留白 游戲 享受
——高中數學課堂追求本真、靈動三例

江蘇省常熟市中學 (215500) 吳旭紅

留白 游戲 享受
——高中數學課堂追求本真、靈動三例

江蘇省常熟市中學 (215500) 吳旭紅

2016年6月16日參加了常熟市中學數學特級教師工作室2016年第三次活動，聆聽了蘇州市教育科學研究院吳鍔主任的《構建本真靈動的蘇式數學課堂》，對于數學課堂的本真——本質是什么？核心是什么？思維是什么？思維方式是什么？思維品質到思維品格的提升需要靈動的生命氣象，讓研究成為一種常態，讓課堂成為學生為主體，師生共同的舞臺，讓每個學生可以自由思想，獨立思考，勇敢嘗試，迸發出生命的智慧潛能，體驗生命成長的幸福感覺等有了更深的認識．

本文通過三節課簡錄或部分片段，展示教師如何設計實施來體會高中數學課堂的本真與靈動．

一、留白顯創造，歸納是本質，感悟在探究

案例一 (高一)滸浦中學高一(8)班借班上課(常熟市中學沈宏《數列通項公式的求法》2016.6.16)

引入：裴波拉契數列引出數列遞推公式的概念，指出數列重點研究遞推關系，數列的通項是數列學習的核心問題．

溫故知新1 已知數列{an}中，a1=1,an+1=an+2，則an= .

生集體回答結果，某生具體回答思維過程，復習了等差數列定義、通項公式的求解方法(疊加法)，n=1的檢驗，教師引導學生觀察可以這么做的原因(右邊可以求和)，問怎樣的式子可以求和呢？請同學們創造可以求和的題，并自行解決．

已知數列{an}中，a1=1, ，則an= .

學生開始創造．本人坐在兩列中間，周圍有四個同學，左邊兩位女生，右邊兩位男生(下文記為左1左2右1右2)．創造如下．左1：an+1+2=an+4，右1：an+1-an=2n-1，右2：an-an-1=n，左2好不容易寫了個Sn=2n-1，卻沒有做下去，作為聽課老師我覺得她出的也不錯，跟左1類似．可見部分學生對于常數可以求和，等差數列印象深刻，部分學生已經學會變通．

教師投影的是位女生甲的作品：an+1-an=2n．教師跟學生一起檢查書寫過程，要求大家檢驗n=1規范完整，引導學生感悟歸納出an+1-an=f(n)型(可求和)，可用疊加法，友情提示——驗證首項．

溫故知新2 已知數列{an}中，a1=1,an+1=2an，則an= ．

同法處理本問題．教師引導學生觀察出原理——相乘可以上下相消，請學生構造，提醒學生重視乘積可求或者平時作業中遇到怎樣的問題可以用這個來求解．

已知數列{an}中，a1=1, ，則an= ．

思維拓展探究1：已知數列{an}中，a1=1,an+1=2an+2，求an．

教師引導學生分析猜測可能是什么數列？怎么創造條件，學生乙回答，師板書．歸納an+1=pan+c型，適用待定系數法．

學生探究．左1左2右1右2四位同學皆直接取倒數，構造得出．說明學生掌握得很好．

本題取倒數與構造(待定系數法)相結合．左1左2右1右2四位同學皆正確完成．

探究3 已知數列{an}中，a1=1,Sn=2an-1，求an．

思考題：已知數列{an}中，a1=3,an+1=2Sn，求an．

左1左2同學皆用Sn+1-Sn=2Sn，先證{Sn}為等比數列，再求解an，皆為分段形式．右1由an+1=3an,a1=3≠0，得{an}為等比數列，右2類似，投影的同學丁亦是如此，說明學生僅記憶了要檢驗n=1，卻不重視條件對式子的約束．教師的分析到位，之后總結本節收獲，求解數列通項公式的常見方法．

