初中數學關鍵教學點《變量與函數》的課例研究

福建省寧德市第十中學(352100) 彭光清

初中數學關鍵教學點《變量與函數》的課例研究

福建省寧德市第十中學(352100) 彭光清

關鍵教學點是指在初中數學教學過程中,某知識內容范圍內一個根本的或核心的教學點,它在教學過程起到“奠基、示范、歸納、引領、啟迪”的作用.變量與函數這節課是初中數學的關鍵教學點.加強關鍵教學點教學,能使學生更好、更快地理解知識、掌握技能、形成能力.

一、教材分析

《變量與函數》是人民教育出版社《義務教育課程標準實驗教科書‘·數學》八年級下冊第十九章第一節第1課時內容．從這一節開始教材正式引入函數的概念．該節有兩個知識點: (1)常量與變量的概念,(2)函數概念．

從知識層面講,函數是描述運動變化規律的重要數學模型,它刻畫了變化過程中變量之間的對應關系,是近代數學最基本的概念之一,在數學發展過程中起著十分重要的作用,許多數學分支都是以函數為中心展開研究的．學生在學習本章函數概念之前,在第二學段通過比例關系的學習,知道兩個量中相互依存關系,在第三學段通過學習代數式、方程、不等式等內容,滲透變化與對應的思想,為理解函數概念做準備．函數概念是初中數學的關鍵教學點,是繼續學習一次函數、二次函數、反比例函數等內容的基礎．函數與方程、不等式等知識有密切的聯系．

從思想方法層面講,本章一次函數是函數值變化量與自變量變化量的比值固定不變的簡單函數模型．通過研究一次函數可以獲得初中函數研究的一般步驟(下定義——畫圖象——觀察圖象——概括性質)和基本思想(模型思想、數形結合的思想,運動變化和對應思想),發展數學觀察、表征、抽象概括和推理能力．函數概念學習過程中蘊含的核心數學認知活動是數學抽象概括活動．

函數作為從數量角度反映變化規律的數學模型,在概括函數概念時要處理好: 變量y要成為變量x的函數,需滿足兩個條件: (1)在同一變化過程中,兩個變量x和y相依變化; (2)對于變量x的每一個確定值,變量y都有唯一確定的值與之對應.這是關于函數的最基本、最樸素的刻畫,是函數概念的關鍵點,是核心所在.

函數是一個抽象概括程度很高的概念,在教學中,學生能否理解函數內容的概括性、符號的抽象性、形式的多樣性等特點,能否體會變量間的“單值對應”關系這一教學重點是掌握函數的概念的核心．

二、課例分析

概念教學的核心是概括,是以典型具體事例為載體,引導學生分析其屬性,抽象概括出共同的本質屬性獲得概念,再通過概念的應用,達到對概念的理解．由此,函數作為初中數學“概念教學的典范”,其教學幾個基本環節依然如此．

(一)函數概念的引入

【問題1】汽車以60km/h的速度勻速行駛,行駛里程為s km,行使時間為t h,先填下面的表,再試用t的式子表示s.

行駛時間t/h 1 2 3 4 5 6 7行駛里程s/(km/h)

1．先填上面的表,再試用t的式子表示s.

2．事件中有幾個數值發生改變的量?有幾個數值不變的量?

3．變量與常量如何定義?

4．變量與常量在生活中的例子有哪些?

師生活動: 首先通過填表,教師與學生一起分析問題1變化過程中變量之間的關系s=60t,引導學生得出有兩個變量t,s,一個不變的量60,然后發現s隨著t的變化而變化．

得出,變量與常量的定義．

常量: 在某一變化過程中,始終保持不變的量;

變量: 在某一變化過程中,可以取不同數值的量．

根據學生回答,教師追問s是怎樣隨著t的具體變化而變化呢?

當t的數值取定后,s的值有一個且只有一個．也就是說,當t取定一個值時,s的值由t的值唯一確定.

問題1變化過程: 有兩個變量t,s．當t取定一個值時,s有唯一確定的值與之對應．

【評析】通過探究常量和變量,初步概括變量的聯動性．為研究函數的概念做好鋪墊.

【反思】函數概念引入,需要創設有利于教學發展的情景．教學情境必須為課堂教學服務,必須為教學目標服務．教學情境的創設不能為情境而情境,不能和教學內容脫節,不能只有“面子”沒有“里子”．其次情景的選擇必須與學生的認知水平相符合．問題1就符合概念的引入要從數學概念體系的發展過程或解決實際問題的需要入手．

(二)函數概念的形成

【問題2】下面各題的變化過程中,各有幾個變量?其中一個變量的變化是怎樣影響另一個量的變化的?

