經驗：兒童成長的基點

在教育立場中，數學不僅僅是一個“符號世界”，更是一個蘊藏著豐富意蘊的“經驗世界”。兒童不僅僅是一個認知主體，更是一個“經驗主體”。作為生命形態的數學課堂教學，理應承擔促成兒童數學活動經驗“生長”的重任。由此來審視當前的數學教學，或許“我們已經忘記了為什么而出發？”

一、“數學活動經驗缺失”——數學教學的現實折射

當教學無視兒童主體，當教師對數學活動經驗未加關注，數學教學也就失去了價值和意義。

（一）買櫝還珠——知識本位吞噬數學活動經驗

在“圓錐的體積計算”的教學中，有的老師要求學生準備等底等高的圓柱和圓錐容器各一個和一些沙子，將圓錐形容器注滿沙子，發現需要三次才能將圓柱形容器注滿，接著引導學生根據這一結果推導出圓錐的體積計算公式。這一教學過程中，看似學生是通過操作和探究得出圓錐的體積計算公式，實質學生完全按照教師的“指令”在做，用等底等高的圓柱和圓錐容器來轉化，其中體現的數學活動經驗，教師卻視若無睹。

當前，部分教師將數學活動經驗視為教學活動的“附屬品”，其教學行為主要表現為：重視數學知識的教學，輕視知識的探究過程，忽略數學活動經驗的積累和學習情感的升華。狹隘的數學知識本位觀導致他們因謀求知識本位的“櫝”，而摒棄數學活動經驗的“珠”。這樣的教學看似課堂效率在提高，實際上兒童學習的持久動力和創造力在泯滅。

（二）步步為營——無視學生已有活動經驗存在

如“梯形的面積計算”的教學。老師先讓學生在方格紙上將不規則圖形轉化為規則圖形，然后復習平行四邊形和三角形面積計算公式推導，引導學生回顧得出，在遇到新問題時要把它轉化成已有知識進行解決。十多分鐘過去了，教師方才組織新知識的教學。

其實，對于“轉化”的經驗學生并不陌生。他們剛剛學習的平行四邊形和三角形面積計算公式推導，都是運用轉化解決問題的。從最基本的轉化復習起，“小步子”教學，固然可以喚醒學生已有經驗，但學習起點太低，老師無視學生已有的數學活動經驗，把學生看成“一張白紙”，這樣的課堂表面很順暢，但教師的過于“熱心”影響了兒童經驗的“生長”，兒童的學習潛能得不到充分的發掘。

（三）華而不實——動手操作浮于淺表

在教學“認識三角形三條邊之間的關系”時，教師讓學生利用準備好的各種材料“做”三角形，然后逐一展示，課堂氣氛熱烈。而對于“三角形任意兩邊之和大于第三邊”卻匆忙揭示，草草收兵。

顯然，僅僅有操作活動而忽略活動后的理性提升，這是教學“幼稚化”的突出表現。上述課例中，學生在整個操作過程中扮演的是操作工的角色，沒有內在的思維活動，隨后觀察的視角也僅僅局限在材質及色彩上，弱化了對三角形三邊長短的比較。這樣的教學，僅停留在操作層面而未能建構起數學概念心理表征，缺少了數學化的活動，數學活動經驗的積累就無從談起。

對數學活動經驗認識的不足，在一定程度上讓我們的數學教學輕浮虛華，讓兒童的思維步入迷途。我們需要洗盡鉛華，讓活動經驗“再出發”。

二、“積累數學活動經驗”——數學教學的內在訴求

數學活動經驗是通過認知主體——兒童的積極建構而獲得的。經驗的構建是課程追求的目標，是教學活動的出發點，也是教學活動的本質所在。

“課程論之父”泰勒指出，經驗是課程編制的基本素材。隨著新課改的推進，課程越來越被賦予了動態的涵義：“課程即體驗”，課程要提供一種充滿情感、富有思考、感受多重的真實體驗[1]；“課程即活動”，課程是人的各種自主活動的總和，學習者通過與活動對象的相互作用來實現自身各方面的發展[2]。經驗的構建是課程追求的目標。從這個意義來看，數學課程絕不是脫離學生生活的“外來事物”，也不是僅僅作為由抽象符號組成的數學結論或事實，而應該是個人經驗的合理化和系統化，更應該是一個蘊涵數學活動經驗的領域。

