預(yù)熱問題鋪平墊穩(wěn)，迎難而上講評難題
——記敘一道中考模考難題的講評設(shè)計(jì)

☉江蘇常熟市第一中學(xué) 龔艷芳

預(yù)熱問題鋪平墊穩(wěn)，迎難而上講評難題
——記敘一道中考模考難題的講評設(shè)計(jì)

☉江蘇常熟市第一中學(xué) 龔艷芳

中考復(fù)習(xí)中師生都會面臨“大量”模考試題，而每份模考試卷中總會有命題者精心布局的把關(guān)題，這些把關(guān)題往往也很奏效，每場模考或練習(xí)下來，基本上是“全軍覆沒”，接下來就是教師“上場”講評，如果滿足于公布并核對答案，當(dāng)然也能很快讓這些把關(guān)難題“一帶而過”，然而如果深入研究和備課，往往會使一些把關(guān)題背后的一串問題得到挖掘，也使得這些模考難題在教學(xué)中沒有“輕輕滑過”，追求更有深度的講評效果.本文記敘一道模考難題的講評設(shè)計(jì)，并跟進(jìn)相關(guān)教學(xué)思考，供研討.

一、模考難題與思路簡述

模考題：如圖1，過原點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)為M（-2，4），與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，對稱軸與x軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥MA于點(diǎn)Q.若△MPQ與△MAB相似，則滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是____________.

圖1

思路簡述：容易求出拋物線的解析式為y=-x2-4x，構(gòu)造草圖想清問題的求解目標(biāo)其實(shí)是：如圖2，當(dāng)點(diǎn)P1落在拋物線對稱軸的左側(cè)時(shí)，射線MP1交x軸于C，有∠CMA=∠AMB，如果能求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，則可解出直線MC的解析式，與拋物線的解析式聯(lián)立，則可確定點(diǎn)P1的坐標(biāo)；還有另一種情形，當(dāng)點(diǎn)P2落在拋物線對稱軸的右側(cè)時(shí)，構(gòu)造圖3分析，有∠P2MA=∠MAB，設(shè)射線MP2交x軸于D點(diǎn)，如果能求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，則可確定直線MD的解析式，類似地，與拋物線的解析式聯(lián)立，可確定P2點(diǎn)的坐標(biāo).

圖2

圖3

二、模考難題講評的教學(xué)微設(shè)計(jì)

教學(xué)環(huán)節(jié)（一）預(yù)熱問題兩道.

題1：如圖4，已知拋物線與x軸交于A（1，0）、B（-3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），拋物線的頂點(diǎn)為P，連接AC.

圖4

（1）求此拋物線的解析式；

（2）在拋物線上找一點(diǎn)D，使得DC與AC垂直，且直線DC與x軸交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

預(yù)設(shè)問題串：

問題1：你準(zhǔn)備怎樣求拋物線的解析式？你為什么選擇設(shè)解析式的方法？還有哪些不同的設(shè)法？

問題2：為了求點(diǎn)D的坐標(biāo)，你覺得可以有怎樣的思路？（學(xué)生可能是先求直線CQ的解析式，然后再將直線CQ的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立）

問題3：有人覺得求直線CD的解析式的關(guān)鍵是求Q點(diǎn)的坐標(biāo)，你覺得怎樣求Q點(diǎn)的坐標(biāo)？（連接AC，利用“雙垂直”基本圖形，在Rt△ACQ中思考，利用相似或射影定理可得CO2=OQ·AO，從而求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)）

問題4：有人沒有求Q點(diǎn)的坐標(biāo)，也求出了直線CD的解析式，你覺得還有什么方法？（先求出直線AC的解析式，然后根據(jù)直線CD、AC之間的垂直關(guān)系，可以看出它們的解析式中的一次項(xiàng)系數(shù)具有負(fù)倒數(shù)關(guān)系，再結(jié)合點(diǎn)C的坐標(biāo)可確定直線CD的解析式）

圖5

預(yù)設(shè)問題串：

問題1：你準(zhǔn)備怎樣求出點(diǎn)P的坐標(biāo)？要注意取舍嗎？（預(yù)設(shè)：P（1，-3））

問題2：如圖6，當(dāng)點(diǎn)D在拋物線對稱軸的左側(cè)時(shí)，滿足∠DPO=∠POB，此時(shí)PD與x軸有怎樣的位置關(guān)系？你能快速確定此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)嗎？（預(yù)設(shè)：由∠DPO=∠POB，得DP∥OB，D與P關(guān)于y軸對稱，結(jié)合P（1，-3），得D（-1，-3））

圖6

圖7

問題3：當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)P的右側(cè)時(shí)，如圖7，即圖中D2，則∠D2PO=∠POB，延長PD2交x軸于Q，圖7中有等腰三角形嗎？為什么？（預(yù)設(shè)：可發(fā)現(xiàn)QO=QP，所以△POQ是等腰三角形）

教學(xué)環(huán)節(jié)（二）難題講評.