點評：詩云“如切如磋，如琢如磨”，沈宏老師通過“切”——溫故知新，思考初始情境，學生既復習了基礎知識，又理解了其適用的內涵；“磋”——探究新知，大膽留白，鼓勵創造，激活了學生頭腦中已有舊知，進行意義建構，在思維的鍛煉中提高能力；“琢”——思維拓展，逐步深入，放手學生構建新數列，學生憑直覺獲得寶貴經驗，并由表及里，深入理解后解決了取倒數和構造兩者結合的思考題．“磨”——精雕細刻在細微處，沈宏老師根據教學經驗，結合課堂實際，抓住學生在數列學習中對n=1,n≥2等認識上的不足，給出思考題，大膽留給學生處理，讓學生出錯，并在探究3的基礎上，引領學生逐步理解遞推含義，及檢驗的本質——完備性．

二、游戲進課堂，數學映生活，本真引思想

案例二 (高二)2016年4月26日，啟發深度思考，實踐深度教學——常熟市中學數學 “雙主課堂”教學研討活動(江蘇省常熟中學朱峰《基本不等式》)

朱峰老師后來介紹了他設計游戲引入法的原因：通過對教材的分析，感覺無論天平稱重還是弦圖，調價或者用不等式a2+b2≥2ab類比引入，皆感覺學生不好進入角色，后受“女兒跟同學猜拳贏蠶寶寶”的啟發，結合紙牌這個大家都喜歡的工具，設計了紙牌游戲法．

江蘇省教育廳教研室李善良博士點評：本課有四個難點——引入，猜想(成立條件)，證明，幾何解釋，還有各種變式應用．朱峰老師情景創設有趣簡單，猜想結果一定是教師引導，學生歸納出抽象結果，證明方法多，通過這堂課學習,學生對原結構印象深刻，結構變式就強化這個基礎．教師的任務就是教會學生用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界，關注數學本質的揭示，與學生的思維相匹配．

本節課給了“我們要培養學生發現問題，提出問題的能力”一個很好地示范，學生主體得到了充分的體現，增加了基本經驗的積累，智慧逐步生成，師生充滿激情，與實際生活很好地鏈接在一起．通過學生的直觀感受，觀察發現，理解頓悟，深入認識．課堂上有疑問，有猜想，有笑聲．通過體驗生活，讓每一個學生都成為實踐者．

三、學生為主體，配角作引導，自主即享受

案例三 (高三)南京二模試卷講評課片段(常熟市中學高三(10)班 本人2016.4.15)

高三的三輪復習中，有時候，學生做的試卷中一些題目正確率很高，也許有的老師認為學生掌握得不錯，沒有再評講的必要了，但是實際上可以平淡中見神奇，以這些題目為例，復習基礎知識，基本技能，方法選擇，甚至簡化，變化，進行思維訓練，讓學生相互交流，互相評價，讓每一位學生仍有所獲．閱卷過程發現學生本題完成得很好，僅3位同學出現了計算錯誤．即使正確率很高，結合之前學生的復習狀況，學生題目邊上留下的做題痕跡，加之向量兼具數與形的特征，也是知識交匯點，本人仍覺得很有探究一番的必要．

課堂開始，師表揚大家前10題做得很好，11題僅三位同學出錯(錯誤學生開始自己訂正)，首先我們請張譯夫同學上臺給大家介紹他的求解方法(該生以前此類問題常錯，并且喜歡表現，即通常說的常需鼓勵，肯定)．

