試談變式教學在高中數學中的運用
——以一道高考題為例

☉湖南省衡陽縣職業中專 李祖祥

試談變式教學在高中數學中的運用
——以一道高考題為例

☉湖南省衡陽縣職業中專 李祖祥

變式教學是高中數學教學最重要的教學手段之一，也是高中教師熟悉的教學手段，起到融合各知識點以及知識體系的作用.優秀的老師往往能通過變式訓練題組，以點帶面，不但能減輕教學負擔，還能達到非常好的教學效果.在這種教學模式下，學生學習積極性高，主動性強，課后回味變式，還意猶未盡.筆者通過一道高考題的變式教學實踐，粗略談談關于變式教學在高中數學中的運用.

案例：在Rt△ABC中，點D是斜邊AB的中點，點P為線段CD的中點，則

A.2B.4C.5D.10

該題結構簡單，但考點不明，如何確定解題方向呢？

一、解法賞析

解法1：考慮到有直角三角形載體，我們可以建系，用解析法求解.

以點C為坐標原點，建立平面直角坐標系，如圖1所示，

設A（4a，0），B（0，4b），則D（2a，2b），P（a，b）.

因為|PA|2=9a2+b2，|PB|2=a2+ 9b2，|PC|2=a2+b2，所以=10.

圖1

解法2：作為選擇題，可將直角三角形特殊化，以等腰直角三角形為載體，計算更簡單.解題過程略.

解法3：考慮到目標式的結構及中線特點，應用中線長定理應該也是不錯的選擇.

中線長定理是關于三角形三邊和中線長度關系的歐氏幾何定理.其文字表述為：三角形一條中線兩側所對邊的平方和等于底邊一半的平方與該邊中線的平方和的2倍.

如圖2所示，設△ABC的三邊長分別為a，b，c，邊BC，AC，AB上的中線長分別記為ma，mb，mc，則

圖2

圖3

中線長定理兩次出現在人教版課標教材的習題中（一次在解三角形，一次在直線方程），應該引起足夠重視，其證明方法多樣，本文不再敘述，下面應用結論直接解題.

如圖3所示，|AB|=2|CD|=4|PD|=4|PC|.

在△PAB中，應用中線長定理，有|PA|2+|PB|2=2（|BD|2+ |PD|2），

所以2（|PA|2+|PB|2）-|AB|2=4|PD|2，.

所以|PA|2+|PB|2=2|BD|2+2|PD|2=10|PC|2.故選D.

二、變式拓展

如果改變點P在CD上的位置，同樣的目標式會有什么樣的結果呢？

在Rt△ABC中，∠C=90°，如圖4，若△ABC所在平面內的一點P滿足，則（1）當λ=1時

圖4

按照高考試題的第一種求解思路，不僅計算略顯麻煩，而且體現不出小題小做的特點，我們依然采用中線長定理求解.

（1）當λ=1時，點P為△ABC的重心，則PC=2PD.在△PAB中，應用中線長定理，得

2（|PA|2+|PB|2）=|AB|2+4|PD|2

2（|PA|2+|PB|2）=|AB|2+4|PD|2=4|CD|2+4|PD|2=［λ2+（-λ-2）2］|PC|2.

題目雖然得到解決，但總覺得解第（2）小題太麻煩，還是計算，向量作用不明顯.我們試圖將中線長定理與向量知識結合在一起求解.

解法2：（2）由解法1知，|PA|2+|PB|2=2（|PD|2+|DC|2）.

選準考點知識，輕松快捷解題，這應該成為試題研究的一個重要方向.很多試題，解題方向多樣，一般化雖然是重點，但不一定是最優的.優化解法，既節省考試時間，又能訓練思維，一舉多得.

三、幾點思考

1.變式教學中鼓勵學生主體參與

現代課程觀認為，教學活動是師生共同探求知識的過程，是教師、學生、教材、環境等諸多因素相輔相成的動態成長的構建過程，教學活動要充分體現學生的個性，充分落實學生的主體地位，以促進學生的發展為目標.因此，教師將原本學生無從下手的試題引導學生主體參與變式，變式的呈現具有小步子、層層推進、螺旋上升的特點，鼓勵學生呈現不同的思維過程，促使學生思維的廣度得以延伸，思維的深度得以挖掘，并讓學生觸及高中數學解決最值問題的思想與方法.在教學內容完成度上，教學設計時已經考慮到了有可能來不及，即使預設了幾種變式題型，也無法預料學生的想法及其思考和表達所需的時間.在“教學內容的完成度”與“學生思維的提升”間選擇，顯然選擇學生思維的提升，因為學生思考和表達的過程就是其思維呈現的過程，也是自我反思修正的過程.因此，我們應該積極鼓勵學生主體參與，才能更好地促進思維發展.

2.變式教學中優化變式教學策略

如何才能將變式教學做得更有實效些？這需要教師優化變式教學的策略，需要充分發揮學生的主體參與，引導學生進行自主變式，鼓勵學生主動探究，激發更多的學生積極參與課堂.關注學生個體差異，科學合理地呈現學生設計的變式，使變式問題層層遞進、螺旋上升，讓學生有序有向地思考分析問題，使各層次學生思考之后各有所得.關注學生的思維發展，學生根據題目原型遷移類比遇到過的類似問題，聯想所學數學的基本知識、概念、性質、定理、思想方法等，讓難以解決的問題擴大其“最近發展區”，能收獲設計問題、解決問題的成就感，激發學習的積極性，能有效地訓練學生思維創造性，教師可以有意識地引導學生從變化中尋找問題之間的聯系，從變化中發現問題不變的本質，從不變的本質中探究變化的規律，從而深刻理解變式中的知識與思想方法，培養思維的深刻性.關注問題交流，對學生的課堂參與給予足夠的激勵和引導，尊重學生的課堂主體地位，注意傾聽學生的聲音，建立起和諧平等的師生關系，在融洽的氛圍之中將數學教學做得更有實效些.