(1)每張電影票的售價為10元,設某場電影售出x張票,票房收人為y元．

(2)如圖1,用l0 m長的繩子圍一個矩形,矩形的一邊長為x,它的鄰邊長為y．

(3)如圖2,圓形水波慢慢地擴大,在這一過程中,圓的半徑為r,面積為S．

圖1

圖2

追問2 對于變化過程問題2(1)(2)(3),變量之間又有什么關系?

師生活動: 引導學生對變化過程問題2(1)(2)(3)進行類似于變化過程問題1變量關系分析,并得到如下結論:

問題2(1): 有兩個變量x,y,當x取定一個值時,y有唯一確定的值與之對應．

問題2(2): 有兩個變量x,y,當x取定一個值時,y有唯一確定的值與之對應．

問題2(3): 有兩個變量r,S,當r取定一個值時,S有唯一確定的值與之對應．

【評析】如何把具體的實例進行抽象,形式化為數學知識是理解函數概念的關鍵．這里提出的問題“下面各題的變化過程中,各有幾個變量?其中一個變量的變化是怎樣影響另一個量的變化的”是一個關鍵的“腳手架”,借助“腳手架”,學生經歷數學概念的形成過程,引導學生認識為什么要引進變量、常量、函數的概念,逐步了解如何給數學概念下定義．通過師生共同討論,分析問題1(1)中一個變量的變化對另一個變量變化的影響,在此基礎上,學生獨立進行問題2(1)(2)(3)變量之間對應關系的分析,為發現這些對應關系的共同特征,完成對用函數的解析式表示兩個變量間互相依賴關系的認識,實現函數概念的第一次概括提供歸納的樣例．

【反思】學生在學習函數概念之前,接觸的基本上是常量數學的內容,是靜態的數學知識．而函數研究的是變量與變量之間的關系,其特征是變化的、發展的、處于兩個量的相互聯系之中的．因此,了解函數的概念,需要學生的思維達到辨證思維的形態．然而,此時學生的辨證思維水平還不很成熟,這個矛盾是函數概念學習中認知障礙的根源．因此,在函數概念的形成過程,要先提供淺顯的具體例證,讓學生理解、概括其本質屬性——變化與對應．

(三)函數概念的明確

【問題3】能用自己的語言說說這些問題中變量之間關系的共同特點嗎?試一試!

師生活動: 教師引導學生歸納,變化過程中有兩個變量,當一個變量取定一個值時,另一個變量有唯一確定的值與之對應．如由s=60t,當t=1,2,3時,能分別求出唯一的s值．

【評析】進一步理解用解析式表示的變量之間的對應關系的共同特征的初步概括.

【問題4】下面是我國體育代表團在第23～30屆夏季奧運會上獲得的金牌數統計表．把屆數和金牌數分別記作兩個變量x和y,對于表中的每一個確定的屆數x,都對應著一個確定的金牌數y嗎?

屆數x/屆23 24 25 26 27 28 29 30金牌數y/枚15 5 16 16 28 32 51 38

引導學生說出屆數與金牌數的對應關系,體會用表格也可以由一個變量的值確定出另一個相關變量的值．

【評析】讓學生感受到當一個變量取定一個值時,可以通過查表唯一確定出另一個變量的值,突出函數的本質屬性,剝離“用式子表示變量關系”這一非本質屬性.

【問題4】如圖3,是北京某天的氣溫變化圖,你能說出9: 00,10: 00,13: 00的氣溫嗎?

師生活動: 教師在網上打開天氣預報頁面,引導學生閱讀氣溫變化圖,體會根據氣溫圖可以根據時間確定氣溫數值,體會這也是變量之間的單值對應關系．追問一天中,當時間確定時,氣溫的數值是否也是唯一確定的?