1.兒童成長：尋求活動經驗的支撐

成長是兒童基于先天本能與沖動，通過與環境的相互作用而不斷增加經驗的意義的過程，而教育的基本手段是提供學習經驗。數學活動經驗作為“四基”之一，是聯接四個目標的紐帶，是實現四個目標的重要途徑[3]。數學活動經驗不僅是兒童進行科學建構、提高數學思維水平、實現在數學上全面發展的條件，還有助于兒童彰顯個性化學習，形成良好數學觀念，全面提升數學素養，發展應用意識和創新意識，更對后繼的學習和發展產生積極的、持久的影響。正因為如此，兒童成長需要尋求活動經驗的支撐。

2.數學教學：積淀活動經驗的土壤

數學課程標準要求：“教師教學應該以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎”“使學生……獲得基本的數學活動經驗。”事實上，兒童學習數學是源于經驗基礎上的一個自我再創造的過程，他們通過多元活動，不斷分析、理解、積淀活動經驗。因此，數學課堂教學目標不單純體現在學生接受的數學事實上，更多的是通過對數學活動經驗的條理化來實現的。從這個視角來看，數學教學是兒童積淀數學活動經驗的土壤。

三、賦予數學活動經驗以“生長的力量”——數學教學的實踐重構

數學教學不在于窮盡真理，而在于生成經驗，潤澤生命，豐富兒童的數學活動經驗應該成為數學教學的必然追求。

（一）覓尋經驗之源——鏈接“經驗世界”，實現數學活動經驗與生活經驗的有機對接

數學源于生活，服務于生活，“生活經驗世界”是數學活動經驗之源。數學中的許多概念、原理在“生活經驗世界”中都能找到原型，并為兒童積累基本數學活動經驗提供基礎。教學中，回歸“生活經驗世界”，取生活之水，活經驗之源，用生活的事件來豐富活動體驗，生活經驗才能向數學活動經驗跋涉，數學活動經驗才會向兒童敞亮。

1.在經驗求“生長”處喚醒

每種新經驗都或多或少取之于原有的生活經驗。教學時，我們要考慮新經驗與哪些生活經驗相聯，實現生活經驗和數學活動經驗的無縫對接。

【案例1】用“替換”的策略解決問題

師：剛才我們重溫了《曹沖稱象》的故事，請大家想一想，曹沖為什么要將稱大象轉化成稱石頭？

生：因為大象無法直接稱重，而石頭可以分批稱。

師：曹沖在船舷上做了個記號，這是為什么？

生：這樣才能保證石塊的重量和大象的重量一樣重。

師：一定得將大象轉化成石頭嗎？

生：也可以轉化成其他物體，只要能分批稱重就可以了。

只有建立在兒童已有經驗基礎之上的生活情境或現實情境，兒童才可能主動去感受并運用已有經驗理解它?！安軟_稱象”的故事對學生來說僅僅是生活經驗， “為什么要將稱大象轉化成石頭？為什么在船舷上做了個記號？一定得將大象轉化成石頭嗎？”層次遞進的三個問題，將學生的思維迅速引發并聚焦到“替換”的本質上，從而實現由生活經驗向基本活動經驗的提升?；趦和纳瞵F實和生活經驗，讓兒童經歷數學“對接”生活的過程，并輔以數學化處理，生活經驗方能向數學活動經驗漫溯。

