例析證明數(shù)列不等式的幾種方法

☉湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué) 朱晨曦

例析證明數(shù)列不等式的幾種方法

☉湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué) 朱晨曦

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容，是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接點(diǎn)之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想和方法.高考數(shù)列方面的問題著重考查數(shù)列的基本方法，其中涉及到方程、不等式、函數(shù)、轉(zhuǎn)化與化歸等思想的應(yīng)用.數(shù)列不等式顧名思義是數(shù)列與不等式的結(jié)合，數(shù)列不等式既能很好地考查學(xué)生對(duì)數(shù)列和不等式這兩塊知識(shí)的掌握程度，又能很好地考查學(xué)生的邏輯思維能力，考查學(xué)生的雙基（基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能）.筆者通過平時(shí)的學(xué)習(xí)實(shí)踐談?wù)勔恍?shù)列不等式證明的通性通法，以饗讀者.

一、構(gòu)造函數(shù)法證明數(shù)列不等式

當(dāng)要證明的式子和某些函數(shù)有關(guān)時(shí)，可以構(gòu)造函數(shù)證明.數(shù)列是定義域?yàn)檎麛?shù)的特殊函數(shù).

例1已知數(shù)列｛an｝滿足（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)an；

（2）設(shè)Sn=a1+a2+…+an，Tn=a1·a2·a3·…·an，求證：Sn≤

構(gòu)造函數(shù)f（x）=ex-1-x（x≥1），則f′（x）=ex-1-1≥0，故f（x）在［1，+∞）上是增函數(shù).因?yàn)閚≥1，所以f（n）≥f（1）= 0，移項(xiàng)得en-1≥n，得證！

記Cn=e-n2為數(shù)列｛cn｝的前n項(xiàng)之積，因此易得cn=e-（2n-1）

（n∈N*）.

二、利用放縮法證明

放縮法是證明不等式的一種常用方法，而在證明某些“數(shù)列和式的不等式”中，有兩種較常用的思路：（1）放縮成裂項(xiàng)求和的形式，化簡(jiǎn)后再放縮；（2）放縮成等比數(shù)列求和的形式，化簡(jiǎn)后再放縮.

1.放縮成裂項(xiàng)求和的形式，化簡(jiǎn)后再放縮

如果數(shù)列的通項(xiàng)可以拆成兩項(xiàng)之差，證明和式不等式時(shí)，可以考慮先裂項(xiàng)求和再放縮；如果通項(xiàng)不可以直接拆項(xiàng)，則可嘗試先放縮通項(xiàng)，使其可裂項(xiàng)求和，最后再放縮.放縮過程需要注意“度”的調(diào)節(jié)，逐步朝著問題的方向靠攏.

例2設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛a｝n的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn滿足-（n2+n-3）Sn-3（n2+n）=0，n∈N*.

（1）求a1的值；

（2）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

解：（1）（2）此略.

（3）證明：由（2）可知，an=2n，所以

當(dāng)n∈N*時(shí)，由于（4n2+2n）-（3n2+3n）=n（n-1）≥0，故

2.放縮成等比數(shù)列求和的形式，化簡(jiǎn)后再放縮

如果某個(gè)數(shù)列不能直接求和，但其通項(xiàng)可以放縮成一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)，證明和式不等式時(shí)，可先放縮通項(xiàng)，再求和，最后再放縮.在證明過程中，要善于觀察數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)，并結(jié)合不等式的結(jié)構(gòu)形式，合理地選擇放大或縮小.

例3已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an+1=3an+1.

證明：（1）略.

當(dāng)n∈N*時(shí)，由于3n-1≥3n-3n-1=2·3n-1，

三、利用數(shù)列的單調(diào)性證明

單調(diào)性是數(shù)列的一種重要性質(zhì)，在證明數(shù)列不等式時(shí)，有時(shí)通過判斷原數(shù)列的單調(diào)性即可得證；有時(shí)則需通過構(gòu)造新數(shù)列，利用新數(shù)列的單調(diào)性論證原不等式，運(yùn)用這種方法解題關(guān)鍵在于要結(jié)合題干的背景和問題構(gòu)造一個(gè)恰當(dāng)?shù)男聰?shù)列，這樣更有助于分析問題和解決問題.而關(guān)于數(shù)列的單調(diào)性，常?？赏ㄟ^作差法或作商法加以判斷.