圖3

【評析】通過比較異同點,揭示函數的本質概念和不同的表示方法．讓學生體會到,當一個變量取定一個值時,通過圖象也可以唯一確定另一個變量的值,突出函數的本質屬性,剝離“用式子表示變量關系”這一非本質屬性．

【反思】問題1、2確立了函數概念的“生長點”,學生體會到了函數是變量之間的對應關系,懂得變量之間可以用解析式進行表示．而通過問題3、4讓學生從對函數解析法的理解過渡到函數概念的本質是兩個變量間互相依賴關系的認識,完成對函數概念內涵的第二次抽象認識．在教師引導下,學生探索了函數的三種表示方法: 解析法、列表法、圖象法,完成概念的類化過程,初步明確了函數概念,能準確的數學語言描述概念的內涵與外延．學生在經歷函數概念抽象化、一般化、結構化過程中,感到學習函數的方法與以前學習代數和幾何的方法有著明顯的不同,如函數的表達方式就是多樣化等．如何在教函數時奠定知識的“延伸點”,使學生適應這種多樣化,逐漸認識到這些方法的作用,了解各種方法在不同情況下使用,會用不同的方法表示函數是教學中應該予以關注問題．

(四)函數概念表示

【問題5】對于上述實際問題中兩個變量之間的關系,當一個變量取定一個值時,既有通過式子確定另一個變量的唯一的值,又有通過對應表格確定另一變量唯一的值,還有通過圖象確定另一個變量的唯一的值．綜合這些現象,你能歸納出上面實例中的變量之間關系的共同特點嗎?請大家互相討論．

師生活動: 學生分組討論,歸納出如下結論: 在一個變化過程中,有兩個變量,當一個變量取定一個值時,另一個變量有唯一確定的值與之對應．教師與學生一起概括出函數概念: 一般地．在一個變化過程中,如果有兩個變量x和y,并且對于x的每一個確定的值,y都有唯一確定的值與其對應,那么我們就說x是自變量,y是x的函數．

追問請結合問題2(1)說說函數定義中“變化”“對應”“唯一確定”的含義．

師生活動: 學生交流,教師引導學生進行點評．并順勢帶出函數值的概念:

設y是x的函數,如果當x=a時,對應的y=b,那么b叫做當自變量的值為a時的函數值．

【評析】函數涉及到很多復雜的層次和許多相關的上位概念．其中的層次主要有: (1)在一個“變化”過程中;(2)存在“兩個”變量;(3)這兩個變量具有一定的“聯系”,一個變量的變化會引起另一個變量也“隨之”變化;(4)兩個變量存在“單值對應”的關系．相關的上位概念主要有變量、對應等,主要的特征有變量、對應、唯一等．教師與學生在前面分步概括的基礎上,概括出三類不同表現形式的變量對應關系的共同特征,形成函數概念.

【反思】初中函數概念依賴于連續變化模型．它主要強調函數概念中的“對應”,并且明確是“y對x是單值對應”,這是初中數學中的函數定義的核心．

(五)函數概念的鞏固和應用

練習l. 下面是我國大陸地區若干年份的人口統計表,表中的人口數y是年份x的函數嗎?

年份x/年人口數y/億1984 10.34 1989 11.06 1994 11.76 1999 12.52 2010 13.71

練習2. 下列問題中哪些是自變量?哪些是自變量的函數?試寫出用自變量表示函數的式子:

(1)每分鐘向一水池注水0.1m3．注水量y(單位: m3)隨注水時間x(單位: min)的變化而變化．

(2)改變正方形的邊長x,正方形的面積S隨之變化．

(3)某汽車油箱中有50L油,它在高速公路上行駛,耗油量為每0.01 L/km,汽車行駛的里程為xkm,油箱中剩下的汽油量為yL．

【評析】形成函數概念后,以實例(正例)為載體分析關鍵詞的含義,及時進行概念辨析．

練習3. 周末,小李8時騎自行車從家里出發,到野外郊游,16時回到家里.他離開家后的距離s(km)與時間t(h)的關系如圖所示.

圖4

(1)當t=12時,s=___;當t=14時,s=___;

(2)小李從___時開始第一次休息,休息時間為___h,此時離家___km.

(3)距離s是時間t的函數嗎?時間t是距離s的函數嗎?

練習4.P是數軸上的一個動點,它所表示的實數是m,點P到坐標原點的距離為s．

(1)s是m的函數嗎?為什么?

(2)m是s的函數嗎?為什么?