2.在經驗現“偏差”時暴露

兒童年齡較小，他們的數學活動經驗往往比較零散，加之受思維水平的影響，常常將非本質的因素摻雜在知識中，從而出現經驗偏差。

【案例2】圖形的密鋪

在學生拼擺正三角形、長方形、正方形、平行四邊形、圓形圖片，揭示密鋪概念之后，屏幕出示不規則四邊形、正五邊形、正六邊形。

師：請大家仔細觀察，哪些圖形能單獨密鋪，哪些不能單獨密鋪？

生1：我認為不規則四邊形不能密鋪，而正五邊形、正六邊形都能密鋪。

師：你的理由是什么？

生1：我認為除了圓形之外，規則圖形都可以密鋪，不規則圖形明顯不能密鋪。

生2：我和他的想法差不多，就是對正五邊形能不能密鋪有點疑問。

生3：我覺得還是動手拼一拼才能確定。

學生動手操作后發現：不規則四邊形、正六邊形能夠單獨密鋪，正五邊形不能單獨密鋪。

師：奇怪！為什么正五邊形不能單獨密鋪，而不規則四邊形和正六邊形卻可以呢？

生找不到原因。

師用課件演示正五邊形、正六邊形和不規則四邊形的若干個角圍繞公共頂點拼角，同時標上各個角的度數。

生4：我明白了！如果一個圖形的幾個角能圍成一個周角，那么這個圖形就可以單獨密鋪，正五邊形的幾個角度數相加，不可能是360度，所以不能；而任意四邊形四個角內角和是360度，所以可以單獨密鋪。

兒童的“經驗世界”中，正三角形、長方形、平行四邊形、正六邊形都能密鋪，這是兒童已有的經驗。不規則四邊形和正五邊形是否能密鋪？學生心中沒底，進而產生動手操作的欲望。通過拼擺，他們發現正五邊形不能密鋪，而不規則的四邊形卻能密鋪，但這僅僅是淺表層的生活經驗。教師沒有就此打住，轉而追問：“為什么正五邊形不能單獨密鋪，而不規則四邊形和正六邊形卻可以呢？”認知平衡的再次打破，誘發學生思考隱含在背后的道理。在學生苦思冥想之際，教師通過課件演示，學生終于發現一個圖形能否單獨密鋪的原因所在。

當兒童“前經驗”與數學知識相抵觸出現認識偏差時，教師應“該出手時就出手”，幫助兒童經歷新舊經驗的碰撞，積累正確的數學活動經驗。

3.在經驗受“干擾”時明晰

兒童已有經驗是把雙刃劍，對兒童獲取更多經驗既有積極影響，也有負面效應，有時經驗會向錯誤方向延續，“干擾”新經驗的生成。

【案例3】平角和周角的認識

教師用活動角呈現：角的兩邊成一條直線

師：這還是角嗎？

生1：這是一條直線。

生2：這不是角，因為角的頂點應該是尖尖的，而它是平平的。

生3：我認為是一個角，因為它也有一個頂點和兩條邊。

教師什么也沒說，而是用活動角演示角的兩邊漸變過程（角的兩邊漸次組成銳角—直角—鈍角—一條直線）

生4：這是一個角，只不過兩條邊的位置有點特殊罷了。

兒童有時是用自己的生活經驗來構建新知的，他們在生活中見到的角都是尖尖的，“前經驗”中對角的認識干擾了他們對“平角”這個概念的形成。教師通過教具演示平角的形成過程，引導學生對已有經驗重新整理，逐漸修正本有缺陷的經驗，實現了經驗的再造。

（二）貫通經驗之路——經歷學習過程，實現數學生活經驗與數學知識的相得益彰

數學活動經驗的累積需要依托有效的操作、探究、抽象概括及應用，唯有這樣，才能幫助兒童形成“經驗意識”，構建“經驗系統”。

1.在操作中感悟——為經驗“施肥”