模考難題講評：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為M的拋物線y=-x2-4x與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，對稱軸與x軸的交于點(diǎn)B，點(diǎn)C是拋物線上一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD⊥MA于點(diǎn)D.若△MCD與△MAB相似，求滿足條件的點(diǎn)C的坐標(biāo).

圖8

圖9

預(yù)設(shè)問題串：

問題1：構(gòu)造圖8、圖9分析，在這兩種可能的圖形中，過點(diǎn)C作出CD⊥MA于點(diǎn)D，能否滿足△MCD與△MAB相似？請說明理由.

問題2：在圖8中，你有哪些方法求點(diǎn)C1的坐標(biāo)？（預(yù)設(shè)：利用角平分線性質(zhì)，MA平分∠EMB，則AE∶AB=ME∶MB，可設(shè)AE=m，則EM=2m，于是在Rt△BME中，（m+2）2+ 42=（2m）2，于是可確定點(diǎn)E的坐標(biāo)，從而求出直線ME的解析式，再將ME的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立確定點(diǎn)C1的坐標(biāo)；還可以過點(diǎn)A向ME作垂線段，構(gòu)造“一線三直角”模型求解）

問題3：在圖9中，∠FMA與哪個(gè)角相等？為什么？（預(yù)設(shè)：學(xué)生辨析出∠FMA與∠MAB相等時(shí)，才能出現(xiàn)△MCD與△MAB相似）

問題4：圖9中，如何求出點(diǎn)C2的坐標(biāo)？（預(yù)設(shè)：設(shè)MF= n，在Rt△MBF中，利用勾股定理得出關(guān)于n的方程，可確定n的值，從而得出F點(diǎn)的坐標(biāo)，類似地，求出直線MF的解析式，再與拋物線的解析式聯(lián)立，求出C2點(diǎn)的坐標(biāo)）

問題5：將圖8、圖9中的兩條符合要求的直線ME、MF畫在同一個(gè)圖中，如圖10，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)直線ME、MF有怎樣的位置關(guān)系？為什么？（預(yù)設(shè)：ME⊥MF，并且據(jù)它們的垂直關(guān)系，又會增加一些求解思路，可引導(dǎo)學(xué)生深入思考，發(fā)現(xiàn)不同的解題路徑）

教學(xué)環(huán)節(jié)（三）變式再練.

變式題：（供聽課檢測使用）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為M的拋物線y=-x2-4x與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，對稱軸與x軸交于點(diǎn)B.

（1）直接寫出頂點(diǎn)M的坐標(biāo).

（2）求tan∠AMB的值.

（3）點(diǎn)C是拋物線上一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD⊥MA于點(diǎn)D.

①當(dāng)點(diǎn)C、點(diǎn)A關(guān)于直線BM對稱時(shí)，求CD的長；

②設(shè)直線MC交x軸于E，當(dāng)tan∠MCD=2時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

③若△MCD與△MAB相似，求滿足條件的點(diǎn)C的坐標(biāo).

圖10

三、關(guān)于難題解題教學(xué)的進(jìn)一步思考

面對難題的教學(xué)，我們首先要辨析該題是否有深入研究的價(jià)值，功利一點(diǎn)看，即其是否為本地區(qū)中考考查的重點(diǎn)；從學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展來看，它能否反映數(shù)學(xué)本質(zhì)，對發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維有沒有作用；等等.我們深入思考時(shí)，還可從如下一些方向追問自己，比如：

1.怎樣突破這道試題的思路？有哪些不同的解題途徑？

2.解題教學(xué)時(shí)可以設(shè)置怎樣的預(yù)熱問題，以便學(xué)生更好地“迎難而上”？

3.解后如何引導(dǎo)學(xué)生反思？思路如何能自然而然地發(fā)生？

4.可以收獲哪些解題經(jīng)驗(yàn)或模式？

5.還有哪些考題有類似的結(jié)構(gòu)？

6.這道試題可以怎樣包裝、命制出一道含3個(gè)小問、層層“遞進(jìn)”的壓軸題？

……

經(jīng)常對一些難題自發(fā)開展上述追問或研究，我們對難題的思考也就能達(dá)到一個(gè)新的高度，也能帶領(lǐng)學(xué)生更好地理解難題，挑戰(zhàn)難題，從容應(yīng)對難題.

1.王秀梅.習(xí)題課教學(xué)：從“拿來主義”走向編題變式——以“數(shù)軸再認(rèn)識”習(xí)題課為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（10）.

2.朱金祥，劉東升.數(shù)學(xué)教學(xué)中例題變式的策略——基于教學(xué)追問的視角［J］.教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)版），2016（09）.

3.孟慧.幾何綜合題研究：從思路貫通到教學(xué)微設(shè)計(jì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（9）.

4.楊衛(wèi)東.客從何處來：一道幾何把關(guān)題的命制歷程［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（8）.