改造陳題 推陳出新
——2016年全國卷Ⅰ理科20題簡析

福建省龍巖第一中學(xué) (364000) 章金玲

改造陳題 推陳出新
——2016年全國卷Ⅰ理科20題簡析

福建省龍巖第一中學(xué) (364000) 章金玲

題目 設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.

(Ⅰ)證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M,N兩點(diǎn)，過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

2016年全國卷Ⅰ理科第20題，以圓為載體、課本中的軌跡問題為基本素材、類似于2005年全國卷中的一道四邊形面積求解問題為主體，對其進(jìn)行了合理的加工、重組、改造、“包裝”.一方面，開辟了橢圓生成方法的新途徑；另一方面，又將圓與橢圓(圓生成的軌跡)有機(jī)地融合在一起(全國卷的鮮明特點(diǎn))，為考生創(chuàng)設(shè)了一個陌生的情景，考查學(xué)生將已有知識與方法靈活運(yùn)用于新情境的遷移能力，真正做到了“以本為本、陳題不舊、推陳出新”，堪稱一道“源于課本，高于課本”，自然、和諧，讓人耳目一新的一道好試題．

圖1

一、試題背景探究

背景1 (人教A選修2-1P49習(xí)題2.2A組第7題)如圖1，圓O半徑為定值r，A為圓O內(nèi)一個定點(diǎn)，P為圓上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l與半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，點(diǎn)Q的軌跡是什么？

圖2

圖3

簡析：本題的第一問或取材于背景1，如圖3，將課本習(xí)題中的圖，延長PA交圓O于點(diǎn)B，連結(jié)OB，QA，再刪掉直線l.明顯的，兩種軌跡的生成方法具有等效性，事實(shí)上，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得|QA|=|QP|，∴∠P=∠QAP，又OP=OB，∴∠B=∠P，于是∠QAP=∠B，因此BO∥AQ，反之亦然．…如此形成的高考題第(Ⅰ)小題，注重平面幾何知識的靈活運(yùn)用，具有一定的新意，同時又為第(Ⅱ)小題的命制鋪平了道路，過渡非常自然，銜接得非常完美.

本題的第Ⅱ問或來源于背景2，其四邊形面積表達(dá)式的探求，以及取值范圍的求解方法，兩道試題大致相同.

二、解題方法探究

本題的第(Ⅰ)小題，著重考查學(xué)生對橢圓定義的理解，以及軌跡問題的求解方法，它具有很好的區(qū)分功能.第(Ⅱ)小題，主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，以及最值的計算，考生既要計算橢圓中的焦點(diǎn)弦長，又要計算圓中的弦長，對他們的運(yùn)算求解能力、綜合分析能力等都提出了較高的要求.本小題解法多種多樣，考生若用傳統(tǒng)方法，計算比較繁瑣，苦不堪言；若用參數(shù)方程或極坐標(biāo)的知識去求解，則簡潔得多.

(Ⅱ)(法一)當(dāng)l與x軸不垂直時，設(shè)方程為y=k(x-1)(k≠0)，M(x1,y1)，N(x2,y2).

(法二)設(shè)直線l的參數(shù)方程為

三、試題的引申

根據(jù)上面的幾種解法及討論，我們不難將它推廣到一般情形，即

性質(zhì)1 設(shè)圓(x+c)2+y2=4a2(a>0,c>0)的圓心為A，直線l過點(diǎn)B(c,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.

(Ⅰ)證明|EA|+|EB|為定值；

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M,N兩點(diǎn)，過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn)，則四邊形MPNQ面積的取值范圍為[4b2,4ab).

證明：(Ⅰ)因?yàn)閨AD|=|AC|，EB∥AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC，所以|EB|=|ED|，故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=2a，為一定值.

∴0≤cos2α<1，∴S∈[4b2,4ab).

性質(zhì)2 設(shè)圓(x+c)2+y2=4a2(a>0,c>0)的圓心為A，直線l過點(diǎn)B(c,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.

(Ⅰ)證明|EA|+|EB|為定值；

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M,N兩點(diǎn)，過A且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn)，則四邊形MPNQ面積的取值范圍為[4b2,4a2).

證明留給讀者.