“兒童的智慧在自己的指尖上。”教師在數學教學中要為學生創設動手操作的機會，給予學生充分的時間與空間，讓學生借助自身的操作活動獲取經驗。

【案例4】素數和合數

老師讓學生分別用3個、4個、12個、13個邊長為1的小正方形拼長方形，并思考：小正方形的個數與拼成的長方形的種數有什么關系？

師：用邊長是1的正方形拼成長方形，你們拼出了幾種？

生1：我們用了3個正方形，拼成了長3寬1的長方形一種。

生2：我們用4個正方形，能拼兩種長方形，長4寬1和長2寬2。

生3：12個這樣的正方形，能拼成3種長方形。長12寬1、長6寬2和長4寬3。

生4（脫口而出）：我發現拼成的長方形的種數與小正方形的個數有關，小正方形的個數越多，拼成的長方形的個數也越多。

生5：我不同意，我用13個小正方形，最終只能拼出一個長方形。

生6：我在拼長方形時發現，拼出來的長方形的長與寬相乘等于正方形的個數。

師：我們通過操作發現，并非小正方形的個數越多，拼成的長方形的種數就越多。那么，小正方形的個數是哪些數時，只能拼成一種形狀的長方形呢？

經驗的探究根植于動手操作活動之中。老師精心設計出用小正方形拼長方形的操作活動，其目的是讓學生通過操作積累活動經驗，發現“用素數個正方形只能拼成一個長方形，用合數個正方形至少能拼成兩個不同形狀的長方形?！眱和臐撘庾R里，小正方形的個數越多，拼出的長方形的種數也越多，但通過拼長方形，催生了激烈的思維碰撞，他們經歷了一個自我肯定、否定、再肯定的過程，為下面探究“當小正方形的個數是哪些數時，只能拼成一種形狀的長方形呢？”提供了“養分”，推進了活動經驗習得的進程。

2.在探究間積累——給經驗“澆水”

數學學習不是簡單的“告知”，而是學生個性化的數學活動“體驗”。教師在數學課堂教學中應精心設計富有價值的探究活動，為學生創造充分的展現條件，融操作與探究于一體。

華應龍老師在執教“三角形三邊的關系”一課時，組織了三次探究活動：怎樣用兩張紙條圍成三角形？為什么不剪短的那張紙條？就差一點點行嗎？一波三折，將整個課堂引向高潮。經驗告訴學生，兩張紙條是圍不成三角形的，必須將其中一張剪開，才能圍成一個三角形，為學生自主發現三角形三邊的關系做了很好的孕伏。是剪長的一張，還是短的一張？借助學生已有認知經驗，通過對“為什么不剪短的那張紙條？”的探究，初步得出“三角形兩邊之和大于第三邊”。為什么有些小組怎么也圍不成？原來華老師為學生提供的學具是有講究的，有的是兩張不一樣長，有的是兩張一樣長，這樣引導學生將注意力放在了兩邊之和與第三邊的關系上。三次簡約的探究活動，帶來的是學生的數學活動經驗在不斷發展，不斷完善，不斷向高層次邁進。

3.在抽象里生成——讓經驗“發芽”

鄭毓信教授說過：幫助學生學會數學抽象的關鍵是要有從超越問題的現實情境過渡到構建抽象的數學模式過程，即‘去情境化過程。[4]可見，抽象對學生數學學習的重要性。只有經歷抽象，學生的活動經驗才易走向深刻，進而觸摸數學的本質。

【案例5】：平行與相交

師（出示圖片）：請找出兩幅圖的3個不同之處。

生1：秋千的繩子，左邊平行，右邊交叉。

生2：相框一個正的，一個斜了。

生3：秋千的架子左邊一根橫木，右邊兩根橫木。

師：如果把秋千上的一根繩子、相框的邊和墻的邊線都看成是一條直線，我們就找到了四組直線。如果想給這四組直線分類，你認為應該怎樣分呢？（課件隨著教師的談話相機演示，閃爍出現四組直線，并逐步隱去圖片，留下四組直線）

