一道向量習題的推廣及應用

內蒙古師范大學附屬中學 (010020) 王洪軍

一道向量習題的推廣及應用

內蒙古師范大學附屬中學 (010020) 王洪軍

1 提出問題

上面的題目是筆者所帶高三年級的一道測試題，從試卷反饋的結果來看，題目的得分率不高，在與學生交流的過程中發現大部分同學無法確定點O的具體位置，因此也就無法得知兩三角形面積之間的關系.筆者通過研究上述問題，推廣出一個一般化的定理，發現這個定理在很多復雜問題中也有廣泛的應用，現整理成文，與讀者分享.

2 歸納一般結論

圖1

證明：(ⅰ)若x,y,z均為正數，則點O在ΔABC的內部，不妨以圖1為例來證明，其他情況類似可證.

(ⅱ)若x,y,z中恰有一個負數，則點O在ΔABC的外部，不妨以圖2為例來證明，其他情況類似可證.

圖2

若x,y,z中至少有兩個負數，則可以通過移項轉化為上述兩種情況，因此，上述定理得證.

合理利用所得定理，可以使問題的解答得到簡化，下面列舉幾個例子來展現定理的精彩應用.

3 應用舉例

例1 已知點O為ΔABC所在平面內一點，且

由定理可知SΔAOB∶SΔBOC∶SΔCOA=1∶2∶2，因此，SΔAOB∶SΔABC=1∶5.

圖3