例談不等式恒成立問題中參數問題的求解策略
——一道課本習題的變式探究

江蘇省張家港市崇真中學 陳 斌

例談不等式恒成立問題中參數問題的求解策略
——一道課本習題的變式探究

江蘇省張家港市崇真中學 陳 斌

筆者在平時的教學中，發現學生在不等式恒成立的條件下求參數范圍竟然不知所措.筆者在解題實踐中，總結解題的多種方法并進行對比分析，引導學生充分挖掘題目的特點，往往能找到解題的突破口.因此筆者結合多年的教學實踐，談談不等式恒成立問題中參數問題的求法.

策略一直接轉化為求函數最值

有的求參數問題，直接轉化為求函數最值.

例1已知函數f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1（k∈R），若不等式f（x）≤0恒成立，確定實數k的取值范圍.

學生基本知道要證明不等式恒成立，可以轉化為求函數最值，轉而求函數的導數的思路.但忽略了函數的定義域，雖說結果碰巧正確，但解答過程錯誤.

轉化為求函數最值：f（x）的定義域為（1，+∞），f′（x）=

當k≤0時，因為x≥1，所以-kx+k+1＞0.所以f′（x）＞0在（1，+∞）恒成立.

所以f（x）在（1，+∞）單調遞增.又x→+∞時，f（x）→+∞.

所以f（x）≤0不恒成立.

綜上所述，滿足題意的實數k的取值范圍為［1，+∞）.

策略二分離參數利用函數的最值

對于一些比較容易分離參數的函數，常常分離出變量，再轉化為常見函數求解.

1.分離參數——利用極限，先猜后證

解：（1）略.

當x=0時，上式恒成立.

故h（x）在［0，1］上單調遞減，h（x）≤h（0）=0，

從而知2≤-a，即a≤-2.

2.分離參數——利用特值，先猜后證

當x=0時，上式恒成立.

不妨取x=1，則有-a≥6cos1-2.5≈0.7∈（0，2）.

由此可猜想，-a的最小值為2.

（以下策略同策略1，略.）

策略三不分離參數，利用二次求導求解

若分離后無法求導或解決方法太煩瑣，則不分離參數，利用二次求導解決.

例3已知函數f（x）=ex-ln（x+m）.

（1）設x=0是f（x）的極值點，求m，并討論f（x）的單調性；

（2）當m≤2時，證明f（x）＞0.

解：（2）由f′（x）=ex-

依g（x）=（x+m）ex-1在［-m，+∞）單調遞增，且g（-m）=-1，

知存在x0∈（-m，+∞），使g（x0）=0，即（x0+m）ex0 -1=0.

當x∈（-m，x0）時，g（x）＜0，此時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減.

當x∈（x0，+∞）時，g（x）＞0，此時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增.

從而，［f（x）］min=f（x0）=ex0 -ln（m+x0）（由（x0+m）ex0

故當m≤2時，f（x）＞0.

策略四通過數形結合求解參數范圍

常常可以將題目中的函數轉化為兩個常見函數，通過考慮兩個函數的圖像來確定參數的范圍，從而可以取得避繁就簡的效果.仍以例3中題（2）為例：

（2）當m≤2時，要證明f（x）＞0，只需證ln（x+m）＜ex.

由于函數g（x）=ex是下凸的，h（x）=ln（x+m）是上凸的.

設g（x）=ex與h（x）=ln（x+ m）切于點P（x0，y0），

則切線斜率k=ex0且

于是由圖像可知，要使ln（x+m）＜ex，

只需h（x0）=ln（x0+m）小于切點的縱坐標.

亦即只需ln（x0+m）＜ln

（因x0+m=-中x0+m＞0，知x0＜0.若x0=-1，則m=2.此時，=ln（x0+m）不成立，故x0≠-1）

從而只需m≤2.故當m≤2時，f（x）＞0.

把不等式分離成兩個函數，再由函數圖像關系及參數幾何意義得出參數范圍.分離出的兩個函數必須一個是已知的，較為簡單的函數，否則圖像得不到.另一個帶參數的函數也必須是已知的簡單函數，參數的幾何意義明顯才比較容易由數形結合得出參數范圍.而且作為解答題，數形結合可能比較難以論述清楚.