例談三角函數試題的求解策略

☉浙江省寧海縣知恩中學 王麗亞

例談三角函數試題的求解策略

☉浙江省寧海縣知恩中學 王麗亞

近幾年來，各省高考對三角函數部分的考查，在內容、題量、分值三個方面保持穩定的同時，加重了對三角函數性質的考查，難度適中.這樣的命題意在考查學生的計算能力、演繹推理能力、綜合應用知識解決問題的能力以及數學思想方法的應用，激發了學生進一步學習的潛能.對應思想作為數學中的一個重要思想，近幾年來不斷在高考三角函數圖像與性質的相關問題中出現，成為高考題型中的一個創新.筆者根據近幾年的教學實踐，總結了一些解決三角函數題時的基本方法，僅供參考.

一、利用導數巧解三角函數題

導數是研究函數性質的一個很重要的工具，利用導數可以很容易解決函數的極值、最值和函數的單調性等問題.三角函數作為一種特殊的函數，導數這個工具自然也適合三角函數.

1.利用導數求三角函數值

我們知道，形如y=Asin（ωx+φ）+k（y=Acos（ωx+φ）+ k）的三角函數f（x）對稱性有其特殊性：對稱軸x=x0處必為極（最）值點，從而f′（x0）=0.

常規解法此略，運用導數解此題：

2.利用導數證明三角恒等式

例2證明：sin2αsin2β+cos2αcos2β-

分析：本題若采用常規的三角函數的化簡方法，都比較復雜.考慮到要證明的結果是一個常數，我們只需把左邊看成α或β的函數，證明該函數的導數恒等于零，然后取一個特殊角求出這個常數即可！

證明：構造函數f（α）=sin2αsin2β+cos2αcos2βcos2β.

求導數得f′（α）=2sinαcosαsin2β-2cosαsinαcos2β+ sin2αcos2β=sin2α（sin2β-cos2β）+sin2αcos2β=-sin2αcos2β+ sin2αcos2β≡0，

故f（α）為一常數，

而f（0）=cos2β-

所以sin2αsin2β+cos2αcos2β-

3.利用導數求三角函數的最值

令f′（x）=0?bsinn+2x-acosn+2x=0?tann+2

為方便起見，即滿足上述方程的解為x0，由sinx和 cosx在上的單調性可知，x0為函數（fx）唯一的極小值點，從而為最小值點.利用解得

從而

二、利用對應思想巧解三角函數問題

我們所說的對應是人的思維對兩個集合之間聯系的把握，反映的是兩個集合元素之間的關系.對應將各種類別、各種層次的對象聯系起來，呈現出它們之間各種各樣的屬性，使得各種數學對象能夠互相結合、互相轉化和深入.運用對應思想方法，通過三角函數圖像之間的對應關系，求解近幾年來高考中的三角函數圖像與性質的相關問題，大大簡化計算，起到了事半功倍的效果.

圖1

無論是傳統法還是對應法，都很好地利用了圖像上的特殊點.傳統法通過最值點列方程求解φ，揭示了φ的本質；而對應法則根據函數y=f（x）與函數y=sinx在一個周期內圖像特殊點之間一一對應的關系，結合整體思想，列出關于ω，φ的方程組求解，相比之下更為簡捷、明了.

在求解三角函數圖像以及性質相關問題的選擇題或填空題時，在推導的嚴密性要求不是很高的情況下，利用對應思想，把要研究的三角函數問題對應到相應基本三角函數在一個周期內的圖像上研究，思路清晰，方法簡捷，既簡化了問題，使學生把握了問題的本質，又提高了學生的數學素養！

三、利用換元法解三角函數題

在解某些三角函數問題時，如果直接運用三角公式運算非常復雜，或無法求解.這時不妨采用換元法，溝通題設條件與所求結果（或所證結論）的關系，運算過程就會化難為易，變繁為簡，使問題順利得到解決.

1.利用三角函數進行換元

=sinθcosφ+cosθsinφ=sin（θ+φ）≤1.

通過利用三角換元進行降次，便于用三角公式直接運算，使證題過程變得十分順暢.

2.利用萬能代換公式進行換元

例6若tanα+secα=2，求sinα的值.

通過利用萬能代換公式進行換元，使三角運算轉化為代數運算，使解題過程變煩瑣為簡潔.

四、逆向思維在解三角函數有關問題中的應用

根據思維過程的指向性，思維可分為正向思維（常規思維）和逆向思維（求異思維）.在中學數學教學中，與逆向思維緊密聯系的有逆運算、逆命題、反證法、分析法和充要條件等.當一道數學題用常規思路和方法求解思維受阻而無法進行下去時，我們可以嘗試尋求另一種數學思想方法，即用逆向思維的方法來探索開辟新的解題途徑，往往能起到意想不到的良好效果.

1.逆運算

《三角恒等變換》中的和（差）角公式：

例7求值：（1+tan1°）（1+tan2°）…（1+tan44°）.

本題是多個因式相乘，乍一看，似乎根本無法下手.其實只要靜下心來仔細觀察題目的特點，會發現1°+44° =2°+43°=…=45°，而45°正好是一個特殊角，且tan45°=1，于是我們可將第一項與最后一項結合，第二項與倒數第二項結合，…，以此類推，但只做到這里，許多同學就再也進行不下去了.這些同學能想到把首尾兩項相結合已經很不錯了，只可惜逆向思維能力欠缺，最終導致功虧一簣.

解：因為（1+tan1°）（1+tan44°）

=1+tan1°+tan44°+tan1°tan44°

=1+tan（1°+44°）（1-tan1°tan44°）+tan1°tan44°

=1+1-tan1°tan44°+tan1°tan44°

=2.

同理可得（1+tan2°）（1+tan43°）=（1+tan3°）（1+ tan42°）=…=（1+tan22°）（1+tan23°）=2.

所以（1+tan1°）（1+tan2°）…（1+tan44°）=222.

二倍角正弦公式連續使用時要注意構造余弦的二倍角關系，類似地，可以證明恒等式cosαcos2αcos4α…

2.反證法

反證法在解題中用途十分廣泛，在三角函數的證明中作用也是非同小可.

例8在△ABC中，若sinA＞sinB，則A＞B.

本題已知正弦值的大小，求與其所對應角的大小關系，我們可以根據三角函數的單調性進行求解.值得一提的是，注意自變量是否在同一個單調區間內，否則先轉化再比較.

證明（反證法）：假設A≤B.

（1）若A=B，則sinA=sinB，顯然矛盾，故A≠B.

所以sinA＜sinB，這與sinA＞sinB矛盾，故A＞B.

在△ABC中，A+B＜π，A＜π-B，

故sinA＜sin（π-B）=sinB，

這與sinA＞sinB矛盾，故A＞B.

反證法是中學數學的一種重要思想方法，按結論的反面是否為一個時可分為歸謬法和窮舉法.一般地說，當結論的反面比結論本身更簡單或直接證明包含無限等問題存在困難時宜采用反證法.

總之，三角函數的三角變換涉及的公式較多，應立足課本，在掌握這些公式的內在聯系及推導過程的基礎上，理解并熟記這些公式，掌握公式的正用、逆用、變形用，它可以提高思維起點，縮短思維路徑，從而使運算流暢自然.善于運用方程的思想，把三角函數式的化簡與求值問題轉化成方程問題求解.利用三角函數圖象熟練掌握函數性質.