生4：我認為第1、2、3號為一組，第4號為一組，因為4號的兩條直線相交了作為一類，而1、2、3都沒有相交，作為另一類。

生5：第1、3看成一組，它們是平行，2、4號看成一組，它們是相交。

學生爭論不休。

師：剛才兩位同學劃分的結果不一樣，主要是對2號有分歧。2號的兩條直線究竟相交還是不相交？（電腦適時演示兩線延長至相交）

生6：我贊同第一種分法，因為直線是無限長的，2號圖形雖然看上去沒有相交，但如果把兩條直線延長，他們就相交了。

師：看來同一平面內的兩條直線的位置關系有兩種情況，一種是相交，一種是不相交。數學中我們把不相交的這種情況稱為“平行”。

……

師：不相交的兩條直線就一定平行嗎？

生都認為平行。

師（呈現立交橋圖片）：如果把立交橋橋面也看做直線，這兩條直線平行嗎？

學生都認為不平行，但說不出理由。

師：我們今天研究的都是在同一平面內的兩條直線。在同一平面內，兩條直線不相交就一定平行。

概念的抽象不是一蹴而就的，新課伊始，從“找不同”這一游戲情境入手，引發學生的興趣，使學生產生自主探索和解決問題的積極心態，從圖片中抽象出數學中的“直線”，自然、直觀、貼切，也為后面的分類感知提供豐富的感性材料。接著要求學生對從四幅圖片中抽象出的四組直線進行分類，通過找出不同、分類辨析、勾畫特征，突出兩條直線相交與不相交的區別，同時借助多媒體的演示，使學生理解“看上去不相交的兩根直線，實質是相交的”，為深化理解平行線這一概念的內涵、更好地建構平行的概念創造了條件，此時抽象概括平行線的外在特征水到渠成，至此完成了抽象的“簡約階段”?！安幌嘟坏膬蓷l直線就一定平行嗎？”的提出，推進了學生的思維進程，“分明是不平行的兩條直線卻不能相交？”這時學生已經擺脫了對具體事物的依賴，思維迅速聚焦到平面與空間的比較中來。教師適時輔以立交橋這一生活原型，促使學生依托生活經驗，對兩條直線平面上不相交和空間上不相交進行對比，學生在具體的活動中初步建立“同一平面”的表象，進一步抽象出平行概念中“在同一平面上”的重要因素，深化了對平行這一概念的理解。

由表象到內涵，由顯性到隱性，一次次的抽象過程的經歷，平行線的特征在學生心中銘心刻骨，更為學生研究其他幾何形體的特征播下了數學活動經驗的“種子”，這才是數學課堂的價值。

（三）留存經驗之韻——引領反思回溯，實現數學活動經驗與學習智慧的和諧共生

經驗是學生的一種認識，其獲得需要經歷一個循序漸進、螺旋上升的過程。反思作為一種比較重要的學習活動，它是學習活動的核心和動力。從感性經驗上升到理性認識需要通過反思作為支撐，同時，經驗積累數量的多少、質量的高低也不完全與經歷成正比。因此，當學生的數學活動經驗累積到一定程度后，教師應當讓學生對已有經驗進行反思回溯，這樣既可以讓經驗中的積極因素在后續學習中得以發揮，也能夠排解經驗中的消極因素對后續學習的干擾。

【案例6】異分母分數加減法

例題教學結束后，教師沒有急于組織練習，而是繼續跟進，組織學生進行反思交流。

師：回顧一下，你是怎么計算異分母分數加減法的？

生1：計算異分母分數加減法，先要通分，然后按照同分母分數加減法來計算。

師：為什么要先通分呢？

生2：因為只有分數單位相同的情況下才能直接相加減。

生3：如果兩個分數都可以化成有限小數，也可以先化成小數，再計算。

師：看來異分母分數加減法的計算有不同的思路。這兩種方法都是我們以前學過的，是通過把新知識轉化為舊知識來解決的。在過去的學習中，還有這樣的經歷嗎？

生4：在學習小數乘法時是將小數乘法轉化成整數乘法來做的。

生5：在學習小數除法時也是如此。

生6：在學習平行四邊形面積計算時，是將平行四邊形轉化成長方形的。

生7：其實在學習三角形、梯形的面積計算時，我們也是把它們分別轉化成學過的圖形。

生8：我認為今后在遇到不會的問題時沒必要心慌，看看能不能轉化成舊知來解決。

師：通過剛才的回顧，我們知道轉化的神奇就在于將未知變成已知，將新知變成舊知，圖形之間可以轉化，計算之間也可以轉化，將來我們還可以在數與形之間，甚至在更廣的領域都可以進行轉化。

“授人以魚不如授人以漁?！睂W生在經歷完探索異分母分數加減法的計算方法之后，通過反思，收獲的不僅僅是知識的理解，更重要的是及時將活動經驗置于更為廣闊的背景下，讓已有的活動經驗“拔節”，有效提升了淺層次的經驗，完成從量的積累到質的飛躍，進而形成良好的經驗系統。非但如此，在此過程中伴隨著產生的情感體驗也是他們一生受用的。

參考文獻：

[1]馬開劍.杜威重建經驗概念的課程價值[J].華東師范大學學報（教育科學版），2005（1）.

[2]黃翔. 獲得數學活動經驗應成為數學課堂教學關注的目標[J].課程·教材·教法，2008（1）.

[3]王林. 我國目前數學活動經驗研究綜述[J].課程·教材·教法，2011（6）.

[4]鄭毓信.數學思維與小學數學[M].南京：江蘇教育出版社，2008：128.

（林衛東，蘇州工業園區金雞湖學校，225000）

責任編輯：宣麗華