深度挖掘教材 培育核心素養(yǎng)—“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)凹凸性中的作用”教學(xué)設(shè)計(jì)及反思

深圳外國語學(xué)校(518083) 朱紅光

深度挖掘教材 培育核心素養(yǎng)—“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)凹凸性中的作用”教學(xué)設(shè)計(jì)及反思

深圳外國語學(xué)校(518083) 朱紅光

廣東省中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)于2016年5月18日至19日舉辦全省高中青年教師數(shù)學(xué)問題講授核心片段展示與培訓(xùn)活動(dòng),活動(dòng)以“研討高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)落實(shí)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的策略和方法、深化高中數(shù)學(xué)教學(xué)改革,造就一批數(shù)學(xué)名師和學(xué)科領(lǐng)軍人物”為主題.筆者代表深圳市展示了公開課“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)凹凸性中的作用”,本節(jié)課選自高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-2第一章第三節(jié)例3.筆者根據(jù)課程特點(diǎn)和高二學(xué)生認(rèn)知水平,運(yùn)用信息技術(shù)深度挖掘教材,引導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),親身感受導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)凹凸性中的作用的全過程,培育學(xué)生直觀想象與數(shù)學(xué)抽象兩大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),獲得了專家與聽課老師的高度評(píng)價(jià),榮獲廣東省青年教師數(shù)學(xué)問題講授核心片段展示特等獎(jiǎng).下面將教學(xué)設(shè)計(jì)及反思整理成文,與大家交流.

一、教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)要求并結(jié)合本節(jié)課的內(nèi)容和高二學(xué)生已具備的知識(shí)、能力和心理特點(diǎn),確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為:

1.借助于計(jì)算機(jī)動(dòng)畫演示與幾何畫板演示,開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法解決例題3,初步理解導(dǎo)數(shù)反映的變化率的特點(diǎn);了解凸函數(shù)、凹函數(shù)的圖象特征;理解有關(guān)凸函數(shù)、凹函數(shù)的相關(guān)結(jié)論．

2.通過解決實(shí)際問題的過程,認(rèn)識(shí)到生活中處處皆數(shù)學(xué),學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問題,從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系,從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu),并且用數(shù)學(xué)符號(hào)或者數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征．

二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn): 例3的解決過程及結(jié)合例3研究凸函數(shù)、凹函數(shù)的性質(zhì)．

教學(xué)難點(diǎn): 探究凸函數(shù)、凹函數(shù)的性質(zhì)的過程．

三、教學(xué)流程

圖1 教學(xué)流程圖

四、教學(xué)過程

例3．如圖,水以恒速(即單位時(shí)間內(nèi)注入水的體積相同)注入下面四種底面積相同的容器中,請(qǐng)分別找出各容器對(duì)應(yīng)的水的高度h與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系圖像．

圖2

設(shè)計(jì)意圖: 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)凹凸性中的作用非常抽象,學(xué)生難以理解,借助于計(jì)算機(jī)動(dòng)畫演示與幾何畫板演示,深度挖掘教材例3所蘊(yùn)涵的函數(shù)凹凸性,能夠有效地突破教學(xué)難點(diǎn),使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光去觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問題,從現(xiàn)實(shí)生活實(shí)例抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì).

(一)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)直觀想象

師: 如何解決這個(gè)問題呢?我們不妨注水試試看.(播放flash動(dòng)畫,圖3、圖4).

圖3 計(jì)算機(jī)動(dòng)畫演示前

圖4 計(jì)算機(jī)動(dòng)畫演示后

師: 根據(jù)這個(gè)實(shí)驗(yàn),我們輕而易舉得到了問題的答案,那我們是不是心滿意足了呢?當(dāng)然不是,我們更希望利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)來解釋一下為什么會(huì)這樣?怎么做呢?

我們?cè)僦噩F(xiàn)剛才的注水過程.先看第一個(gè)容器,圓柱形的,上下一樣粗.我們先注入1單位時(shí)間的水,此時(shí)容器中的水面高度對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)值;因?yàn)橐紤]函數(shù)的圖像,所以我們干脆在平面直角坐標(biāo)系中描出時(shí)間與水面高度相對(duì)應(yīng)的點(diǎn);再注入1單位時(shí)間的水,描出第二個(gè)點(diǎn),繼續(xù)注水,就有了第三個(gè)第四個(gè)點(diǎn).我們看到,在恒速注水的過程中,單位時(shí)間內(nèi)的注水量是相同的,所以,容器內(nèi)水面高度的改變量是不變的,描出的這些點(diǎn)分布在一條直線上,即水深與時(shí)間呈線性關(guān)系,如圖5.

