例談高考中對(duì)正、余弦定理的考查

☉浙江省玉環(huán)縣玉城中學(xué)蔣克于 張夏飛

例談高考中對(duì)正、余弦定理的考查

☉浙江省玉環(huán)縣玉城中學(xué)蔣克于 張夏飛

正、余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的兩個(gè)重要定理，它將三角形的邊角巧妙地結(jié)合在一起，主要作用是將已知條件中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為純邊或純角的關(guān)系，使問題得以解決；在解題中有著廣泛的應(yīng)用，是高考中的常考知識(shí)點(diǎn)，下面介紹正、余弦定理在解題中的一些應(yīng)用，供參考.

一、判斷三角形的形狀

正、余弦定理是三角形邊、角的混合關(guān)系，用定理能將已知條件轉(zhuǎn)化為純邊（或純角）的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.

即a2sinBcosA=b2sinAcosB.

所以sinAsinB（sinAcosA-sinBcosB）=0，

又A，B∈（0，π），所以sinA≠0，sinB≠0.

所以sin2A-sin2B=0.

因此△ABC為等腰三角形或直角三角形.

即a2sinBcosA=b2sinAcosB.

即（a2-b2）（a2+b2-c2）=0，

所以a=b或a2+b2=c2.

因此△ABC為等腰三角形或直角三角形.

判斷三角形形狀，通常用兩種常用方法：1.統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為純角，再判斷（如解法1）；2.統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為純邊，再判斷（如解法2）.

二、解斜三角形中的有關(guān)問題

解三角形是指已知兩邊一角（或二角一邊或三邊），求其他三個(gè)元素問題的過程，進(jìn)而求出三角形的三線（高線、角平分線、中線）及周長(zhǎng)等基本問題.

由正弦定理，求出b及c，或整體求出b+c，則周長(zhǎng)為3+b+c而得到結(jié)果；由于本題是選擇題，也可用特殊化的辦法求解，取△ABC為直角三角形，則周長(zhǎng)應(yīng)為，故排除A、B、C.而選D.

解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，也可用余弦定理，同時(shí)合理運(yùn)用三角函數(shù)公式，如同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等，解題時(shí)應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷.

三、解決與三角形面積有關(guān)的問題

例3△ABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a= bcosC+csinB.

（1）求B；

（2）若b=2，求△ABC的面積的最大值.

解：（1）由已知及正弦定理，得sinA=sinBcosC+sinC· sinB.①

又sinA=π-（B+C），

故sinA=sin（B+C）=sinBcosC+sinBsinC.②

由①②及C∈（0，π），得sinB=cosB.

（1）正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解題時(shí)要根據(jù)具體題目合理運(yùn)用，有時(shí)還需要交替使用.（2）條件中出現(xiàn)平方關(guān)系多考慮余弦定理，出現(xiàn)一次式，一般要考慮正弦定理.（3）在求三角形的面積時(shí)，通過正、余弦定理求一個(gè)角，兩邊乘積，是一種常見思路.

四、在解決實(shí)際問題中的運(yùn)用

正、余弦定理在實(shí)際生活中有著極其廣泛的應(yīng)用，對(duì)經(jīng)過抽象、概括最終轉(zhuǎn)化為三角形中的邊、角問題的實(shí)際應(yīng)用題的求解十分有效，下面舉兩例，以饗讀者.

1.“海上營(yíng)救”問題

圖1

例4如圖1，某艦艇在A處，測(cè)得遇險(xiǎn)漁船在北偏東45°距離10海里的C處，此時(shí)得知該漁船正沿北偏東105°方向，以每小時(shí)9海里的速度航行，艦艇時(shí)速為21海里.問艦艇朝什么方向前進(jìn)可以最快營(yíng)救漁船？所需時(shí)間是多少？（方向精確到1°）

解：設(shè)所需時(shí)間為t，則AB=21t，CB=9t，∠ACB=120°.

由余弦定理得（21t）2=102+（9t）2-2×10×9tcos120°.解得

2.“臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào)”問題

例5在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)監(jiān)測(cè)，臺(tái)風(fēng)中心位于城市O（如圖2）的東偏南向300 km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移動(dòng)，臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大，問幾小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲？

解：設(shè)t小時(shí)該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲，

此時(shí)OQ≤10t+60.

由于PO=300，PQ=20t及cos∠OPQ=cos（θ-45°）=cosθ·

故12小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲.

五、在求解二面角時(shí)的運(yùn)用

在立體幾何的問題中，涉及一些邊長(zhǎng)的平方和關(guān)系時(shí)，常常會(huì)聯(lián)想到余弦定理.

例6如圖3，在四面體ABCD中，若AB2+CD2=BD2+ AC2，試求AD與BC所成的角的大小.

分析：將AB2+CD2=BD2+AC2通過移向得CD2-BD2=AC2-AB2，可轉(zhuǎn)化為在兩個(gè)三角形中進(jìn)行處理.不妨將等式兩邊都加BC2，得CD2+ BC2-BD2=AC2+BC2-AB2，與余弦定理有點(diǎn)相似，所以可以試著用余弦定理處理.

圖3

解：由題設(shè)得CD2+BC2-BD2=AC2+BC2-AB2.用余弦定理上式即為2AC·BCcos∠ACB=2CD·BCcos∠BCD.

所以ACcos∠ACB=CDcos∠BCD.過A作AE⊥BC于E，過D作DE′⊥BC于E′，所以CE=CE′，E與E′重合，從而AE⊥BC，DE⊥BC.故AD⊥BC，即AD與BC成90°角.

六、在求解方程組時(shí)的運(yùn)用

有些方程組的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與余弦定理的結(jié)構(gòu)相似，因此可以想到構(gòu)造圖形，運(yùn)用余弦定理解決.

圖4

圖5

七、在三角不等式中的應(yīng)用

當(dāng)要證明的不等式中含有余弦或具有一定的余弦定理的結(jié)構(gòu)時(shí)，可以考慮是否使用余弦定理.

證明：因?yàn)?R（abcos C+bccos A+cacos B）=abc·

又由余弦定理，得R（a2+b2+c2）=abc·

總之，解題離不開方法的遷移，思路的聯(lián)想和知識(shí)的交融，只要我們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)，注意各種公式，定理的順用、逆用和變形應(yīng)用，變換角度，縱橫聯(lián)想以及多考慮知識(shí)之間的聯(lián)系，就可以達(dá)到化抽象為具體，化繁冗為簡(jiǎn)單，活學(xué)活用的效果.