疊，使它落在斜邊AB上，且與AD重合.你能求出CP的長嗎？

變式1：如圖13，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AB= 10，若AB上有一點M，AC上有一點N，AM=CN，折一折，算一算，你能否找到這樣的M、N，使△AMN是直角三角形，且滿足MN=4？若存在，請求出AM的長；若不存在，請說明理由.

圖12

圖13

圖14

變式2：如圖14，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6.點E是AC邊上的一個動點（不與點A、C重合），過點E作EF⊥AC交AB于點F，將∠A沿直線EF翻折，點A落在射線AC上的點P處.當△BFP為直角三角形時，求AE的長.

設計說明：通過這組變式訓練題，既鞏固了當堂復習的有關知識和解題策略，又培養了學生的邏輯思維能力.

二、教學反思

本節課以一個簡單的基本圖形引題，旨在發動更多的學生參與課堂，通過問題串的設計與變式教學逐層推進，提倡多角度、多策略解決問題，注重在合作交流中讓學生傾聽、優選，在獲得解題思路的同時不忘歸結能力、發散思維的培養，體驗并嘗試如何提出問題，初步掌握提出問題的若干策略.

為了追求自然、簡約、深刻的思維課堂，這節課的教學過程得到了整體優化，調動了全班學生學習的積極性，體現了新的教育理念和當前的課改方向，取得了滿意的教學效果，聽課的教師給予了很高的評價.大家一致認為這節課的主要特點是：

1.去繁為簡，一圖貫之.

用一個圖形貫穿始終，并按照由淺入深、層層深入的設計思路展開，其中開放性問題的設計、動點元素的滲透及設問形式的變化，賦予了本課靈動與生機，也有效提高了課堂中高認知思維的含量.

2.提煉方法，生長智慧.

復習課的重要目標，就是要讓學生在梳理知識的同時，感悟數學解題策略，提煉基本數學方法，從而達到生長智慧的目的.因此，從問題2中的求三角形面積到問題3中的求CD的取值范圍，為面積法的引出進行了必要的鋪墊，也影射了數形結合的重要性，而后面求角平分線長度的設計，對這一幾何基本大法予以強化，同時也自然生成了建構方程模型的解題策略.而問題4用動點溝通圖形聯系的設計，既體現了復習課的綜合性要求，也為分類討論、方程模型思想的運用與概括提供了邏輯通道.本課提倡多角度解決問題，并在比較中優化思路，突出本質，同時嘗試提出問題，初步體驗提出問題的若干策略，從而達到梳理知識、理解方法、形成能力的教學目標.

初中數學復習課，教師應從一道題目（一個基本圖形）出發，開放性地設計問題，鼓勵學生從多角度解決問題，并嘗試讓學生自主編題，提出問題，為后續進一步挖掘題目作鋪墊.同時關注學情，動態生成，讓課堂更加自然、簡約、深刻.在這樣一條復習主線下，提煉解題策略，挖掘數學不變的量，滲透數學思想方法，真正讓數學復習課成為學生的主陣地，走出“題海戰術”，追求“簡約”卻不簡單的課堂，體現“一題（圖）一課”的價值，真正凸顯“以生為本”的教學理念.

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.顧泠沅主編.初中數學教學研究［M］.上海：上海教育出版社，2012.

3.吳立建.數學課堂中應重視引導學生提出問題［J］.數學通報，2013（7）.