圖5

圖6

再看第二個(gè)容器,是圓臺(tái)型的,下粗上細(xì).我們?nèi)匀幻看巫⑷?單位時(shí)間的水,隨著容器內(nèi)水面的上升,容器越來越細(xì),所以每個(gè)單位時(shí)間內(nèi)水面高度的改變量在逐漸增大,描點(diǎn)后再用光滑的曲線連接,如圖6.我們看到水面高度與時(shí)間的函數(shù)圖像是越來越陡峭的.同理,我們可以分析其他兩個(gè)容器.利用這種方法,我們順利解決了例3.

師: (問題1)你有其他的判斷方法嗎?

生1: 我用特殊分析法: 選注水時(shí)間的一半.以第二個(gè)容器為例,恒速注水時(shí),此時(shí)容器中的水量是總注水量的一半,而容器中的水面高度不及總水面高度的一半.由圖6的圖象可知,應(yīng)該對(duì)應(yīng)A選項(xiàng).同理,我們可以分析其他三個(gè)容器.利用這種方法,例3也迎刃而解.

圖7

圖8

圖9

師: 還有其他的判斷方法嗎?

生2: 用增量分析法: 考察自變量逐次增加δx...... (圖8,圖9)

師: 還有其他的判斷方法嗎?我們可以用瞬時(shí)分析法,結(jié)合導(dǎo)數(shù)值的變化對(duì)函數(shù)圖象的影響進(jìn)行分析(圖10).

圖10

設(shè)計(jì)意圖: 首先用計(jì)算機(jī)制作flash動(dòng)畫模擬倒水過程,讓學(xué)生直接觀察;引導(dǎo)學(xué)生分析特殊時(shí)刻: 一半時(shí)間容器中的水深(或一半水深時(shí)對(duì)應(yīng)的注水時(shí)刻);最后引導(dǎo)學(xué)生從水深隨時(shí)間的變化快慢進(jìn)行分析.瞬時(shí)分析法—結(jié)合導(dǎo)數(shù)值的變化對(duì)函數(shù)圖像的影響進(jìn)行分析.

(二)合作探究數(shù)學(xué)建構(gòu)

師: 現(xiàn)在再讓我們來關(guān)注一下A,D兩個(gè)選項(xiàng)的函數(shù).我們看到,這兩個(gè)函數(shù)都是單調(diào)遞增的,但是一個(gè)向下彎曲成凹形,一個(gè)向上彎曲成凸形.大家回憶一下,我們以往所研究的函數(shù)中,有沒有哪些函數(shù)的圖像也具有這種特征呢?沒錯(cuò),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),二次函數(shù)等等這些函數(shù)的圖像都具有類似的特征,因此我們有必要研究一下這類函數(shù)的性質(zhì).為了方便研究,我們不妨把向下彎曲成凹形的函數(shù)稱為凹函數(shù),向上彎曲成凸形的稱為凸函數(shù).那么,如何從數(shù)的角度來定義函數(shù)的凹凸性呢?(問題2)

圖11

大家想一下,所謂的凹和凸是針對(duì)什么而言的呢?沒錯(cuò),是“平”.那我們能不能在圖像中作出“平”的要素呢?沒錯(cuò),我們可以在曲線上任取兩點(diǎn)連接成曲線的弦,那我們看到所謂的“凸”是指,曲線上與弦相對(duì)應(yīng)的那一段在弦的上方.那么,上方下方又如何量化呢?是的,我們可以借助于兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的大小來表示.從圖10中我們看到,橫坐標(biāo)相同時(shí),曲線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)要大于弦上的點(diǎn)的縱坐標(biāo).因?yàn)橄沂侨稳〉?為了簡(jiǎn)便,我們可選取橫坐標(biāo)為時(shí)所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值,顯然一個(gè)是一個(gè)是從圖中我們可以看出,對(duì)于凸函數(shù)而言總有當(dāng)x1=x2取不等式取等號(hào).而凹函數(shù)恰恰相反,有

我們利用幾何畫板(圖11)分析: 當(dāng)x1,x2變化時(shí),上述不等式恒成立的,也就是與x1,x2的選取無關(guān).因此,我們可以定義函數(shù)的凹凸性: 若平均數(shù)的函數(shù)值總大于等于函數(shù)值的平均數(shù),則稱函數(shù)是該區(qū)間上是凸函數(shù),反之,則稱為凹函數(shù).