師生活動: 學生思考,獨立完成．教師巡視個別輔導,提問學生并引導自我評價或互相評價．

【評析】通過正反兩方面的例子進一步進行函數概念辨析,深化對函數概念的理解．

【反思】學生對概念的理解需要經歷一個從模糊到清晰的過程,通過正例與反例的對照,才能準確理解概念的內涵．反例引用的時機、反例的量要恰到好處．過早、過多的反例會干擾學生對概念的準確理解．

三、教學建議

1．緊扣函數概念本質,加強概念形成的教學

初中函數概念的本質是“單值對應”關系．單值對應包括了兩層含義: 第一,兩個變量是互相聯系的,一個變量變化時,另一個變量也發生變化;第二,函數與自變量之間是單值對應關系,自變量的值確定后,函數的值是唯一確定的．

根據初中函數概念的特征與初中學生的認知特點,函數概念教學應采用概念形成方式,即從典型、豐富的實例出發,經過學生自己的實踐活動,從中歸納、概括出一類事物的共同本質特征,從而理解和掌握概念．為了幫助學生形成函數概念,教師應選擇合適的情景,創設大量符合學生認知特點的,反映這種變化規律的實例(解析式的、圖象的、表格的),讓學生經歷“發生發展過程”,獨立概括出函數概念——“單值對應”的本質屬性．在此基礎上,再“舉一反三”鞏固和理解函數概念的“單值對應”,是促進概念形成的教學的關鍵．

教師對于函數概念教學的重要性要有充分的認識,要舍得花時間、花力氣．所以不僅函數概念教學,對于后續特殊的函數(如正比例函數、一次函數、反比例函數、二次函數等)學習,也要注意把握其概念的本質,注意概念的形成的教學．

2.函數概念教學要有層次性

函數概念具有內容的概括性、符號的抽象性、形式的多樣性等特點,學生初次接觸函數概念時會感到十分困難．函數概念教學要注意層次性,首先,通過熟悉的典型實例引入,讓學生初步感知變量間關系．接著,用同類型的具體例子,從外觀上分析數量間的函數關系,形成對函數概念的表面理解.第三,用不同形式的兩個例子,探索函數的運動變化的性質,初步抽象出函數本質特點．第四,借助變量之間的聯系的辨析,揭示函數的本質特點,借助變量之間的聯系完成對函數概念的抽象與理解．最后,學生運用概念解決一些簡單問題,完成對函數概念比較全面的把握．

3.重視從函數思想角度進行函數概念教學

函數知識的學習最終目的是對函數思想的領悟和掌握,而學習過程中函數思想方法的滲透,又可以加深對函數概念的理解．

變化是函數概念產生的源頭,是制約概念學習的關節點,同時也是概念教學的一個重要突破口．如教學問題1中s=60t的時候,學生往往將“60t”當作孤立的算式,簡單將一個個數值代入求值后填入表中,過程只是運用關系式算出答案,并沒有真正體會到在這個過程中變量t的變化將引起變量s也隨之變化．所以,教師要通過大量的典型的實例,盡可能多地取自變量的值,得到相應的函數值,讓學生反復觀察、反復比較、反復分析每個具體問題中的量與量之間的變化關系,把靜止的表達式(或曲線、表格)看作動態的變化過程,讓他們從原來的常量、代數式、方程和算式的靜態的關系中逐漸過渡到變量、函數這些表示量與量之間動態的關系上,進而使學生的認識實現由靜態到動態的飛躍．

在學習函數概念前,學生對“對應”的思想已有一些初步的認識,因此,在函數概念教學時,教師應通過具體實例的分析讓學生進一步“感受”對應的思想,使其由“感受”向“領悟”靠近．同時,還應當通過非概念變式讓學生明確函數中“對應”是“單值”對應,即只有“唯一”確定的變量y與變量x對應．

四、思考問題

1.在函數概念教學之前,學生在哪些內容的學習中提前滲透了變量與對應的思想?

2.函數的上位概念是什么?在函數概念形成中,如何理解“單值對應”?學生學習過程的難點是什么?

3.你認為函數概念體現了代數概念的哪些特征?學生構建函數概念應體現代數思維的什么特征?

4.如何理解函數不僅是一種重要的數學概念,而且是一種重要的數學思想?教授函數概念時應該著重培養學生什么數學素養?

[1]石民生.初中數學課例點評[M].西安: 陜西師范大學出版社,2008.

[2]顧繼玲.初中階段函數概念教學中應處理好的幾個關系[J].中學數學教學參考,1996,8-9.P22-23.

[3]任明俊,汪曉勤.中學生對函數概念的理解——歷史相似性初探[J].數學教育學報,2007,11,P84-87.

[4]李海東.從各版課標教材的比較談初中函數教學[J].數學通報, 2010,12,P1-5.