他在臺上自信地說：我是用基底表示的，我給大家分析一下：

師：嗯，張同學的方法怎樣？

生：挺常規的，兩個向量夾角知道，一邊知道，只是要用到解方程．

師：對，比平時的題稍難一點，但是按常規方法處理也是可行的．那么你還會用什么方法來處理呢？

徐露同學：坐標法．師：請徐露同學給大家看看她的想法．

師：徐露的方法你想到了嗎？(很多學生附和)，沒想到這么做的同學是否已經思考求解了一遍呢？

張文鈞同學提出了不同的意見：老師，把C放在x軸正半軸上，B點坐標是明確的，根據向量相等的關系，也可以求出D點的坐標?。?/p>

師：大家說呢？生：倒也是，反正都是求點的坐標，本質是一樣的．

桂裕華同學：老師，直接用余弦定理就好了！

圖1

師：桂同學什么意思呢？有請桂同學給大家展示．

桂裕華龍飛鳳舞的字瞬間就出現在黑板上，而且寫得超簡潔．

大家：哦！我也這么做的，桂哥強！

師：嗯，不錯．抓住角互補，余弦值相反，設了兩個變量，解方程，基本功不錯，不愧為課代表！大家要向他學習，認真解方程?。?/p>

大家笑了，馬上有學生提醒：老師，海波還有妙法！原來學生正相互積極地探討著呢！

師：大家歡迎陶海波同學！

學生鼓掌歡迎，倒把大個的海波同學弄得有點不好意思了．

陶海波同學：我倒是既沒有基底法，也沒用建標法，解三角形我覺得煩，然后根據向量關系，我發現很多邊可以直接求出來，大家看看好不好？

圖2

師：大家說好不好？生集體回答好！師問，不妨也起個名字？生：幾何法！師豎起了大拇指．

海波同學開心的走下去了，平時做題一絲不茍的男生唐若誠說：“老師，我的也是幾何法，不過跟海波不一樣”．于是我們聆聽了唐同學的思路，他給大家投影了他的做法．

圖3

師：大家講得都不錯，向量問題的常規思路大家掌握得很好了，它的數形特征讓我們入手方法多樣，牽涉的知識公式也多，希望大家以后碰到向量題大膽地向它進攻，選擇最好的你最喜歡的方法，迅速準確地解出來．大家要在課后做好整理．子曰：“學而時習之，不亦說乎？”同學們經常歸納整理，“聯點成線，聯線成面，最終歸為一點”，要有自我建構數學知識的意識．(課后，讓課上回答的同學把各自方法，張貼于教室，供大家參考欣賞)

自評：高三的三輪復習，似乎學生都會了，又似乎學生什么都忘了，課堂往往是試卷的評講，那么講得精彩，講清關鍵點，誰講？怎么激發學生以及教師自己的熱情？教會學生對數學思想方法的嫻熟使用？怎樣提高運算求簡能力，達到高效解題？本人認為要重基礎，抓主干，悟規律，求實效．把課堂還給學生，本人覺得學生講比較能激勵學生，讓學生能夠有表現自己的機會，與同學分享自己的成果，讓大家進行比較，享受數學的奇妙．教師僅需創造良好的環境氛圍，適當穿針引線，提高學生的參與度，思維廣度，激發學生的自主性，創造性．更可以通過拓展，變式，提高閱讀，分析計算能力，注重養成教育，培養習慣，形成規范，培養學生良好的心理素質，發展學生的思維能力，布魯諾說：發現學習，探究學習，再發現，再創造．學生通過不同角度分析、解決問題，圍繞一個數學問題復習多塊知識，多種思想方法，促使學生根據自己的認知基礎和思維特點進行選擇，探索去解決問題的有效方法．

教學的根本目的在于豐富學生的知識，發展學生的數學思維，提高學生的數學素養，培養學生的理性精神，讓學生學會發現問題本質，學會分析，解決問題，在此過程中掌握思考，感悟問題解決的數學思想與數學方法．李善良博士提倡：把精彩留給學生，凡學生能做的留給學生．

用吳鍔主任對蘇式課堂教學的核心“立本求真”作為本文的結束語：遵循教學規律，從學生認知特點出發，順應學生思想意識，通過數學活動，獲得經驗積累，自我構建數學知識，拓展空間，讓探究成為習慣，讓學生享受數學．