(教師引導(dǎo)學(xué)生理性分析凹凸函數(shù)的定義、函數(shù)值的特點(diǎn)以及導(dǎo)數(shù)值的變化對(duì)函數(shù)圖象的影響,并用幾何畫板演示學(xué)生發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.)

圖12

圖13

圖14

圖15

師: (問題3)凹凸函數(shù)有什么性質(zhì)呢?

那我們自然要問凹凸函數(shù)有什么性質(zhì)呢?我們先研究凸函數(shù)(圖11),由例3注水的過程得到啟發(fā),我們讓自變量x逐次增加一個(gè)單位Δx,由函數(shù)圖像可知相應(yīng)的函數(shù)值的增量Δyi越來越小.而凹函數(shù)(圖12,圖13,圖14,圖15)呢, Δyi是越來越大的.因此,我們得到:

凹凸函數(shù)性質(zhì)1: 若f(x)為凸函數(shù),當(dāng)自變量x逐次增加一個(gè)單位Δx時(shí),函數(shù)值的增量Δyi越來越小,而凹函數(shù)恰恰相反,Δyi越來越大.

凹凸函數(shù)還有其他的性質(zhì)嗎?我們回顧剛才的分析,考慮了Δx,Δy,那大家想一下,這兩個(gè)量和什么知識(shí)有關(guān)呢?變化率!變化率又和什么有關(guān)呢?函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值.

問題4: 函數(shù)的凹凸性與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系?

圖16

圖17

既然看圖像,那就要找導(dǎo)數(shù)的幾何意義即切線的斜率(圖16,圖17).所以,我們利用幾何畫板(圖9)分析: 在圖中作出曲線上的點(diǎn)的切線,顯然,點(diǎn)A沿著曲線移至點(diǎn)B,切線變的平緩,切線的斜率變小,也就是導(dǎo)數(shù)值變小;而對(duì)于凹函數(shù),切線變的陡峭,切線的斜率是增大的,也就是導(dǎo)數(shù)值變大.我們?cè)倮脦缀萎嫲蹇匆幌逻B續(xù)的過程,以凹函數(shù)為例,我們看到,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P沿著曲線向右移動(dòng)時(shí),切線越來越陡峭,切線的斜率越來越大,也就是說當(dāng)自變量x增大時(shí),導(dǎo)數(shù)值f′(x)是增大的,即導(dǎo)函數(shù)是單調(diào)遞增的.并且我們看到,導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大,函數(shù)的圖象就比較“陡峭”,反之呢,就“平緩”一些.

通過剛才的研究分析,我們得到了凹凸函數(shù)的又一個(gè)性質(zhì):

凹凸函數(shù)性質(zhì)2: 函數(shù)在區(qū)間上為凸函數(shù),則導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞減;反之,若為凹函數(shù),導(dǎo)函數(shù)則單調(diào)遞增.

問題5: 你能利用導(dǎo)數(shù)對(duì)例3進(jìn)行分析判斷嗎?

那大家再想一下,你能利用導(dǎo)數(shù)值的變化特點(diǎn)再對(duì)例3進(jìn)行判斷分析嗎?沒錯(cuò),對(duì)于圓柱形容器,注水過程中,水深隨時(shí)間是均勻變化的,也就是導(dǎo)數(shù)值為常數(shù),反映到圖像上是線性關(guān)系;而對(duì)于第二個(gè)容器,下粗上細(xì),隨著容器內(nèi)水面的上升,水深隨時(shí)間變化的越來越快,也就是導(dǎo)數(shù)值增大,所以,函數(shù)圖像變的陡峭一些.同理可以分析另兩個(gè)容器.

設(shè)計(jì)意圖: 教師設(shè)計(jì)系列問題,借助于幾何畫板軟件開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),引導(dǎo)學(xué)生通過觀察分析、合作探究,初步理解導(dǎo)數(shù)反映的變化率的特點(diǎn);了解凸函數(shù)、凹函數(shù)的圖象特征;歸納總結(jié)出凹凸函數(shù)性質(zhì).

