例析矛盾分析法在多變量數學問題中的運用

西安交通大學蘇州附屬中學 (215028) 王麗利

例析矛盾分析法在多變量數學問題中的運用

西安交通大學蘇州附屬中學 (215028) 王麗利

馬克思主義哲學原理告訴我們：矛盾存在于一切事物的發展過程中，一切事物都是運動的，在運動過程中存在著各種矛盾，它們的地位和作用又不盡相同，在矛盾系統中居于支配地位、對事物發展過程起決定作用的矛盾，我們稱為主要矛盾，其它矛盾則稱為次要矛盾.我們在綜合把握事物的矛盾系統時，一方面要注意整個事物中諸多矛盾的協同發展，另一方面又要分清主次，著重抓主要矛盾，這樣才能理清事物發展的主要線索.

矛盾分析法對數學解題具有重大的指導意義.在一個多變量數學問題中，我們選擇一個變量作為主要變量，而將其余變量當作次要變量(或常數)，通過對主要矛盾的研究、分析，確定解題方向，這種方法我們稱為主元法.

例1 (日本高考題)設不等式2x-1>m(x2-1)對滿足|m|≤2的一切m的值成立，求x的范圍.

分析:不等式mx2-2x+1-m<0中有兩個變量x，m，受思維定勢影響，我們習慣上把x作為主要變量，將不等式變形為mx2-2x+1-m<0，撇開不等式難解不說，即使解得x的范圍，也必然與m有關，因此你的解題才走到中途點，還要繼續考慮恒成立的條件，徹底擺脫變量m；如果由構造函數y=mx2-2x+1-m，但x的范圍是解題目標，也就是說你無法預先確定定義域，因而你構造的是一座空中樓閣.

多次受挫，怎么辦？以m為主要變量如何？

原不等式變形為m(x2-1)-(2x-1)<0,令f(m)=(x2-1)m-(2x-1)(-2≤m≤2).

因此以m為主要變量構造函數f(m)，情況大為改觀了，此時函數f(m)的定義域確定了，有了穩固的大本營，解題可以暢通無阻地推進了.

例2 (課后習題改編)x、y、z∈R,在△ABC中，求證：x2+y2+z2≥2xycosC+2zxcosB+2yzcosA.

分析:本題中有六個變量x、y、z與A、B、C，可謂復雜.我們選擇x為主要變量，則原不等式整理為

x2-2(ycosC+zcosB)x+y2+z2-2yzcosA≥0.

抓住了主要矛盾，也就能駕馭事物的發展過程，因此只要驗證上式的判別式△≤0.

△=4(ycosC+zcosB)2-4(y2+z2-2yzcosA)=4(-y2sin2C-z2sin2B+2yzcosBcosC+2yzcosA)=4[-y2sin2C-z2sin2B+2yzcosBcosC-2yzcos(B+C)]=4(-y2sin2C-z2sin2B+2yzsinBsinC)

=-4(ysinC-zsinB)2≤0.

評注:正是抓住了主要矛盾，一個復雜問題迎刃而解了.例2被稱為三角形鑲嵌不等式，通過取特殊值，我們可以成批地得到三角不等式.如：

例3 (全國競賽題)求一切實數p，使三次方程5x3-5(p+1)x2+(71p-1)x+1=66p的三個根均為自然數.

分析:原方程變形為5x3-5(p+1)x2+(71p-1)x+1-66p=0.即5x2(x-1)-(x-1)-p(5x2-71x+66)=0,(x-1)(5x2-1)-p(x-1)(5x-66)=0,(x-1)(5x2-5px+66p-1)=0.

很多選手都是這樣求解，實際上沒有捕捉到主要矛盾，本題的焦點是：兩根x1,x2均是自然數，因而x1,x2是優先于p的主要變量，通過對x1,x2的分析，才能更好地確定解題方向.

由②③消去p得5x1x2=66(x1+x2)-1,即(5x1)(5x2)=66(5x1+5x2)-5,(5x1-66)(5x2-66)=1×4351=19×229=(-1)×(-4351)=(-19)×(-229),故5x1-66與5x2-66是4351的約數，共可列出8個方程組，易得p=76，滿足①，即存在唯一實數p=76，使原方程有三個自然數解.

在日常教學中,引導學生接觸哲學,教會學生利用哲學的思想方法解決數學問題,這對于提高學生的學習效率、培養適應個人終身發展和社會發展需要的必備品格與關鍵能力都是很有好處的.培養學生的探究精神和數學素養，是在數學學習過程中逐步形成的，不能只流于形式和口號，而要扎扎實實地落實在教師的教學實踐和學生學習的每一個環節、每一處細節之中.