例4已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn滿足S1＞1，且6Sn=（an+1）（an+2），n∈N*.

（1）求｛an｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列｛bn｝滿足an（2bn -1）=1，并記Tn為｛bn｝的前n項(xiàng)和，求證：3Tn+1＞log2（an+3），n∈N*.

解：（1）略.

（2）證明：由（1）得an=3n-1，根據(jù)an（2bn -1）=1可解得

而（3n+3）3-（3n+5）（3n+2）2=9n+7＞0，并且f（n）＞0，

故f（n+1）＞f（n），即｛f（n）｝是單調(diào)遞增數(shù)列.因此，

從而可得3Tn+1-log2（an+3）=log2f（n）＞0，即3Tn+1＞log2（an+3）.

本題從要證明的問題出發(fā)，構(gòu)造出一個(gè)新的數(shù)列，并且可利用作商法判斷新數(shù)列的單調(diào)性，進(jìn)而將該問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題處理.

四、利用數(shù)學(xué)歸納法證明

數(shù)學(xué)歸納法是一種特殊的證明方法，主要用于研究與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)問題.利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式時(shí)，在P（k）?P（k+1）的遞推中，要分析P（k+1）與P（k）之間的關(guān)系，明確不等式變形的最終表達(dá)式，在變形過程中，有時(shí)需要結(jié)合函數(shù)相關(guān)性質(zhì)（如單調(diào)性等）、不等式相關(guān)背景（如基本不等式、柯西不等式等），以及不等式其他證明方法（如分析法、放縮法等）深入分析，使其沿著問題的方向靠攏.

例5已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn，滿足Sn=2an+（-1）n（n≥1）.

（1）寫出數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

當(dāng)m=5時(shí)，易證不等式成立.

假設(shè)當(dāng)m=k（k≥5）時(shí)，不等式成立，

數(shù)學(xué)歸納法證明的思路清晰，從中挖掘出與待證問題相關(guān)的函數(shù)不等式，為數(shù)學(xué)歸納法的巧妙運(yùn)用埋下伏筆.對(duì)數(shù)列不等式左邊含有n項(xiàng)而右邊只有一個(gè)常數(shù)時(shí)，可以構(gòu)造函數(shù)使得左邊成為單調(diào)遞減的數(shù)列然后利用單調(diào)性加以證明或者用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，這是對(duì)這種數(shù)列不等式證明的通性通法.

五、利用基本不等式證明

關(guān)于基本不等式的運(yùn)用，需要滿足三個(gè)條件：①一正，即各項(xiàng)都為正數(shù)；②二定，即和或積為定值；③三相等，即等號(hào)能取到.用數(shù)學(xué)符號(hào)記為（a＞0，b＞ 0），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立；而當(dāng)a≠b時(shí)，則有.在高考數(shù)列不等式證明題中，有時(shí)運(yùn)用基本不等式解答可以實(shí)現(xiàn)快速解題的效果.

例6等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意的n∈N*，點(diǎn)（n，Sn）均在函數(shù)y=bx+r（b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù)）的圖像上.

（1）求r的值；

（2）當(dāng)b=2時(shí)，記bn=2（log2an+1）（n∈N*），證明：對(duì)任意的n∈N*，不等式成立.

解：（1）過程略，r=-1.

（2）證明：由（1）可得an=2n-1，所以bn=2（log2an+1）=2n.

因此，對(duì)任意的n∈N*，不等式·…·成立.

以上主要分析證明數(shù)列不等式的幾種有效方法，每種方法在使用中都有各自的特點(diǎn).在證明數(shù)列不等式時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生要仔細(xì)觀察不等式的結(jié)構(gòu)形式和數(shù)列的通項(xiàng)特點(diǎn)，明確題干信息的背景知識(shí)，對(duì)比相關(guān)證明方法的運(yùn)用規(guī)律，把握數(shù)列、不等式的重要性質(zhì)，注重知識(shí)的融會(huì)貫通和方法的相互聯(lián)系，從中選用恰當(dāng)?shù)姆椒`活解題.