(三)深入分析拓展延伸

圖19

思考題: ?t∈(0,1),是否有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)(圖19)?

師: 剛才我們結(jié)合對(duì)例3的研究分析,利用數(shù)形結(jié)合得到了凹凸函數(shù)的定義,并進(jìn)一步研究了凹凸函數(shù)的兩個(gè)性質(zhì).凹凸函數(shù)還有沒有其他的性質(zhì)?凹凸函數(shù)還可以怎樣定義?若函數(shù)為凸函數(shù),有沒有這樣的不等式成立?請(qǐng)大家繼續(xù)研究.

設(shè)計(jì)意圖: 啟發(fā)學(xué)生利用所學(xué)知識(shí),對(duì)問題進(jìn)行探究分析,加深對(duì)知識(shí)的理解和掌握.

五、教學(xué)反思

教師在日常課堂教學(xué)中如何落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)呢?章建躍先生認(rèn)為: 教師應(yīng)增強(qiáng)課程意識(shí),從平凡的日常教學(xué)中思考落實(shí)新理念的方法,在數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中尋找發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的途徑,這是課堂教學(xué)落實(shí)核心素養(yǎng)的基本出發(fā)點(diǎn).我執(zhí)教的“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)凹凸性中的作用”在日常課堂教學(xué)中培育直觀想象與數(shù)學(xué)抽象等兩個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行了有益的探索與嘗試.

(一)借助于信息技術(shù)開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),有利于發(fā)展直觀想象

直觀想象是指借助空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用幾何圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題．主要包括: 利用圖形描述數(shù)學(xué)問題,建立形與數(shù)的聯(lián)系,構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型,探索解決問題的思路．

直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)命題、分析和理解數(shù)學(xué)命題、探索和形成論證思路的重要手段,是構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)和進(jìn)行邏輯推理的思維基礎(chǔ),是培養(yǎng)創(chuàng)新思維的基本要素．

我用計(jì)算機(jī)制作flash動(dòng)畫模擬倒水過程與幾何畫板動(dòng)態(tài)演示,借助于開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),引導(dǎo)學(xué)生直接觀察與分析,深度挖掘例3所蘊(yùn)涵的函數(shù)凹凸性及其性質(zhì),有助于學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問題,用數(shù)學(xué)思想方法解決問題.在問題解決的全過程中,建立了良好的數(shù)學(xué)直覺,有助于理解數(shù)學(xué)本質(zhì),促進(jìn)學(xué)生直觀想象這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

(二)設(shè)計(jì)系列問題,引導(dǎo)學(xué)生合作探究,培育數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性,得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過程．主要包括: 從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系,從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu),并且用數(shù)學(xué)符號(hào)或者數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征．

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想,是形成理性思維的重要基礎(chǔ),反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征,貫穿在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中．?dāng)?shù)學(xué)抽象使得數(shù)學(xué)成為高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級(jí)的系統(tǒng)．通過數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的培養(yǎng),學(xué)生能夠更好的理解數(shù)學(xué)的概念、命題、方法和體系,形成一般性思考問題的習(xí)慣;能夠在其他學(xué)科的學(xué)習(xí)中化繁為簡(jiǎn),理解該學(xué)科的知識(shí)結(jié)構(gòu)和本質(zhì)特征．

我將現(xiàn)代信息技術(shù)(幾何畫板軟件)與高中數(shù)學(xué)課程(導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)凹凸性中的作用)相融合,運(yùn)用基于信息技術(shù)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式: “數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),直觀想象——合作探究,數(shù)學(xué)建構(gòu)——深入分析,拓展延伸”,精心設(shè)計(jì)了系列問題,引導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),親身感受導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)凹凸性中的作用的全過程,培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

在傳統(tǒng)教學(xué)中,我們很難講授導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)凹凸性中的作用,也很難深度挖掘教材例3所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)本質(zhì).但一旦我們將信息技術(shù)與高中數(shù)學(xué)課程相融合,將計(jì)算機(jī)為核心的信息技術(shù)作為促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的認(rèn)知工具與情感激勵(lì)工具,有助于教師尋找在課堂教學(xué)落實(shí)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的策略、方法與途徑.

[1]章建躍.《樹立課程意識(shí)落實(shí)核心素養(yǎng)》[J],《數(shù)學(xué)通報(bào)》(京),2016. 5.1-4,14