極限概念內涵辨析

劉艷蘭

摘要：極限是高等數學的重要概念之一，本文從三個方面辨析了極限的內涵。

關鍵詞：極限內涵；辯證統一；橋梁

中圖分類號：G648 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2017）01-0211-01

極限是高等數學中最重要的概念之一，它是研究函數的方法。導數、積分、無窮級數都是建立在極限的基礎上。極限理論是微積分的基礎理論， 極限思想貫穿整個高等數學。要學好高等數學，必須理解極限的內涵。

1.極限是有限與無限的辯證統一

《莊子》天下篇里有句名言"一尺之棰，日取其半，萬世不竭。"。一尺之棰，日取其半，考察每次截完剩下的量分別是：____，____，____，____，這些量無限的接近一個常數0， 0正是數列的極限。

一尺之棰是一有限的物體，但它卻可以無限地分割下去。這個辯論就是有限和無限的統一，有限之中有無限.這是辯證的思想 。極限正是有限與無限的辯證思想統一。

2.極限是函數值無限運動的目標

徐治利先生曾經引用李白的詩句"孤帆遠影碧空盡，惟見長江天際流"來比喻極限的無限運動過程。這兩句詩形象地刻畫了極限的內涵。首先，極限是一種動態的變化過程，即隨著n取正整數趨于無窮的變化時，而得到的無數個函數值朝著一個目標不斷的運動著，這個目標就是數列的極限。記為（），極限的這種記法更形象底刻畫了極限的運動實質。因此極限是函數值無限運動的目標。從辯證法的角度看，運動是絕對的，靜止是相對的。辯證法的運動論是對極限概念的最好詮釋。

3.極限是有限與無限之間架起的橋梁

在探索解決某些實際問題的過程中，經常遇到無限這個概念，而我們只能對有限的東西進行運算，如何解決無限的問題？在有限與無限之間架起一座橋梁，它就是極限。

我國數學家劉徽（公元3世紀）的割圓術，就是利用圓內接正形的面積，當無限增大時，園內接正多邊形的面積越來越接近一個確定的數，這個確定的數就是圓的面積，并由此算出了圓周率約等于3.1416。圓的面積就是正多邊形的面積組成數列的極限。正如劉徽所說" 割之彌細， 所失彌少。割之又割， 以至于不可割， 則與圓合體而無所失矣。" 這個方法蘊涵了極限思想，極限架起了無數個圓內接正多邊形的面積與圓面積之間連接的橋梁。

參考文獻：

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